Đề thi học kì II môn: Toán 12

Sở giáo dục và đào tạo thanh hóa
Trường thpt như xuân
đề thi học kì ii năm học 2010 – 2011
Môn: Toán 12
Thời gian: 90 phút
I. Phần chung cho tất cả thí sinh (6 điểm).
Câu 1 (3 điểm): Cho hàm số y = -x3 + 3x2 +1 có đồ thị là ( C).
	a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
	b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại A ( 3: 1)
Câu 2 ( 2 điểm): 
	a. Tính tích phân: 
	b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x4 – 2x2 +1 trên đoạn [0; 2].
Câu 3 (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh m, cạnh SA = 2m và SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD.
	a. Tìm thể tích khối chóp S.ABCD theo m.
	b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD theo m
II. Phần riêng ( 4 điểm).
Thí sinh chỉ được làm theo ban mình học.
1. Theo chương trình chuẩn.
Câu 4 (3 điểm): 
	Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
 và mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0.
	a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng () và mặt phẳng (P)
	b. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng () trên mp (P)
Câu 5 (1 điểm):
	Tìm mô đun của số phức z = (2 – 3i)(1+i) -3i
2. theo chương trình nâng cao.
Câu 6 ( 3 điểm):
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 4; 2), đường thẳng và mặt phẳng . 
	a. Lập phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng ( d).
	b. Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với (d) và song song với mp (P).
Câu 7 ( 1 điểm):
	Cho số phức . Tính 
Sở giáo dục và đào tạo thanh hóa
Trường thpt như xuân
đáp án đề thi học kì ii năm học 2010 – 2011
Môn: Toán 12
Câu
Nội dung
Điểm
1a
TXĐ: D = R
Chiều biến thiên:
y’ = -3x2 + 6x
y’ = 0 
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; 0) và ( 2; +)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 5
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 1
Giới hạn: 
Bảng biến thiên:
x
- 0 2 + 
y’
 + 0 - 0 +
y
+ 5
 1 + 
y
x
Đồ thị: 
Đồ thị hàm số nhận điểm (1; 3) 
làm tâm đối xứng 
và đi qua điểm ( -1; 5), (3; 1)
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
1b
Hệ số góc của tiếp tuyến: k = y’(3) = - 9
Phương trình tiếp tuyến: y – 1 = - 9(x – 3) hay y = -9x + 28.
0.5
0.5
2a
Đặt 
= 1 + 1 = 2
0.25
0.25
0.25
0.25
2b
Ta có y’ = 4x3 – 4x, 
Ta lại có:
y( 0) = 1; y(1) = 0; y(2) = 1
Vậy:
0.5
0.25
0.25
3a
3b
Thể tích khối chóp S.ABCD:
SABCD = a2
Vậy 
Vì BC (SAB), CD (SAD), AC SA nên 
các tam giác SBC, SBC, SAC vuông. Từ đó suy ra trung
điểm K của SC là tâm của mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
Ta có AC = 
Suy ra bán kính r của mặt cầu là:
.
0.5
0.5
4a
Tọa độ giao điểm của và (P) là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy tọa độ giao điểm là: M(5; -7; 3).
0.5
0.5
0.5
4b
Lấy N(2; -1; -3) thuộc . Gọi N’ là hình chiếu của N trên (P). Ta có N’(-7; -10; -12)
Hình chiếu của trên (P) là đường thẳng MN’: 
0.5
0.5
0.5
5
Ta có z = (2 – 3i)(1+i) -3i = 5 – 4i
0.5
0.5
6a
Đường thẳng (d) có vecto chỉ phương =(1; 2; 3)
Lấy B(0; 0; 1) thuộc (d). Khi đó bán kính R mặt cầu cần tìm là khoảng cách từ A đến (d).
Ta có 
Vậy phương trình mặt cầu là: (x – 3)2 + (y – 4)2 + (z – 2)2 = 8
hay x2 + y2 + z2 – 6x – 8y – 4z + 17 = 0.
0.5
0.5
0.5
6b
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến = (4; 2; 1). Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với (d) và song song với mp (P) nên có vecto chỉ phương là
=(-4; 11; -6)
Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là:
0.5
0.5
0.5
7
số phức . Tính 
Ta có: z2 = , 
Suy ra: = -4
0.5
0.5