Đề thi học sinh giỏi 12 môn Toán - Đề 2

Kì thi học sinh giỏi lớp 12
Môn Toán-
(Thời gian 180 phút,không kể giao đề )
Bài 1 . Cho hàm số : f(x) = x(x-1)(x-2)(x-2006). Tính f'(0).
Bài 2. Tính I = 
Bài 3 . Tìm m để phương trình : 
 có nghiệm duy nhất.
Bài 4. Giải phương trình : .
Bài 5. Tìm tổng các nghiệm thuộc [2;40] của phương trình: 
Bài 6. Cho ABC, Chứng minh rằng (p-a)(p-b)(p-c) 
 với .
Bài 7. Tính L= [(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x2)], với <1.
Bài 8. Giải bất phương trình: 
Bài 9. Trong không gian cho hai điểm A,B cố định có AB=10.
 Tìm quỹ tích điểm M sao cho AM=3BM.
Bài10. Chứng minh rằng: Nếu n,k N thì: 
 . ()2.
----hết-----
***
đáp án –thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 12
 Môn Toán-
 Đáp án –thang điểm này gồm có : 4 trang.
Bài
Nội dung
điểm
Bài 1
2.0
Cho x0=0 một số gia x=x-x0=x.
 Ta có y=f(x0+x)-f(x0)
 = f(x)-f(0)=
0.5
 Suy ra 
 f= =
 =(-1)(-2)(-2006)=2006 !
1.0
 vậy f=2006!
0.5
Bài 2
2.0
Phân tích x4+1 =(x2+x+1)( x2-x+1)
0.5
Phân tích 
Đồng nhất hai vế ta được 
1.0
Vậy I=+
 ==
0.5
Bài 3
2.0
Giả sử x0 là nghiệm của phương trình thì -x0 cũng là nghiệm . Do tính duy nhất nghiệm nên x0=-x0 x0=0
0.5
Thay x0=0 vào phương trình ta được m= -1, m=2
0.5
Với m=-1, ta có pt: 
0.5
Với m=2, ta có pt: 
Vậy m=-1,m=2 là giá trị cần tìm.
0.5
Bài 4
2.0
Đặt t=
0.5
Pt 
1.0
 	x3-2x+1=0 x=1, x= , x= .
Vậy phương trình có 3 nghiệm là: x=1, x= , x= .
0.5
Bài 5
2.0
ĐK:sinx0,PT2cos2x+cotg2x=sin x +1+ cotg2x
 2sin2x+sinx-1=0
0.5
a.Cho 2
Vậy tổng các nghiệm của họ x1 là : 
0.5
b.Tương tự tổng các nghiệm của họ x2 là : 
0.5
c.tổng các nghiệm của họ x3 là : 
Vậy tổng các nghiệm là 39 +43+35 =117
0.5
Bài 6
2.0
Theo BĐT CôSi ta có: (p-a)(p-b)
0.5
 Tương tự: (p-b)(p-c)
 (p-a)(p-c)
Nhân vế với vế của 3 BĐT trên ta được :
 [(p-a)(p-b)(p-c)]2 
1.0
 (Đpcm)
0.5
Bài 7
2.0
Nhân và chia biểu thức lấy giới hạn với (1-x) ta được :
0.5
L=
 ===
=
1.0
Vì nên =0. Vậy L=
0.5
Bài 8
2.0
Vì f(x)=21-x -2x+1=-2x+1+ là hàm nghịch biến và f(1)=0 nên f(x)>f(1)=0 x0. Vậy f(x) cùng dấu với (1-x).
1.0
Vì g(x)=2x-1 là hàm đồng biến và g(0) =0 nên g(x)>0 x>0.
Vậy g(x) cùng dấu với x.
0.5
Suy ra BPT .
Vậy tập nghiệm của BPT là: (0;1]
0.5
Bài 9
2.0
Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho A=(-5;0;0), B=(5;0;0).
0.5
Gọi M(x;y;z) là điểm thoã mãn AM=3BMAM2=9BM2
	(x+5)2+y2+z2=9(x-5)2+9 y2+9z2 
 x2+y2+z2-x +25 =0 (*) Đây là phương trình mặt cầu.
1.0
Vậy quỹ tích điểm M cần tìm là mặt cầu có phương trình (*).
0.5
Bài 10
2.0
Cố định n, với 0, xét dãy số {uk}
Ta có 
0.5
	(2n+k+1)(n-k)(n+k+1)(2n-k)
	2nk+n0 đúng vì 0.
Vậy {uk} là dãy số giảm.
1.0
Suy ra với k 0 ta có uk= =u0 (đpcm)
0.5
--------Hết-------