Đề thi thử đại học lần 2 – tháng 12 môn thi: Toán học – khối A, B

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG	ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 – THÁNG 12/2010
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ	Môn thi: TOÁN HỌC – Khối A, B
Thời gian: 180 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu I:
Cho hàm số y =
x + 2
x - 2

(C).
1. Giải phương trình: cos x + cos3x = 1 +   2 sin ç	÷ .
ìïx  + y  = 1
1. Khảo sát và vẽ (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( -6;5).
Câu II:
æ	p ö
2x +
è	4 ø
3	3
2. Giải hệ phương trình: í	2	2	3
ïîx y + 2xy  + y  = 2
Câu III:
p
dx
ò cos x (1 + e   )
Tính I =
4
p
-
4

2                 -3x
ïz = 3
Câu IV:
Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)  bằng 2. Với
giá trị nào của góc a giữa mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?
Câu V:
Cho a, b,c > 0 : abc = 1. Chứng minh rằng:
1	1	1
a + b + 1	b + c +1c + a +1+	+£ 1
Câu VI:
1.  Trong  mặt  phẳng  Oxy cho  các  điểm  A (1;0) , B ( -2;4) ,C ( -1; 4), D (3;5)  và  đường
thẳng d : 3x - y - 5 = 0 . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích
bằng nhau.
2. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau:
ìx = -1 + 2t
x  y -1  z + 2	ï
d1 :	=	=	;	d2 : íy = 1 + t
2	-1	1
î
Câu VII:
2 C2010	2010	2010	2010	2010
2C	2 C	2C	2	C
Tính:
0     0               1    1               2     2               3    3                           2010     2010
A =             -             +             -             + ... 	+
1.2          2.3          3.4          4.5             2011.2012
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN 2
Câu I:
1. a) TXĐ:
\ {2}
y ' = -	< 0 "x ¹ 2
( x - 2)
b) Sự biến thiên của hàm số:
-) Giới hạn, tiệm cận:
+) lim y = -¥, lim y = +¥ Þ x = 2 là tiệm cận đứng.
x®2-	x®2+
+)  lim y = lim y = 1 Þ y = 1 là tiệm cận ngang.
x®-¥	x®+¥
-) Bảng biến thiên :
4
2
c) Đồ thị :
-) Đồ thị cắt Ox tại (-2;0) , cắt Oy tại (0; -1) , nhận I (2;1) là tâm đối xứng.
2. Phương trình đường thẳng đi qua A ( -6;5) là (d) : y = k ( x + 6) + 5 .
(d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :
x + 2
ì	4	x + 2
ï-  x - 2	2 × ( x + 6) + 5 = x - 2
ïk ( x + 6) + 5 = x - 2
í	Û í
4
( x - 2)
ïî	î
ï
( x - 2)
ì-4 ( x + 6) + 5( x - 2)  = ( x + 2) ( x - 2)
ì4x2 - 24x = 0
Û í	4	Û í	4
k =-	k =-
ï	ï
2
( x - 2)
( x - 2)
êx = 6; k = - 1
2 tiếp tuyến là : (d1 ) : y = -x -1;  (d2 ) : y = -	+
ì
ï	ï  (	)
4
ïk = -	2	ïk = -
2
2
ï	ï
î	î
x  7
4	2
Câu II:

2

éx = 0; k = -1
Û ê
ë                   4

Suy ra có
1. cos x + cos3x = 1 +   2 sin ç	÷
Û 2cos x + 2sin x cos x - 2 cos x cos 2x = 0
æ	p ö
2x +
è	4 ø
Û 2cos x cos 2x = 1 + sin 2x + cos2x
2
Û cos x (cos x + sinx - cos2x ) = 0
Û cos x (cos x + sinx ) (1 + sinx - cosx ) = 0
ï1 + s inx - cosx = 0
ïx =	+ kp
ï
ï
ïsin ç	÷ = -
î
ìcos x = 0
ï
Û ícos x + s inx = 0
î
ì       p
2
ï         p
Û íx = -    + kp
4
ï     æ       p ö
x -
è       4 ø

1
2
ïx = 2 + kp
ïx = -	+ kp
ïx -	= -	+ k2p
ï
p
5p	î
ï2 ( x - y) + ç
-	÷ = ç
-	÷
2x +	=
ï
ï	ï	è	ø	è	ø
ï2y +	= 3
ï2x +	= 3
ï2 ( x - y) = -
ï	ïëxy = -2
ïê
ï2x +	= 3
ï2x +	= 3
ì	p
ïx = 2 + kp	ì	p
ï
p
ï
ï	4	ï	p
Û í	Û íx = -	+ kp
p   p	4
4	4
ï	ïx = k2p
ï	ï
ïx -	=	+ k2p
î	4	4
ì	1  3	ì	æ 1  1 ö	æ 3  3 ö
y	x	y	x	x	y
2.í	Û í
1           1
î	î
ï	x	y	ï	y	x
ì	4 ( x - y)	ìéx = y
xy
Û í	Û í
1                    1
î	î
ï	y	x	ï	y	x
êí2x +	= 3
Û   ì
ê
ê  y =-
ï2x -	= 3
êí
éìx = y
êï
1
î
êï	x	x
2
êïï	x
x
ê
ëïî	2	x
Câu III:

éx = y = 1
êx = y = -1
Û êêx =   2, y = -   2
ê
êëx = -   2, y =   2
d ( x2 )
xdx	1   1	1
1	dt
I = ò	4	2
ò0  x2	2 + x 2 + 1	2   0ò t2 + t +1
+ x  + 1	2  (   )
1	dt	1	du
2 ò0 æ
2 ò1	2	æ   3 ö
æ   3 ö
ç	÷  + ç	÷	ç	÷
2 ø	è  2  ø	è	ø
1
=	=
0 x
3
1	2
=
=	2	2
2
1 ö
t +	2 u  +
è	2
tan y, y Î ç	÷ Þ du =	×
-   ;
2	2  2 ø
2	cos y
è
Đặt u =
3                 æ   p p ö                 3     dy

2
p
1	12
òp	pò dy = 6  3
2   cos y ×   × 1 + tan  y
3
(
)
4
3
1	p	p
u =	Þ y =	;u =	Þ y =
2	6	2	3
3
p	p
3	dy	3
Þ I =	=
2	3	2
6	6
Câu IV:
Gọi M, N là trung điểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM. Ta có:
SMN = a, d ( A;(SBC)) = d ( N;(SBC)) = NH = 2
Þ MN =	=	Þ SABCD = MN2 =
NH	2	4
sin a	sin a	sin 2 a
S
tan a
SI = MI.tan a =	=
sin a
1
cosa
1	4	1	4
Þ VSABCD =	×	×	=
3  sin2 a  cosa	3.sin2 a.cosa
H
sin2 a + sin2 a + 2cos2a	2
sin2 a.sin 2 a.2cos2a £	=
3	3

N
D
C
Þ sin2 a.cosa £
1
3

A
I

B
M
VSABCD min Û sin  a.cosa max
2
Û sin2 a = 2cos2a Û cosa =
Câu V:
Ta có:

1
3
) (	)	(
a +	3 b	a 2 -   3 ab +	3 b2   ³	3 ab	a +	3 b
a + b =

(

3

3                                                              3

)
)	(	)	(	)
a +	3 b  +1 =	3 ab	a +	3 b  +	3 abc =	3 ab	a +	3 b +	3 c  Tương  tự
Þ a + b +1 ³
3
ab (
3
3                                                            3
1	1	c
(	)
a +   b +	3 c
a + b + 1
3
ab	a +	3 b +	3 c
3
3
Þ  	    £  	    =
3	3
suy ra OK!
Câu VI:
1. Giả sử M ( x; y) Î d Û 3x - y - 5 = 0.
AB = 5, CD =   17
uuur	uuur
AB( -3;4) Þ nAB ( 4;3) Þ PT AB : 4x + 3y - 4 = 0
uuur	uuur
CD ( 4;1) Þ nCD (1; -4) Þ PT CD : x - 4y +17 = 0
SMAB = SMCD Û AB.d ( M;AB) = CD.d ( M;CD)
4x + 3y - 4	x - 4y +17
Û 5 ×	  =   17 ×	Û 4x + 3y - 4 = x - 4y +17
5	17
ìï3x - y - 5 = 0
Þí
ïî 4x + 3y - 4 = x - 4y + 17
Û ê
Þ M1 ç	÷ , M2 ( -9; -32)
éì3x - y - 5 = 0
êí
î3x + 7y - 21 = 0
êì3x - y - 5 = 0
êí
êëî5x - y +13 = 0

æ 7    ö
è 3    ø

;2
2. Gọi M Î d1 Þ M ( 2t;1 - t; -2 + t ), N Î d2 Þ N (-1 + 2t ';1 + t ';3)
uuuur
Þ MN ( -2t + 2t '-1; t + t '; -t + 5)
uuuur uur
ï	ì
ìMN.u1 = 0	ï2( -2t + 2t '-1) - ( t + t ') + ( -t + 5) = 0
íuuuur uur	Û í
î	î
ïMN.u1 = 0	ï2( -2t + 2t '-1) + (t + t ') = 0
ì-6t + 3t '+ 3 = 0
Û í	Û t = t' = 1
î-3t + 5t '- 2 = 0
uuuur
Þ M ( 2;0; -1) , N (1;2;3) , MN ( -1;2;4)
Þ PT MN :
x - 2  y  z +1
=    =
-1      2       4
2 C2010	2010	2010	2010	2010
2C	2 C	2C	2	C
Câu VII:
0	0	1	1	2	2	3	3	2010	2010
A =	-	+	-	+ ... 	+
1	2	3	4	2011
Ta có:
2 Ck2010
( -2)  2010!
( -2)  2010!
(

-1)

k
k
( k +1)
k                                   k
=                                   =
k!( 2010 - k )!(k +1)   ( k +1)!(2010 - k )!
( -2)  2011!
=	×	= -	× (-2)
k
1	1
2011 ( k + 1)!(2011 - k -1)!	4022

k+1

Ck20111+
Þ A =-	× é( -2) C12011	2011	2011 ù
+ (-2)  C2	2011
+ ... + (-2)
ë	û
= -	× é( -2 +1)
- ( -2)  C02011 ù =
1	1	2	2011
C
4022
2011	0
1	1
4022  ë	û	2011