Đề thi thử đại học – cao đẳng môn: Toán – khối A Trường THPT Đường An

 SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG 
TRƯỜNG THPT ĐƯỜNG AN 
ĐÊ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2010- 2011 
MÔN: TOÁN – KHỐI A 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7, 0 ñiểm) 
Câu I (2,0 ñiểm). Cho hàm số 4 2 22 1 (1)= + +y x m x 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
 2. Chứng minh rằng ñường thẳng y = x + 1 luôn cắt ñồ thị của hàm số (1) tại hai ñiểm phân biệt với mọi giá trị của 
m. 
Câu II (2,0 ñiểm) 
1. Giải phương trình: 
3 3sin sin 3 os cos 3 1
8
tan tan
6 3
x x c x x
x x
pi pi
+
= −
   
− +   
   
2. Giải hệ phương trình: 
3 3
2 2
4 16
1 5(1 )
x y y x
y x
 + = +

+ = +
Câu III (1,0 ñiểm). Tính tích phân: ( )
4
2
0
1
1 1 2
x
I dx
x
+
=
+ +
∫ 
Câu IV (1,0 ñiểm). Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh A, 2AB a= . Gọi I trung ñiểm 
của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt ñáy (ABC) thỏa mãn 2IA IH= −


 


, góc giữa SC và mặt ñáy ( )ABC bằng 
060 . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung ñiểm K của SB tới ( )SAH . 
Câu V (1,0 ñiểm). Cho x, y, z là ba số thực dương thay ñổi và thỏa mãn: 2 2 2x y z xyz+ + ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức: 
2 2 2
x y z
P
x yz y zx z xy
= + +
+ + +
. 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) 
Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A. Theo chương trình chuẩn. 
Câu VI.a (2,0 ñiểm). 
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3; 0), ñường cao từ ñỉnh B có phương trình: 1 0x y+ + = , 
trung tuyến từ ñỉnh C có phương trình: 2 2 0x y− − = . Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz, cho mặt cầu ( ) 2 2 2: 4 4 2 16 0S x y z x y z+ + − − + − = và mặt phẳng 
( ) : 2 2 1 0P x y z+ − + = . Viết phương trình mặt phẳng ( )Q song song với ( )P và khoảng cách từ tâm mặt cầu 
( )S ñến mặt phẳng ( )Q bằng 3. 
Câu VII.a (1,0 ñiểm). Tìm số phức z thỏa mãn: 2 2 0z z+ = . 
B. Theo chương trình Nâng cao. 
 Câu VI.b(2,0 ñiểm) 
 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ 0xy, cho ñiểm A(2; 1). Lấy ñiểm B nằm trên trục hoành có hoành ñộ không âm 
sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm toạ ñộ B, C ñể tam giác ABC có diện tích lớn nhất. 
 2. Trong không gian với hệ trục toạ ñộ Oxyz cho ñiểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (Q): 
 x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, B và vuông góc với (Q). 
 Câu VII.b(1,0 ñiểm): Tìm m ñể hàm số: 
2 1mxy
x
−
=
 có hai ñiểm cực trị A, B và ñoạn AB ngắn nhất. 
----------- Hết ---------- 
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh................................ 
 SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG 
TRƯỜNG THPT ĐƯỜNG AN 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2010- 2011 
MÔN: TOÁN – KHỐI A 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề 
Câu Đáp án Điểm 
 I 1. (1, 0 ñiểm). Khảo sát. 
Với m=1, hàm số trở thành: 4 22 1y x x= + + 
* Tập xác ñịnh: R 
* Sự biến thiên 
 + 3 2' 4 4 4 ( 1) ' 0 0y x x x x y x= + = + ⇒ = ⇔ = 
0, 25 
Ta có: ' 0 0; ' 0 0y x y x> ⇔ > < ⇔ < 
Hàm số nghịch biến trong khoảng ( );0−∞ và ñồng biến trong khoảng ( )0;+∞ ; ñạt cực 
tiểu tại x=0; y(0)=1 
0, 25 
 + Giới hạn: lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= = +∞ 
Bảng biến thiên: 
x −∞ 0 +∞ 
y' - 0 + 
y +∞ +∞ 
 1 
0, 25 
* Đồ thị: Hàm số ñã cho là hàm số chẵn nên ñồ thị nhận trục tung làm trục ñối xứng. 
0,25 
 2. (1, 0 ñiểm). Chứng minh ñường thẳng . 
Số giao ñiểm của hai ñồ thị tương ứng với số nghiệm của phương trình: 
4 2 22 1 1x m x x+ + = + 
3 2( 2 1) 0x x m x⇔ + − = (*) 
 ⇔ 3 2
0
2 1 0(**)
x
x m x
=

+ − =
 Phương trình (*) có một nghiệm 
x = 0 
0,25 
Ta sẽ ñi chứng minh phương trình: 3 22 1 0x m x+ − = (**) có ñúng một nghiệm khác 0 với 
mọi giá trị m 
* Nếu m=0 thì pt(**) trở thành: 3 1 0 1x x− = ⇔ = ⇒ pt(*) có ñúng 2 nghiệm. 
0,25 
• Nếu 0m ≠ , Xét hàm số 3 2( ) 2 1f x x m x= + − trên R. 
• Ta có: 2 2'( ) 3 2 0,f x x m x R= + > ∀ ∈ ⇒ f(x) luôn ñồng biến trên R ( ) 0f x⇒ = có 
0,25 
6 
4 
2 
-1 1 2
nhiều nhất một nghiệm. 
Ta có: f(0) = -1; f(1) =2m2 >0 (0). (1) 0f f⇒ < ⇒ pt ( ) 0f x = có nhiều nhất một nghiệm 
thuộc (0; 1). 
Vậy pt (**) có ñúng một nghiệm khác 0⇒ (ñpcm) 
0,25 
1. Giải phương trình. 1 
ĐK: 
6 2
x k
pi pi
≠ + 
Ta có: tan . tan tan cot 1
6 3 6 6
x x x x
pi pi pi pi       
− + = − − = −       
       
0.25 
Phương trình tương ñương ñương với: 
( )
3 3 1sin sin 3 os cos 3
8
1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1. .
2 2 2 2 8
12 os2 os2 . os4
2
x x c x x
c x c x c x c x c x c x
c x c x c x
+ =
− − + +
⇔ + =
⇔ + =
0.25 
3 1 1os 2 os2
8 2
c x c x⇔ = ⇔ = 
0.25 
 (loaïi)
6 , . Vaäy , 
6
6
x k
k x k k
x k
pi
pi
pi
pi
pi
pi

= +
⇔ ∈ = − + ∈

= − +
ℤ ℤ 
0.25 
 2.(1, 0 ñiểm). Giải hệ phương trình: 
3 3
2 2
4 16
1 5(1 )
x y y x
y x
 + = +

+ = +
HPT 
2 2 2 2
2 2 2 2
( 16) ( 4) ( 16) 5 (1)
4 5 4 5 (2)
x x y y x x x y
y x y x
 − = − − = 
⇔ ⇔ 
− = − =  
0,25 
Pt (1) 2
0
16 5 (3)
x
x xy
=
⇔ 
− =
+) x = 0 thay vào (2) ta ñược 2y = ± 
+) 0x ≠ , pt (3) 
2 16
5
xy
x
−
⇔ = thay vào (2) ta ñược: 4 2 2124 132 256 0 1x x x+ − = ⇔ = 
0,5 
 II 
• Nếu x = 1 thì y = -3 
• Nếu x =-1 thì y = 3. 
Vậy HPT có các nghiệm: (x; y) =( 0; 2); (0; -2); (1; -3); (-1; 3). 
0,25 
Tính tích phân 1 
Đặt 
2 21 1 2 ( 1) vaø 
21 2
dx t t
t x dt dx t dt x
x
−
= + + ⇒ = ⇒ = − =
+
Đổi cận: 
x 0 4 
t 2 4 
0.25 
III 
Ta có: 0.5 
( )( )24 4 43 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 11 1 3 4 2 1 4 23
2 2 2
41 23 4 ln
2 2 2
t t t t t t
I dt dt t dt
tt t t
t
t t
t
− + −  − + −
= = = − + − 
 
 
= − + + 
 
∫ ∫ ∫
= 
12 ln 2
4
− 
0.25 
Tính thể tích và khoảng cách 1 
Ta có: 2 H thuoäc tia ñoái cuûa tia IA vaø IA = 2IHIA IH= − ⇒


 


2 2 ; ;
2 2
3
2
IA a
BC AB a AI a IH
a
AH AI IH
= = = = =
= + =
0.5 
Ta có: 2 2 2 0 52 . cos 45
2
a
HC AC AH AC AH HC= + − ⇒ = 
( ) ( )( )  0
0
 ; 60
15tan 60
2
Vì SH ABC SC ABC SCH
a
SH HC
⊥ ⇒ = =
= =
0.25 
3
.
1 15. (dvtt)
3 6S ABC ABC
a
V S SH= = 
0.25 
IV 
( )
( ; ( )) 1 1 1Ta coù: ( ; ( )) ( ; ( ))
( ; ( )) 2 2 2 2
BI AH
BI SAH
BI SH
d K SAH SK a
d K SAH d B SAH BI
d B SAH SB
⊥
⇒ ⊥⊥ 
= = ⇒ = = =
0.25 
Tính giá trị lớn nhất của P 
Vì x,y,z > 0. Áp dụng BĐT Côsi ta có: 
2 2 2
1 2 2 2
42 2 2
x y z
P
yz zx xyx yz y zx z xy
 
 ≤ + + = + +
 
 
0.25 
2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 2
1 1
2 2
yz zx xy x y z
y z z x x y xyz xyz
xyz
xyz
    + + + +≤ + + + + + = ≤     
     
 
≤ = 
 
0.5 
V 
Dấu bằng xảy ra 13. Vaäy MaxP = 
2
x y z⇔ = = = 
0.25 
1. Viết phương trình ñường tròn VI.a 
Kí hiệu : 1 2: 1 0; : 2 2 0d x y d x y+ + = − − = 
( ) ( )1 1 2 2 coù vectô phaùp tuyeán 1;1 vaø d coù vectô phaùp tuyeán 1; 1d n n= = −

 

 
+ Phương trình AC : 3 0x y− − = . 
+ Tọa ñộ C : ( )3 0 1; 4
2 2 0
x y
C
x y
 − − =
⇒ − −
− − =
0.25 
K
H
I
C
B
A
S
M
d2
d1
B
C
A
Gọi 
3
( ; ) ; (M trung ñieåm AB)
2 2
B B
B B
x y
B x y M
 +
⇒  
 
1 2
1 0
B d , ( 1; 0)
3 2 0
2
B B
B
B
x y
M d By
x
 + + =

⊂ ⊂ ⇒ ⇒ −
+ − − =

0.25 
Gọi phương trình ñường tròn qua A, B, C có dạng : 2 2 2 2 0x y ax by c+ + + + = 
Thay tọa ñộ A, B, C vào phương trình và giải hệ ta có phương trình ñường tròn cần lập : 
2 2 2 4 3 0x y x y+ − + − = 
0.5 
2. Viết phương trình mặt cầu 1 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2: 4 4 2 0
 coù taâm I 2; 2; 1
 / / neân coù daïng: 2 2 0, ñieàu kieän D 1 *
S x y z x y z
S
Vì Q P Q x y z D
+ + − − + =
−
+ − + = ≠
0.25 
( )( )
2 2 2
2.2 1.2 2( 1)
, 3 3
2 1 ( 2)
D
d I P
+ − − +
= ⇔ =
+ + −
0.25 
1 (L)
8 9
17
D
D
D
 =
⇔ + = ⇔ 
= −
0.25 
Vaäy phöông trình cuûa (Q): 2x 2 17 0y z+ − − = 0.25 
VII. a Gọi a, bz a bi= + ∈ℝ 
( ) ( )
( )
22
2 2
2 2
2 2
2 0 2 0
2 2 2 0
2 2( ) 0
2 0 ( 1; 3 ), ( 0; 0), 2; 0
2( ) 0
 Vaäy coù 4 soá phöùc thoûa maõn: 0, 2, 1 3
z z a bi a bi
a abi b a bi
a b a ab b i
a b a
a b a b a b
ab b
z z z i
+ = ⇔ + + − =
⇔ + − + − =
⇔ − + + − =

− + =
⇔ ⇔ = = ± = = = − =
− =
= = − = ±
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
1. (1 ñiểm): Tìm toạ ñộ B, C ñể tam giác ABC có diện tích lớn nhất. 
Gọi A(2; 1); B(b; 0); C(0; c); b, c > 0. 
Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông tại A 
nên 5. 0 2 5 0
2
AB AC c b O b= ⇔ = − + ≥ ↔ ≤ ≤



 



0,25 
2 2 21 1
. ( 2) 1. 2 ( 1)
2 2ABC
S AB AC b c∆ = = − + + −
2 2( 2) 1 4 5b b b= − + = − + 0,5 
Do 
max
50
2
b S≤ ≤ → khi b =0. Suy ra B(0; 0); C(0; 5). 0,25 
VI.b 
2.(1 ñiểm). Lập phương trình mặt phẳng. 
 Ta có (1;1;1), (1;2;3), ; (1; 2;1) = = = − 



 

 


 


Q QAB n AB n 
Vì ; 0QAB n  ≠ 



 

 
 nên mặt phẳng (P) nhận ; QAB n  



 


 làm véc tơ pháp tuyến 
Vậy (P) có phương trình x - 2y + z - 2 = 0 
1 
VII.b 
(1 ñiểm): Tìm m ñể hàm số: 
2 1mxy
x
−
= có hai ñiểm cực trị A, B và ñoạn AB ngắn nhất. 
 Ta có: 
2
2
1
'
mxy
x
+
= . 0,25 
 Hàm số có hai cực trị ' 0y⇔ = có hai nghiệm phân biệt khác 0 0(*)m⇔ < . 0,25 
Khi m<0 ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị là: 
 ( ) ( )
21 1 4;2 , ; 2 16A m B m AB m
mm m
   
− − − − ⇒ = + −   
−
− −   
. 
0,25 
 ( ) ( )
2 42 .16 16AB m
m
≥ − =
−
 ( không ñổi). 
1
4 24 16( )
1
2
m
AB m
m
m

= −
= ⇔ = − ⇔ 
− 
=

Kết hợp với ñiểu kiện (*) ta ñược 1
2
m = − . 
KL:....... 
0,25