Đề thi học kì II môn toán 12 năm học 2008 - 2009

ĐỀ THI HỌC KÌ II MÔN TOÁN 12
Năm học 2008-2009
 Thời gian làm bài :150 phút 
I) Phần chung (8đ)
 Bài 1 (3đ) Cho hàm số y=x4-2x2 (C)
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ,trục hoành , và hai đường thẳng x= -1 ; x=1
 Bài 2 (2đ) 
 a) Giải bất phương trình : log22x-3log2x-4≤0
 b) Tính các tích phân sau : I= 0πxcosxdx ; J= 01x1+3x2dx
 Bài 3 (1.5đ) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho A(0;2;-1) B(1;1;0) C(2;3;1)
 a) Chứng tỏ ABC là ba đỉnh của tam giác . Viết phương trình mp(ABC) 
 b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tai trọng tâm G 
 của tam giác ABC , Tìm tọa độ giao điểm của d và mp tọa độ (Oyz)
 Bài 4 (1.5đ) 
 a) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,AB=BC=a ;AA’=2a
 M;N là trung điểm của BB’,CC’ .Tính VABCA’B’C’ và VABCNM VAMNA'B'C' 
 b) Cho d1: x=1+t1y=2z=-t1 ; d2: x=t2y=1-t2z=1 . Tìm phương trình đường thẳng d song song
 với mp (P) 2x+y+z-3 =0 và cắt d1 tại M ; d2 tại N sao cho MN ngắn nhất 
 II) Phần riêng (2đ) 
 Bài 5 (2đ) ( Dành cho ban cơ bản)
 a) Tính 3+i1+2i+(2-i)2
 Tìm số phức z biết z2 = 5-12i
 b) Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất 
 ex-e-x2=ln(x+1+x2)
 Bài 5 (2đ) ( Dành cho ban tự nhiên)
 a) Cho z=3-4i Tính: z2+zz 
 Viết dạng lượng giác của số phức z biết z=1 và một acgumen của (3+i)z là π5
 b) Chứng minh bất đẳng thức sau :
 ex+e-x22≥1+2x2 ∀x∈R
 HẾT
Bài 
Câu
Nội dung
Điểm 
1
3.00
a
 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
2.00
 TXĐ D=R 
 y’= 4x3-4x y’=0 x=0, x=1, x=-1
 limx→±∞y=+∞
0.25
0.50
0.25
x
-∞ -1 0 1 +∞ 
y’
 - 0 + 0 - 0 +
y
 +∞ 0 +∞ 
 -1 -1 
 BBT 
 Hàm số đồng biến trên (-1;0) và (1;+∞) , nghịch biến trên (-∞;-1) và (0;1)
 Đạt cực đại tại x= 0,yCĐ =0 đạt cực tiểu tại x =±1 ,yCT = -1
0,25
0.25
 Đồ thị 
0.50
b
 S =-11x4-2x2dx=
0.25
 =x55-2x331-1=1415
0.75
2
2.00
a
 log22x-3log2x-4≤0 -1≤log2x≤4
0.50
 12≤x≤16
0.50
b
 Tính I Đặt u=xdv=cosxdx => du=dxv=sinx
0.25
 => I= xsinxπ0 - 0πsinxdx = cosxπ0 = -2
0.25
 Tính J Đặt t = 1+3x2 => t2=1+3x2 => tdt = 3xdx
0.25
 Đổi cận x=0=>t=1;x=1=>t=2 J= 1312t2dt=t3921=79
0.25
3
1.50
a
 AB=(1;-1;1) ;AC=2;1;2 AB,AC =(-3;0;3) ≠0
 Vậy A;B;C là ba đỉnh của tam giác 
0.50
 Phương trình mp(ABC) là -3(x-0) +3(z+1)=0 x-z -1= 0
0.25
b
 Tọa độ trọng tâm G của tam giác :G(1;2;0)
0.25
 Đường thẳng d vuông góc mp(ABC) nên d có véc tơ chỉ phương 
 nP =(1;0;-1) Vậy phương trình của d là 
 x=1+ty=2z=-t
0.25
 Giao điểm của d với mp (Oyz) khi x=0 => t= -1
 Vậy giao điểm đó là M(0;2;1)
0.25
4
1.50
a
 VABCA’B’C’ =AA’.SABC= 2a .12a2=a3 
0.25
 VABCNM = 13AB SBCNM=a33 
0.25
 => VAMNA’B’C’ = a3- a33=2a33 Vậy VABCNM VAMNA'B'C' = 12
0.25
b
M (1+t1; 2 ; -t1) ϵ d1 N (t2 ;1-t2; 1)ϵ d2 MN=(t2-t1-1 ;-1-t2 ;1+t1)
 MN// mp(P) => 2(t2-t1-1) +(-1-t2 )+(1+t1) = 0 => t2- t1 =2
0.25
 MN=(t2-t1-1)2+(1+t2)2+(1+t1)2
 = 2t12+8t1+11≥3 Dấu bằng xảy ra khi t1= -2, t2=0
0.25
 => M(-1;2;2) N(0;1;1) Phương trình đường thẳng MN là :
 x=-1+ty=2-tz=2-t
0.25
5
Ban cơ bản
2.00
a
Ta có 3+i1+2i+(2-i)2 =1- i + (3-4i) = 4-5i
0.50
 Gọi z=a+bi , a,b∈R, Ta có z2=a2-b2 +2abi = 5-12i
 => a2-b2=52ab=-12 a=3b=-2 a=-3b=2
 Vậy có hai số phức thỏa đề là z=3-2i ; z= -3+2i
0.50
b
Xét hàm số f(x) = ex-e-x2-ln(x+1+x2) , x∈R
 Ta có f’(x) = ex+e-x2-11+x2 do ex+e-x2≥1 và 11+x2≤1 
0.50
 nên f’(x) ≥0 ∀x => f(x) đồng biến trên R 
 Mặt khác f(0)=0 nên x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình 
0.50
5
Ban tự nhiên
2.00
a
 Ta có z=3-4i => z=5; z2= -7-12i =>z2+zz=8-4i
0.50
 Ta có 3+iz=3+iz=2=>(3+i)z=2(cosπ5+isinπ5)
 Mặt khác 3+i =2(cosπ6+isinπ6) nên z =cosπ30+isinπ30 
0.25
0.25
b
 Xét hàm số f(x)= ex+e-x22-1+2x2 ∀x∈R
 f’(x) = e2x-e-2x2-2x1+2x2 f’(0)=0 
0.25
 f”(x) = e2x+e-2x-2(1+2x2)1+2x2 ; 
0.25
 Do e2x+e-2x≥2 và 2(1+2x2)1+2x2≤2 nên f”(x) ≥0 ∀x∈R
0.25
 => f’(x) đồng biến và do f’(0)=0 nên f(x) đạt cực tiểu cũng là giá trị nhỏ nhất tại 
 x= 0 Vậy f(x)≥0 ∀x∈R 
0.25