A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x3 -3x2 +1 có đồ thị là (C ).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với
đường tròn (G):(x - m)2 + ( y - m -1)2 = 5
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4 NĂM HỌC 20112012 Môn: Toán 12. Khối A. Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số : 3 2 y x 3x 1 = - + có đồ thị là ( ) C . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2) Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 5 x m y m G - + - - = Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : ( )( ) 1 tan 1 sin 2 1 tan x x x - + = + 2) Giải hệ phương trình: ( ) 3 4 2 1 27 2 1 x y x x y ì - - - = - ï í - + = ï î ( , ) x y ÎR . Câu III (1,0 điểm)Tính tích phân : ( ) 1 4 2 1 3 ln 3 2ln I x x x dx é ù = + - ë û ò Câu IV. (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều 1 1 1 . ABC A B C có chín cạnh đều bằng 5 .Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 AB và 1 BC . Câu V. (1,0 điểm) Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn 7 ab bc ca abc + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 4 5 6 2 2 2 8 1 108 1 16 1 a b c S a b c + + + = + + . B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1.Theo chương trình Chuẩn Câu VIa. ( 2,0 điểm)1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) ( ) 2 2 : 4 4 C x y - + = và điểm ( ) 4;1 E .Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ điểm M kẻ được hai tiếp tuyến , MA MB đến đường tròn ( ) C với , A B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB đi qua . E 2)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0 P x y z - + - = và các đường thẳng 1 1 3 : 2 3 2 x y z d - - = = - và 2 5 5 : 6 4 5 x y z d - + = = - .Tìm các điểm 1 2 , M d N d Î Î sao cho MN song song với ( ) P và cách ( ) P một khoảng bằng 2. Câu VIIa. ( 1,0 điểm) Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 5 12 3 5 2 x x x+ - + + = 2. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb. ( 2,0 điểm)1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường thẳng ( ) : 3 4 0 d x y - - = và đường tròn ( ) 2 2 : 4 0. C x y y + - = Tìm điểm ( ) M d Î và điểm ( ) N C Î sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm ( ) 3;1 A . 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng 2 4 : 3 2 2 x y z - - D = = - và hai điểm ( ) 1;2; 1 , A - ( ) 7; 2;3 B - .Tìm trên D những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng chứa AB là nhỏ nhất . Câu VIIb.(1,0điểm) Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 log 1 log 1 log 2 2 x x x - = + + - Cảm ơn bạn lientoancvp@vinhphuc.edu.vn gửi tới www.laisac.page.tl Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) ĐÁP ÁN ,THANG ĐIỂM TOÁN 12 KHỐI A ( 5 Trang) Câu Ý Nội dung Điểm I 2,00 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2 y x 3x 1 = - + 1,00 · Tập xác định: Hàm số có tập xác định = ¡ D . · Sự biến thiên: v Chiều biến thiên : 2 3 6 y' x x = - Ta có 2 0 0 x y' x = é = Û ê = ë v , y 0 x 0 x 2 > Û Û h/số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ;0 & 2; -¥ +¥ v , y 0 0 x 2 < Û < < Û hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 0; 2 v ( ) ( ) 0 1 2 3 CD CT y y ; y y = = = = - v Giới hạn 3 3 x x 3 1 lim y lim x 1 x x ®±¥ ®±¥ æ ö = - + = ±¥ ç ÷ è ø 0,25 0,25 v Bảng biến thiên: x -¥ 0 2 +¥ y' + 0 - 0 + y 1 +¥ -¥ 3 0,25 · Đồ thị: cắt trục Oy tại điểm (0;1) 0,25 2 Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.... 1,00 Đồ thị hàm số có điểm cực đại ( ) 0;1 A ,điểm cực tiểu ( ) 2; 3 B - suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị , A B là ( )2 1 0 d x y + - = 0,25 đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 5 x m y m G - + - - = có tâm ( ) ; 1 I m m + bán kính 5 R = điều 0,25 2 1 O x 3 y 3 2 3 1 y x x = - + kiện ( ) d tiếp xúc với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 5 , 5 3 5 3 2 1 m m d I d R m m + + - G Û = Û = Û = Û = ± + Đáp số : 5 3 m = ± 0,25 0,25 II 2,00 1 Giải phương trình : ( )( ) 1 tan 1 sin 2 1 tan x x x - + = + (1) 1,00 Đặt 2 2 tan sin 2 1 t t x x t = Þ = + .Phương trình (1) trở thành ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t t t t t t t t t t t t = - é æ ö - + = + Û - + = + + Û ê ç ÷ + - + = + è ø ê ë ( ) 1 0 tan 1 tan 0 4 t t x x x k x k k p = - Ú = Û = - Ú = Û = - + p Ú = p Î ¢ 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Giải hệ phương trình: 1,00 ĐK 2 1 x y ³ ì í ³ î từ phương trình (2) ta có ( ) ( ) 4 2 2 1 1 2 x y y x - = - Þ - = - thay vào phương trình ( ) 1 ta được 3 2 2 27 4 4 x x x x - = - + - + Û 3 2 2 4 31 0 x x x x - + - + - = ( ) * Xét hàm số ( ) 3 2 2 4 31, f x x x x x = - + - + - với mọi 2 x ³ ( ) ' 2 1 3 2 4 0 2 2 2 f x x x x x Þ = + - + > " > - hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 2;+¥ mặt khác ( ) 3 0 3 f x = Þ = là nghiệm duy nhất của (*) thay vào phương trình (2) ta được 2 y = vậy nghiệm của hệ phương trình là 3; 2 x y = = 0,25 0,25 0,25 0,25 III Tính tích phân 1,00 Ta có ( ) 1 4 2 1 3 ln 3 2ln I x x x dx é ù = + - ë û ò ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 3 3 ln(3 1) ln ln ln 3 1 x x x x dx é ù = + + - = + ë û ò ò Đặt ( ) 2 2 6 ln 3 1 3 1 xdx u x du x dv dx v x ì ì = + = ï ï Þ + í í = ï ï î = î ( ) 1 2 2 1 1 2 1 3 3 6 4ln 2 ln3 ln 3 1 | 3 1 3 x dx I x x J x + = + - = - + ò Với 1 1 2 2 1 1 3 3 2 4 4 2 2 3 1 3 3 1 3 3 3 dx J dx x x p æ ö = - = - = - ç ÷ + + è ø ò ò ( đặt 3 tan x t = với ;2 2 t p p æ ö Î - ç ÷ è ø ( ) 2 1 1 tan 3 dx t dt = + đổi cận 1 ; 1 3 6 3 x t x t p p = Þ = = Þ = từ đó tính được 0,25 0,25 0,25 0,25 4 3 4 ln 2 ln3 4 3 3 9 3 3 9 J I p + p Þ = - Þ = - + IV ... Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 AB và 1 BC . 1,00 Ta có đáy lăng trụ là tam giác đều cạnh bằng 5 các mặt bên là hình vuông cạnh bằng 5 1 1 5 2 AB BC Þ = = .Dựng hình bình hành 1 1 1 1 1 1 5 2, 5 BDB C DB BC BD C B Þ = = = = , 0 .sin 60 5 3 AD CD = = (do ACD D vuông tại A vì ) BA BC BD = = ( ) ( ) 1 1 1 1 ; ; AB BC AB DB Þ a = = · ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 5 2 5 2 5 3 1 cos 2 . 4 2.5 2.5 2 AB DB AD AB D AB DB + - + - = = = · 1 AB D Þ nhọn từ đó · 1 1 cos 4 AB D a = Û a = . Ta thấy ( ) ( ) 1 1 1 1 / / , BC mp AB D AB mp AB D Ì từ đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 , , , d BC AB d BC mp AB D d B mp AB D = = = 1 1 . 3 B AB D AB D V dt D 1 . 1 1 3 1 . .sin 2 B ABC V AB DB = a 1 1 1 25 3 5. 4 5 1 1 15 . sin .5 2.5 2. 2 2 4 ABC BB dt AB AD D = = = a .Đáp số ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 cos ; 4 , 5 AB BC d AB BC ì a = a = ï í ï = î 0,25 0,25 0,25 0,25 V Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn 7 ab bc ca abc + + = .Tìm giá trị nhỏ nhất 1,00 giả thiết tương đương với 1 1 1 7 a b c + + = áp dụng bất đẳng thức Côsi+Bunhiacôpxki ta có: 2 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 8 54 54 2 9 9 9 S a b b a b b b æ ö æ ö = + + + + + + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø 4 2 2 1 1 16 4 4 c c c æ ö + + ç ÷ è ø 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 10 3 17 .7 24 2 3 2 2 3 2 7 a b c a b c æ ö æ ö + + + ³ + + + + + = + = ç ÷ ç ÷ + + è ø è ø dấu bằng xẩy ra khi 1 1 , 2 3 a c b = = = .Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 24 đạt khi 1 1 , 2 3 a c b = = = 0,25 0,25 0,25 0,25 VIa 2,00 1 Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ điểm M kẻ được hai tiếp tuyến 1,00 Đường tròn ( ) ( ) 2 2 : 4 4 C x y - + = có tâm ( ) 4;0 I bán kính 2 R = .Gọi toạ độ điểm ( ) 0; M a .Tiếp điểm ( ) ( ) 1 1 2 2 ; ; ; A x y B x y .Do MA là tiếp tuyến của ( ) C và ( ) A C Î ( ) (*) MA I A A C ì ^ ï Û í Î ï î uuur ur mà ( ) ( ) 1 1 1 1 ; 4; MA x y a IA x y ì = - ï í = - ï î uuur uur từ đó ( ) ( ) . 0 * MA IA A C ì = ï Û í Î ï î uuur uur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 4 0 1 4 4 2 x x y a y x y ì - + - = ï Û í - + = ï î ,lấy (1) trừ (2) theo vế ta được 1 1 4 12 0 x ay - - = tương tự cho điểm ( ) 2 2 ; B x y ta được 2 2 4 12 0 x ay - - = từ đó ta có phương trình đường thẳng chứa dây AB là ( ); 4 12 0 d x ay - - = mà điểm 0,25 0,25 0,25 ( ) ( ) 4;1 E d Î ( ) 4.4 .1 12 0 4 0;4 a a M Û - - = Û = Û .Đáp số ( ) 0; 4 M 0,25 2 1 2 , M d N d Î Î sao cho MN song song với ( ) P và cách ( ) P một khoảng bằng 2. 1,00 PT tham số của 1 2 1 2 5 6 : 3 3 & : 4 2 5 5 x t x s d y t d y s z t z s = + = + ì ì ï ï = - = í í ï ï = = - - î î Vậy ( ) ( ) 1 2 1 2 ;3 3 ;2 5 6 ;4 ; 5 5 M t t t d N s s s d ì + - Î ï í + - - Î ï î ( ) 6 2 4;4 3 3; 5 2 5 MN s t s t s t Þ = - + + - - - - uuuur mặt phẳng ( ) P có 1 vtpt ( ) ( ) 1; 2;2 , / / . 0 n MN P MN n MN n = - Þ ^ Û = uuuur uuuur r r r ( ) ( ) ( ) 1 6 2 4 2 4 3 3 2 5 2 5 0 s t s t s t t s Û - + - + - + - - - = Û = - .Vì ( ) / / MN P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 2 2 1 , , 2 1 4 4 t t t d MN P d M P + - - + - = = = + + 1 6 12 6 0 t t t = é - + = Û ê = ë · ( ) ( ) 1 1 1 1 3;0;2 , 1; 4;0 t s M N = Þ = - Þ - - · ( ) ( ) 2 2 0 0 1;3;0 , 5;0; 5 t s M N = Þ = Þ - 0,25 0,25 0,25 0,25 7a Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 5 12 3 5 2 x x x+ - + + = 1,00 Chia hai vế của phương trình cho 2 0 x > ta được : 3 5 3 5 12 8 2 2 x x æ ö æ ö - + + = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø (1) do 3 5 3 5 . 1 2 2 x x æ ö æ ö - + = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø đặt 3 5 3 5 1 0& 2 2 x x t t t æ ö æ ö - + = Þ > = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø khi đó pt (1) trở thành 2 2 12 8 8 12 0 6 t t t t t t = é + = Û - + = Û ê = ë ( thoả mãn) · 3 5 2 3 5 2 2 log 2 2 x t x - æ ö - = Þ = Û = ç ÷ ç ÷ è ø · 3 5 2 3 5 6 6 log 6 2 x t x - æ ö - = Þ = Û = ç ÷ ç ÷ è ø 0,25 0,25 0,25 0,25 VIb 2,00 1 Tìm điểm ( ) M d Î và điểm ( ) N C Î sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm ( ) 3;1 A . 1,00 Gọi ( ) ( ) 3 4; M a a d + Î mà N đối xứng với M qua ( ) ( ) 3;1 2 3 ;2 A N a a Þ - - theo gt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 : 4 0 2 3 2 4 2 0 N C x y y a a a Î + - = Û - + - - - = ( ) 6 2 5 6 0 0 5 a a a a Û - = Û = Ú = · ( ) ( ) 1 1 0 4;0 , 2;2 a M N = Þ · 2 2 6 38 6 8 4 ; , ; 5 5 5 5 5 a M N æ ö æ ö = Þ - ç ÷ ç ÷ è ø è ø 0,25 0,25 0,25 0,25 2 ...điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng chứa AB là nhỏ nhất . 1,00 Ta có ( ) 6; 4;4 AB = - uuur đường thẳng D có một vtcp ( ) 3; 2;2 / / . u AB = - Þ D r Gọi H là 0,25 hình chiếu của A trên D .Gọi ( ) P là mặt phẳng qua ( ) 1;2; 1 A - và ( ) P ^ D ( ) : 3 2 2 3 0 P x y z Þ - + + = .{ } ( ) H P = D Ç nên toạ độ điểm H là nghiệm của hệ pt : ( ) 1 3 2 2 3 0 2 1;2; 2 2 4 2 3 2 2 x x y z y H x y z z = - ì - + + = ì ï ï Û = Û - - - í í = = ï ï = - î î .Gọi ' A đối xứng với A qua D ( ) ' 3;2;5 A Þ - ( do H là trung điểm của ' AA ) Ta có ' , , , A A B D cùng nằm trong một mặt phẳng ( ) P .Pt đường thẳng ' A B là 3 2 5 3 2 5 7 3 2 2 3 5 5 2 1 x y z x y z + - - + - - = = Û = = + - - - - - Từ đó điểm M cần tìm là giao điêm giữa ' A B và D Þ toạ độ M là nghiệm hpt ( ) 3 2 5 2 5 2 1 0 2;0;4 2 4 4 3 2 2 x y z x y M x y z z + - - ì = ì = = ï ï ï - - Û = Û í í - - ï ï = = = î ï - î . Đáp số ( ) 2;0; 4 M 0,25 0,25 0,25 7b Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 log 1 log 1 log 2 2 x x x - = + + - 1,00 Đ/k: 2 2 1 1 0 1 1 0; 2 0 x x x x x ¹ > ì - > ì Û í í < - + ¹ - ¹ î î . Khi đó phương trình ( ) ( ) 2 2 log 1 log 1 log 2 x x x Û - = + + - ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 log 1 log 1 2 1 1 2 x x x x x x é ù Û - = + - Û - = + - ë û ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 0 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x é > é ì > ì ï êí êí - = + - é - - = = + ï êî î ê Û - = + - Û Û Û ê ê ê < < Ú < - < < Ú < - ì ì = ± ê ï ë ê ê í íê ê - = + - + = ï î î ë ë Phương trình có 3 nghiệm .: 1 2, 3 x x = + = ± 0,25 0,25 0,25 0,25 Lưu ý khi chấm bài: Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. Trong lời giải câu IV, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm. Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Hết
Tài liệu đính kèm: