Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2012 - Tỉnh Thái Nguyên

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO 
THÁI NGUYÊN 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
LỚP 12 THPT – NĂM HỌC 2011 - 2012 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài 180 phút – không kể thời gian giao đề 
Bài 1: (4 điểm) 
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
   2cos 6 sin
2
xf x x  trêm đoạn  0; . 
b) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có: 
 5 10sin sin 6 sin
4
A B C   
Bài 2: (4 điểm) 
 Cho đường tròn (O, R) và hai điểm P, Q cố định. P nằm ngoài (O), còn Q là điểm nằm trong (O). Dây 
cung di động AB của (O) luôn qua Q. PA, PB lần lượt giao lần thứ hai với (O) tại C và D. 
 Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua 1 điểm cố định. 
Bài 3: (4 điểm) 
 Giải hệ phương trình 
 
 
2 2
2
58 4 13
12 1
x y xy
x y
x
x y
     

   
Bài 4: (4 điểm) 
a) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số gồm có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các 
chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0 và 1 không đứng cạnh nhau? 
b) Tính tổng: 1 2 2 3 32 2 .2 2 .3 ... 2 .n nn n n nS C C C nC     
 Bài 5: (4 điểm) 
 Giải phương trình: 
sin 2011 cos2011x x  
----------------- Hết-------------------- 
Họ và tên thí sinh: SBD: 
ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
LỚP 12 THPT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2011 – 2012 
Bài 1: (4 điểm) 
a) Đặt  sin 0;1
2
x t t   ta có hàm số    22 1 1 6f t t t   
Khảo sát hàm số trên đoạn  0;1 ta được       6 5 10min 0; max arcsin
4 4
f x f f x f
 
     
 
b) Ta có sin sin 6 sin 2 os os 6 sin 2 os 6 sin
2 2 2
C A B CA B C c c C c C      
 2 2 2 1 3 5 1010 os sin 10 os os
2 2 2 2 2 2 4
C C C Cc c c            
   
. Đẳng thức khi A = B, 
Bài 2: (4 điểm) 
 Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua I PQ CD  điểm cố định. 
Bài 3: (4 điểm) 
 Hệ phương trình viết thành
   
 
2 2
2
55 3 13
1 1
x y x y
x y
x y x y
x y
      

     
 
 Đặt 
a x y
b x y
 

 
 và đặt 
1 , 2a u u
a
    Ta được hệ 
2 25 3 23
1
u b
u b
  

 
 Ta tìm được 2 1 1u b a      . 
Từ đó hệ có nghiệm duy nhất    , 0,1x y  
Bài 4: (4 điểm) 
a) Số có dạng 01ab cd với giao hoán các chữ số theo giả thiết là 5 42P P số. 
Vậy số các chữ số phải tìm là  6 5 5 4( ) 2P P P P   số. 
b) Xét khai triển  1 1 nx    và đạo hàm hai vế của nó, ta có được 
         1 21 22 1 1 2 1 ... . 1n n nn n nn x x x C x C n x C

         , từ đó có 12 .3nS n  
 Bài 5: (4 điểm) 
 Từ 
sin 2011 1, os2011 1x c x   và ;k Z Q  ta được nghiệm duy nhất 0x  . 
----------------- Hết-------------------- 
PTDT NT.