Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10

Sở GD&ĐT Hải Dương
Trường THPT nam Sách
Đề thi học sinh giỏi
môn toán lớp 10. năm học 2010-2011
(Thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình: 
a. 
b. 
c. 
Câu 2: (1 điểm) Giải hệ phương trình 
Câu 3: (2 điểm) Giải bất phương trình : 
a. 
b. 
Câu 4 : (3 điểm) 
Trong có 3 cạnh a, b, c thoả mãn: . Tính .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình và hai điểm A(4; 6), B(0; 4). Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho độ dài vectơ có độ dài nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn . Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng một góc 450. 
Câu 5: (1 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thoả mãn abc =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
 P = +++. Đạt được khi nào?
...................................... Heỏt ...................................... Đáp án
Câu
Nội dung
Điểm
I
3 điểm
a
Đk: .
Pt đã cho tương đương với . 
Đặt . Ta có phương trình: (1).
Pt (1) (thỏa mãn đk ).
Với ta có phương trình: 
.
Với ta có phương trình: 
.
Đối chiếu với điều kiện phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là: và .
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b
DK: 
* 
*
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
c
Đk: 
Biến đổi pt ta cú : 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 
Áp dụng bất đẳng thức Cụsi: 
Dấu bằng 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
II
Giải hệ phương trình 
1 điểm
, ta cú: 
Đặt ta cú hệ: 
+) Với hệ: .
+) Với ta cú hệ: , hệ này vụ nghiệm.
KL: Vậy hệ đó cho cú hai nghiệm: 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
III
2 điểm
a
1 điểm
a
ã TH 1: 
 Bất phương trỡnh thỏa món
ã TH2: 
Kết luận: 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b
Giải bất phương trình: 
1 điểm
b
Điều kiện: (*)
Ta có (1) 
TH1: Với x < -2. Bất phương trình vô nghiệm ( do vế trái âm)
TH 2: Với x > 2. Bình phương 2 vế bất phương trình (1) ta được: 
Đặt Khi đó bất phương trình (2) có dạng: 
Kết hợp với trường hợp ĐK đang xột,ta được nghiệm của bất phương trình là: 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
IV
3 điểm
a
Trong có 3 cạnh a, b, c thoả mãn: . Tính .
1 điểm
a
Ta có: 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b
Cho đường thẳng (d) có phương trình và hai điểm A(4; 6), B(0; 4). Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho độ dài vectơ có độ dài nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
1 điểm
b
Vậy M(
Ta có: , 
.
= 
. Dấu “=” xảy ra khi , 
khi đó . Vậy tại M(.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
c
Cho đường tròn . Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng một góc 450.
1 điểm
c
Giả sử đường thẳng ( d) có PT dạng: có VTPT . Đường tròn
 ( C) có tâm I(1;-1) bán kính R= 
( d) là tiếp tuyến của đường tròn (C) 
 có vectơ pháp tuyến là và ( d) tạo với một góc 450 do đó 
* Với thay vào (2) ta được: 
+ Với C = 14B thay vào (1) ta được tiếp tuyến: (d1):
+ Với C = -6B thay vào (1) ta được tiếp tuyến: (d2):
* Với tương tự ta được hai tiếp tuyến (d3):
Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
(d1):; (d2): ; (d3):
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
V
Cho a,b,c là ba số thực dương thoả mãn a.b.c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
 P = +++
1 điểm
V
Xét 4P = +++
áp dụng Côsi có : +...
+	
+
Cộng lại => 
F nhỏ nhất bằng 9/4 khi a=b=c=1.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.