Đề thi học sinh giỏi môn: Toán lớp 11

MÔN: TOÁN LỚP 11 
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu I.(5đ) 
Giải các phương trình sau:
1) ; 2) 
Câu II.(5đ) 
Cho tam thỏa mãn: 
Chứng minh vuông:
Câu III.(4đ) 
Tìm sao cho: 
Câu IV.(3đ) 
Cho là độ dài 3 cạnh của một tam giác với chu vi . 
Chứng minh: 
Câu V.(3đ) 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C?
..Hết..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh.... Số báo danh..
HƯỚNG DẪN CHẤM: TOÁN LỚP 11
Chú ý: Cách giải khác hướng dẫn chấm, mà đúng thì vẫn cho điểm theo thang điểm
Câu
Nội dung
Điểm
I
(5đ)
1) x6 - 5x2 + 2 = 0 x6 - 4x2 - x2 + 2 = 0x2(x4 - 4) - (x2 - 2) = 0
x2(x2 + 2)(x2 - 2) - (x2 - 2) = 0(x2 - 2)(x4 + 2x2 - 1) =0
+) x2 - 2 = 0 x2 = 2 x = .
+) x4 + 2x2 - 1 = 0 
x2 = 
Kết luận: PT đã cho có 4 nghiệm: x = ; 
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
2) 
Đặt u =; v = .
Ta có: 
+) u = 3 = 3 12 - x = 27 x = - 15.
+) u = - 1 = - 1 12 - x = - 1 x = 13.
Kết luận: PT đã cho có 2 nghiệm: x = - 15, x = 13.
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ 
II
(5đ)
 =
 = cosA + cosB + cosC
 Khi đó dẳng thức đã cho 
0,5
1
1
0.5
1
1
III
(4đ)
§iÒu kiÖn . Ta cã : 
 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn )
1
1
1
1
IV
(3đ)
Chứng minh (1)
Áp dụng (1) ta có: 
Do đó 
Dấu dẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 
1
1
1
V
(3đ)
Tọa độ A là nghiệm của hệ Þ A(–4, 2)
Vì G(–2, 0) là trọng tâm của DABC nên
	 (1)
Vì	B(xB, yB) Î AB Û yB = –4xB – 14 (2)
	C(xC, yC) Î AC Û ( 3)
Thế (2) và (3) vào (1) ta có
Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
0,25
0,75
1
1
..Hết..