Đề thi thử đại học, cao đẳng môn thi: Toán, khối A (lần 2)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 
­­­­­o0o­­­­­ 
TRƯỜNG THPT PCB 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 
Môn thi: TOÁN, khối A (Lần 2) 
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu I (2 điểm): 
Cho hàm số  2 1 
1 
x 
y 
x 
- 
= 
+ 
(1). 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
2) Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) , I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm toạ độ điểm M 
sao cho tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng IM có tích hệ số góc bằng ­ 9. 
Câu II (2 điểm): 
1) Giải phương trình :  2 2 os3x.cosx+ 3(1 s in2x)=2 3 os (2 )
4 
c c x p + + 
2) Tìm giá trị của m  để phương trình sau có nghiệm duy nhất : 
0 ) 2 3 ( log ) 6 ( log  2 2 5 , 0 = - - + +  x x x m 
Câu III (1 điểm): 
Tính tích phân : 
ln3 
ln 2 
x x 
dx 
I 
e e - 
= 
- ò 
Câu IV (1 điểm): 
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ 
lên măt  phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 
biết khoảng cách giữa AA’  và BC là 
a 3
4 
. 
Câu V (1 điểm): 
Cho  , , a b c  là ba số thực dương. 
Chứng minh rằng:  2 3 6 6  5 3 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 
a b c 
a b a c b a b c c a c b 
+ + £ 
+ + + + + + 
Câu VI (2 điểm): 
1) Trong mp(Oxy) cho 4 điểm A(1;0),B(­2;4),C(­1;4),D(3;5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường 
thẳng  ( ) : 3 5 0 x y D - - =  sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau. 
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;­1;1) và hai đường thẳng 
1 
( ) : 
1 2 3 
x y z d + = = 
- - 
và  1 4 ( ') : 
1 2 5 
- - 
= = 
x y z d 
Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. 
Câu VII(1 điểm): 
Tìm số phức z thoả mãn :  z 2 i 2 - + =  . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. 
HẾT 
Cán bộ coi thi không gải thích gì thêm. 
Họ tên thí sinh:.................................................... ..Số báo danh:......................... 
www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM 
CÂU  NỘI DUNG  ĐIỂM 
I.1  Hàm số:  2 1 
1 
- 
= 
+ 
x 
y 
x 
;  TXĐ: { } \ 1 R - 
+) Giới hạn, tiệm cận: 
( 1) ( 1) 
2; 2; ; lim lim lim lim 
x x  x x 
y y y y 
+ - ®+¥ ®-¥ ® - ® - 
= = = -¥ = +¥ 
­ TC đứng: x = ­1; TCN: y = 2. 
+) 
( ) 2 
3 
' 0, 
1 
y x D 
x 
= > " Î 
+ 
; HSĐB Trên các khoảng  ( ; 1)& ( 1; ) -¥ - - +¥  . 
+) BBT: 
x  ­ ¥  ­ 1 
+¥ 
y'  +              ||              + 
y +¥  2 
|| 
2 -¥ 
+) ĐT: 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
I.2 
+) Ta có I(­ 1; 2). Gọi  0  2 
0  0 
3 3 
( ) ( ;2 ) 
1  ( 1) 
M I 
IM 
M I 
y y 
M C M x k 
x x x  x 
- - 
Î Þ - Þ = = 
+ - + 
+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: 
( ) 0  2 0 
3 
'( ) 
1 
M k y x 
x 
= = 
+ 
+)  . 9 M IM ycbt k k Û = - 
+) Giải được x0 = 0; x0 = ­2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; ­ 3), M(­ 2; 5) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
1)  os4x+cos2x+ 3(1 sin 2 ) 3 1 os(4x+ )
2 
PT c x c p æ ö Û + = + ç ÷ 
è ø 
os4x+ 3 sin 4 os2x+ 3 sin 2 0 c x c x Û + = 
0,5 
II 
sin(4 ) sin(2 ) 0 
6 6 
x x p p Û + + + =  18 3 2sin(3 ). osx=0 
6 
x= 
2 
x k 
x c 
k 
p p 
p 
p p 
é = - + ê 
Û + Û ê 
ê + ê ë 
0,5 
8 
6 
4 
2 
-2 
-4 
-6 
-10 -5 5 10
Vậy PT có hai nghiệm 
2 
x k p p = +  và 
18 3 
x k p p = - +  . 
2) Û = - - + +  0 ) 2 3 ( log ) 6 ( log  2 2 5 , 0  x x x m Û - - = +  ) 2 3 ( log ) 6 ( log 
2 
2 2  x x x m 
î 
í 
ì 
+ - - = 
< < - 
Û 
ï î 
ï 
í 
ì 
- - = + 
> - - 
Û 
3 8 
1 3 
2 3 6 
0 2 3 
2 2 
2 
x x m 
x 
x x x m 
x x 
0,5 
XÐt hµm sè  1 3 , 3 8 ) (  2 < < - + - - =  x x x x f ta cã  8 2 ) ( ' - - =  x x f ,  0 ) ( ' < x f khi 
4 - > x , do ®ã  ) (x f nghÞch biÕn trong kho¶ng  ) 1 ; 3 (- ,  6 ) 1 ( , 18 ) 3 ( - = = -  f f . 
VËy hÖ ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt khi  18 6 < < -  m 
0,5 
ln 3 ln 3 
2 
ln 2 ln 2  1 
x 
x x x 
dx e dx 
I 
e e e - 
= = 
- - ò ò ;  Đặt 
x x t e dt e dx = Þ = 
3 3 
2 
2 2 
1 1 1 
1 2 1 1 
dt 
I dt 
t t t 
æ ö = = - ç ÷ - - + è ø ò ò 
3 3 3 3 
2 2 2 2 
1 1 1 1 
ln 1 ln 1 
2 1 2 1 2 2 
dt dt 
t t 
t t 
= - = - - + 
- + ò ò 
3 
2 
1 1 1 1 1 1 3 
ln ln ln ln 
2 1 2 2 3 2 2 
t 
t 
- æ ö = = - = ç ÷ + è ø 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Gọi M là trung điểm BC ta thấy: 
þ 
ý 
ü 
^ 
^ 
BC O A 
BC AM 
' 
) ' (  AM A BC ^ Þ 
Kẻ  , ' AA MH ^ (do  A Р nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.) 
Do  BC HM 
AM A HM 
AM A BC 
^ Þ 
þ 
ý 
ü 
Î 
^ 
) ' ( 
) ' ( 
.Vậy HM là đọan vông góc chung của 
AA’và BC, do đó 
4 
3 
) BC , A' (  a HM A d = =  . 
0,5 
III
IV 
Xét 2 tam giác đồng dạng AA’O và AMH, ta có: 
AH 
HM 
AO 
O A 
= 
' 
Û  suy ra 
3 
a 
a 3 
4 
4 
3 a 
3 
3 a 
AH 
HM . AO 
O ' A = = = 
Thể tích khối lăng trụ: 
12 
3 a 
a 
2 
3 a 
3 
a 
2 
1 
BC . AM . O ' A 
2 
1 
S . O ' A V 
3 
ABC = = = = 
0,5 
A 
B 
C 
C’ 
B’ 
A 
’ 
H 
O M
Ta c ó: BĐT Û  2 2 3 2 3  5 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 
a b c 
a b a c b a b c c a c b 
+ + £ 
+ + + + + + 
Theo BĐT côsi : 
2 
( )( ) 
a a a 
a b a c  a b a c 
+ ³ 
+ + + + 
(1) 
3 2 3 
( )( ) 
b b b 
b a b c  b a b c 
+ ³ 
+ + + + 
(2) 
3 2 3 
( )( ) 
c c c 
c a c b  c a c b 
+ ³ 
+ + + + 
(3) 
0,5 
Cộng vế theo vế các BĐT (1), (2), (3) ta có: 
2 2 3 2 3 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 
a b c 
a b a c b a b c c a c b 
+ + 
+ + + + + + 
3 3 
5 
a a b b c c 
a b a c b a b c c a c b 
æ ö æ ö æ ö £ + + + + + = ç ÷ ç ÷ ç ÷ + + + + + + è ø è ø è ø 
0,5 
1)  Viết phương trình đường AB:  4 3 4 0 x y + - =  và  5 AB = 
Viết phương trình đường CD:  4 17 0 x y - + =  và  17 CD =  0,25 
Điểm M thuộcD  có toạ độ dạng:  ( ;3 5) M t t = -  . Ta  tính được: 
13 19 11 37 
( , ) ; ( , ) 
5  17 
t t 
d M AB d M CD 
- - 
= = 
0,25 
Từ đó:  ( , ). ( , ). MAB MCD S S d M AB AB d M CD CD = Û = 
7 
9 
3 
t t Û = - Ú = Þ Có 2 điểm cần tìm là: 
7 
( 9; 32), ( ; 2) 
3 
M M - - 
0,5 
V 
VI 
2)  *(d)  đi qua  1 (0; 1;0) M -  và có vtcp  1  (1; 2; 3) u = - - 
uur 
(d’) đi qua  2 (0;1;4) M  và có vtcp  2  (1;2;5) u = 
uur 
*Ta có  1 2 ; ( 4; 8;4) u u O é ù = - - ¹ ë û 
uur uur ur 
,  1 2  (0;2;4) MM = 
uuuuuuur 
Xét  1 2 1 2 ; . 16 14 0 u u MM é ù = - + = ë û 
uur uur uuuuuuur 
ð  (d) và (d’) đồng phẳng . 
*Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) => (P) có vtpt  (1; 2; 1) n = - 
ur 
và đi qua M1 
nên có phương trình  2 2 0 x y z + - + = 
*Dễ thấy điểm M(1;­1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm . 
0,5 
0,25 
0,25 
VII 
Gọi số phức z=a+bi 
Theo bài ra ta có: 
( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2  2 1 4 
3  2 
a b i  a b 
b a  b a 
ì ì - + + = - + + = ï ï Û í í 
= - = - ï ï î î 
2 2; 1 2 
2 2; 1 2 
é = - = - - 
Û ê 
= + = - + ê ë 
a b 
a b 
Vậy số phức cần tìm là: z= 2 2 -  +(  1 2 - -  )i; z= z= 2 2 +  +(  1 2 - +  )i. 
0,5 
0,5 
Người ra đề: 
GV: PHAN ĐÌNH CÔNG