Đề thi học sinh giỏi khối lớp 12 môn Toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
(Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6,0 điểm) Cho hàm số y = 
1. Với m = -1.	a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2,0đ).
	b, Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất (2đ).
2. Tìm m để đồ thị hàm số có tương ứng một điểm cực trị thuộc góc phần tư (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư (IV) của mặt phẳng toạ độ (2,0đ).
Câu 2: (3,0 điểm)	1. Giải phương trình: Sin3x + Cos3x = 2 - Sin4x (1,0đ)
	2. Cho k, l, m là độ dài các đường trung tuyến của r ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp r đó:
	CMR: k + l + m ≤ (2,0đ).
Câu 3: (3,0 điểm):	Cho (E):	 + = 1
Hình chữ nhật Q gọi là hình chữ nhật ngoại tiếp với E nếu mỗi cạnh của Q đều tiếp xúc với E.
Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp với E. Hãy xác định:
	1. Hình chữ nhật có Smin (1,0đ).
	2. Hình chữ nhật có Smax (1,0đ).
Câu 4: (4,0 điểm)	1. Cho a, b là hai số dương khác nhau. người ta lập 2 dãy số {un} và {vn}, bằng cách đặt:
	u1 = a; v1 = b ; un+1 = 	vn+1 = 
(n = 1, 2, 3,...) C/m Limnà +¥ Un = Limnà +¥ Vn (2,0đ)
	2. Cho m > 0 a, b, c thoả mãn: + + = 0
CMR phương trình: ax2 + bx + c = 0 có ít nhất 1 nghiệm x Î (0,1) (2,0đ).
Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là một điểm di động trong không gian sao cho M nhìn AB và AD dưới một góc vuông, gọi O là tâm của hình vuông.
1. Chứng minh M luôn luôn di động trên một đường tròn x cố định (1,0đ).
2. a là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Kéo dài DM cắt a tại N. CM góc ANB vuông (1,0đ).
3. Đặt DM = x. Tính MN theo a và x. Tìm miền biến thiên của x, từ đó suy ra điều kiện của hằng số k để tồn tại x thoả mãn MN = k (1,0đ).
4. Tìm giá trị lớn nhất của VABND (1,0đ).
-Hết-