Đề thi đại học: Khảo sát hàm số

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 
ĐỀ THI ĐẠI HỌC: KHẢO SÁT HÀM SỐ 
------------------------- 
1) (ĐH A-2002) Cho hàm số: 3 2 2 3 23 3(1 )= - + + - + -y x mx m x m m 
a. Tìm k để phương trình 3 2 3 23 3 0- + + - =x x k k có 3 nghiệm phân biệt. 
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 
Bài giải: TXĐ: D R= 
a) Cách 1: Ta có 3 2 3 2 3 33 3 0 3 3- + + - = Û - + = - +x x k k x x k k 
 Đặt 3 3= - +a k k . Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình 3 3- + =x x a có 3 nghiệm phân 
biệt 
( ) ( ) ( ) ( )
3
22
0 3 0 3
0 4 0 3 4
1 4 4 0 1 2 0
k k
a k k
k k k k k
¹ + - >ïï îî
1 3
0 2
k
k k
- < <ìÛ í ¹ Ù ¹î
Cách 2: Ta có: ( ) ( )3 2 3 2 2 23 3 0 3 3 0é ù- + + - = Û - + - + - =ë ûx x k k x k x k x k k 
có 3 nghiệm phân biệt ( )2 2( ) 3 3 0Û = + - + - =g x x k x k k có 2 nghiệm phân biệt khác k 
2
2 2 2
3 6 9 0 1 3
0 23 3 0
k k k
k kk k k k k
Δì = - + + > - < <ìïÛ Ûí í ¹ Ù ¹+ - + - ¹ îïî
b) Cách 1: Ta có ( ) ( )/ 22 23 6 3 1 3 3y x mx m x m= - + + - = - - + 
/ 1
2
1
0
1
x m
y
x m
= -é
= Û ê = +ë
. Ta thấy 1 2x x¹ và 
/y đổi dấu khi qua 1x và 2x Þ Hàm số đạt cực 
trị tại 1x và .2x 
Lúc đó: ( ) 21 1 3 2y y x m m= = - + - và ( ) 22 2 3 2y y x m m= = - + + . 
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị ( ); 21 1 3 2M m m m- - + - và 
( ); 22 1 3 2M m m m+ - + + là: 
2
21 3 2 2
2 4
x m y m m
y x m m
- + + - +
= Û = - + . 
Cách 2: Ta có ( ) ( )/ 22 23 6 3 1 3 3y x mx m x m= - + + - = - - + . Ta thấy 
( ) /2 29 9 1 9 0 0m m m yΔ = + - = > " Þ = có 2 nghiệm 1 2x x¹ và /y đổi dấu khi qua 1x và 
2x Þ Hàm số đạt cực trị tại 1x và .2x 
 Ta có ( )2 2 21 3 6 3 1 2
3 3
m
y x x mx m x m mæ ö é ù= - - + + - + - +ç ÷ ë ûè ø
Từ đây ta có ( ) 21 1 12y y x x m m= = - + và ( ) 22 2 22y y x x m m= = - + . 
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực là 22y x m m= - + 
2) (ĐH B-2002) Tìm m để hàm số 4 2 2( 9) 10= + - +y mx m x có 3 điểm cực trị. 
Bài giải: TXĐ: D R= 
Ta có: ( ) ( )/ 3 2 2 24 2 9 2 2 9 .= + - = + -y mx m x x mx m 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 2 
Ta có: /
2 2
0
0
2 9 0
=é
= Û ê + - =ë
x
y
mx m
. 
Hàm số có 3 điểm cực trị Û Phương trình / 0y = có 3 nghiệm phân biệt (khi đó /y đổi dấu 
khi qua các nghiệm) Û Phương trình 2 22 9 0+ - =mx m có 2 nghiệm phân biệt 0¹ 
Ta có: 2 2 2
2
0
2 9 0 9
2
¹ì
ï+ - = Û í -
=ïî
m
mx m mx
m
 Y.c.b.tÛ
2 39 0
0 32
< -é-
> Û ê < <ë
mm
mm
Vậy các giá trị m cần tìm là ( ) ( ); ;3 0 3mÎ -¥ - È . 
3) (ĐH D-2002) Cho hàm số: ( ) ( ):
22 1
1m
m x m
C y
x
- -
=
-
. 
a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )1
3 1:
1-
- -
=
-
xC y
x
 với hai trục toạ độ. 
b. Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng =y x . 
Bài giải: TXĐ: { }\ 1D R= 
a) Diện tích cần tìm là 
0 0 0
1 1 1
3 3 3
0
3 1 d 1d 3 d 4 3. 4ln 1 11 1 3
3- - -
- -æ ö= = - - = - - -ç ÷- - -è øò ò ò
x xS x x x
x x
 ln 41 4
3
+ (đ.v.d.t) 
b) Ký hiệu ( )( )
22 1
1
m x m
F x
x
- -
=
-
. Yêu cầu bài toán tương đương với tìm m để hệ phương 
trình sau có nghiệm: 
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
///
( )
( )
2 2
22
2
0 0
1 1
2 1
00
1 1
x m x m
f x x x x
x m x x mf x x x m
x x
ì ì- - - -=ï =ï= -ì -ïï ïÛ Ûí í íæ ö - - - + -= - -ï ï ïî ==ç ÷ï ïç ÷- -îè øî
 (I) 
Ta thấy ;1m x m" ¹ = luôn thỏa mãn hệ (I). Vì vậy với 1m" ¹ , hệ (I) luôn có nghiệm, đồng 
thời khi 1m = hệ (I) vô nghiệm. Do đó, đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y x= khi chỉ khi 
.1m ¹ 
Kết luận: 1m ¹ là yêu cầu bài toán. 
4) (Đề dự bị 2002) Xác định m để đồ thị hàm số 4 2 1= - + -y x mx m cắt trục hoành tại 4 
điểm phân biệt. 
5) (Đề dự bị 2002) Cho hàm số: 
2 2
2
- +
=
-
x x my
x
. 
a. Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn [ ]1;0- . 
b. Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 
2 21 1 1 19 ( 2)3 2 1 0+ - + -- + + + =t ta a 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 3 
6) (Đề dự bị 2002) Cho hàm số 3 21 12 2
3 3
= + - - -y x mx x m . 
a. Khi 1
2
=m . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song 
song với đường thẳng 4 2= +y x . 
b. Tìm m thuộc khoảng 50;
6
æ ö
ç ÷è ø
 sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và 
các đường 0, 2, 0= = =x x y có diện tích bằng 4. 
7) (Đề dự bị 2002) Cho hàm số ( )3 3= - -y x m x . 
a. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ 0=x . 
b. Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm: 
( )
3
32
2 2
1 3 0
1 1 1 1
2 3
ì - - - <ï
í
+ - £ïî
x x k
log x log x
8) (Đề dự bị 2002) Tìm m để đồ thị hàm số 
2
1
+
=
-
x mxy
x
 có cực đại, cực tiểu. Với giá trị 
nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10 ? 
9) (Đề dự bị 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
3 21 2 3
3
= - +y x x x và trục hoành. 
10) (ĐH A-2003) Tìm m để đồ thị hàm số 
2
1
+ +
=
-
mx x my
x
 cắt trục hoành tại hai điểm phân 
biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. 
Bài giải: TXĐ: { }\ 1D R= 
Đồ thị hàm số 
2
1
+ +
=
-
mx x my
x
 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương 
Û Phương trình 2( ) 0= + + =g x mx x m có 2 nghiệm dương phân biệt 1¹ 
Y.c.b.t ( )
2
00
11 4 0
121 2 1 0 0
1 2
1
0 2
0
0
mm
m m
g m m
m
S
m m
m
P
m
Δ
ì
ï
¹ìï ¹
ïï
= - > ïï <
ï ïÛ = + ¹ Û Û - < <í í
ï ï ¹ -
ï ï= - >
ï ï <îï
= >ïî
Vậy các giá trị m cần tìm là: 1 0
2
m- < < . 
11) (ĐH B-2003) Tìm m để đồ thị hàm số 3 23= - +y x x m có hai điểm phân biệt đối xứng 
nhau qua gốc toạ độ. 
Bài giải: TXĐ: D R= 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 4 
Đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ 
Û tồn tại 0 0x ¹ sao cho ( ) ( )0 0y x y x= - - 
Û tồn tại 0 0x ¹ sao cho ( ) ( )
3 23 2
0 0 0 03 3x x m x x mé ù- + = - - - - +ë û 
Û tồn tại 0 0x ¹ sao cho .
2
03x m= 
Û 0m > 
Kết luận: Các giá trị m cần tìm là: 1 0
2
m- < < . 
12) (ĐH D-2003) Tìm m để đường thẳng : 2 2= + -md y mx m cắt đồ thị 
2 2 4
2
- +
=
-
x xy
x
 tại 
hai điểm phân biệt. 
Bài giải: TXĐ: { }\ 2D R= 
 Đường thẳng md cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt 
Û Phương trình 4 2 2
2
x mx m
x
+ = + -
-
 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 
( ) ( )21 2 4m xÛ - - = có 2 nghiệm phân biệt khác 2 1 0 1m mÛ - > Û > . 
Kết luận: Các giá trị m cần tìm là: .1m > 
13) (Đề dự bị 2003) 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 
22 4 3
2( 1)
- -
=
-
x xy
x
. 
b. Tìm m để phương trình 22 4 3 2 1 0- - + - =x x m x có hai nghiệm phân biệt. 
14) (Đề dự bị 2003) Tìm m để hàm số 
2 2(2 1) 4
2( )
+ + + + +
=
+
x m x m my
x m
 có cực trị và tính 
khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 
15) (Đề dự bị 2003) Tìm m để đồ thị hàm số 2( 1)( )= - + +y x x mx m cắt trục hoành tại 3 
điểm phân biệt. 
16) (Đề dự bị 2003) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C): 2 1
1
-
=
-
xy
x
. Tìm 
điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. 
17) (Đề dự bị 2003) Tìm m để hàm số 
2 25 6
3
+ + +
=
+
x x my
x
 đồng biến trên khoảng ( )1;+¥ . 
18) (Đề dự bị 2003) Gọi kd là đường thẳng đi qua điểm (0; 1)-M và có hệ số góc bằng k . 
Tìm k để đường thẳng kd cắt (C): 
3 22 3 1= - -y x x tại 3 điểm phân biệt. 
19) (ĐH A-2004) Tìm m để đường thẳng =y m cắt đồ thị hàm số 
2 3 3
2( 1)
- + -
=
-
x xy
x
 tại hai 
điểm A, B sao cho AB=1. 
Bài giải: TXĐ: { }\ 1D R= 
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng =y m là: 
( ) ( )
2
23 3 2 3 3 2 0 (*)
2 1
- + -
= Û + - + - =
-
x x m x m x m
x
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 5 
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi chỉ khi 
2 3 10 4 4 3 0 (**)
2 2
m m m mΔ > Û - - > Û > Ú < - 
Với điều kiện (**), đường thẳng =y m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B phân biệt có hoành độ ,1 2 x x 
là nghiệm của (*). 
Ta có: ( )2 22 1 2 1 1 2 1 21 1 1 4 1AB x x x x x x x x= Û - = Û - = Û + - = 
 ( ) ( )2
1 5
22 3 4 3 2 1
1 5
2
m
m m
m
é -
=ê
êÛ - - - = Û
ê +
=êë
 thỏa mãn (**). 
Kết luận: Các giá trị m cần tìm là: 1 5
2
m
-
= và 1 5
2
m
+
= . 
20) (ĐH B-2004) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) 3 21 2 3
3
= - +y x x x tại điểm uốn 
và chứng minh rằng D là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 
Bài giải: TXĐ: D R= 
Tại điểm uốn ; 22
3
U æ öç ÷è ø
, tiếp tuyến của (C) có hệ số góc / ( )2 1y = - . 
Tiếp tuyến Δ tại điểm uốn của (C) có phương trình: ( ). 2 81 2
3 3
y x y x= - - + Û = - + 
 Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm bất kỳ có hoành độ x bằng: 
( )/ / /( ) ( ) ( )22 4 3 2 1 1 2 y x x x x y x y x= - + = - - ³ - Þ ³ " 
 Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi 2x = (là hoành độ điểm uốn) 
Do đó, tiếp tuyến D của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. 
21) (ĐH D-2004) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số 3 23 9 1= - + +y x mx x thuộc 
đường thẳng 1= +y x . 
Bài giải: 
Ta có: / 2 //3 6 9; 6 6= - + = -y x mx y x m 
 // 30 2 9 1= Û = Þ = - + +y x m y m m 
//y đổi dấu từ âm sang dương khi qua m nên điểm uốn của (C) là ( ); 32 9 1U m m m- + + . 
Để ( ); 32 9 1U m m m- + + thuộc đường thẳng 
 ( )3 2
0
1 2 9 1 1 2 4 0 2
2
=é
ê= + Û - + + = + Û - = Û =ê
ê = -ë
m
y x m m m m m m
m
22) (Đề dự bị 2004) Tìm m để đồ thị hàm số 
2 2 2
1
- +
=
-
x mxy
x
 có hai điểm cực trị A và B. 
Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB song song với đường thẳng 2 10 0- - =x y . 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 6 
23) (Đề dự bị 2004) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 1= +y x
x
, biết tiếp tuyến đi qua 
điểm ( 1;7)-M . 
24) (ĐH A-2005) Tìm m để hàm số 1= +y mx
x
 có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu 
của đồ thị đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng 1
2
. 
Bài giải: TXĐ: { }\ 0D R= 
Ta có: / /;2
1
 0y m y
x
= - = có nghiệm khi chỉ khi 0m > . 
Lúc đó: /
1
2
1
0
1
x
m
y
x
m
é = -ê
ê= Û
ê =êë
. Xét dấu /y : 
Hàm số luôn có cực trị với mọi 0m > . 
Điểm cực tiểu của (C) là ;1 2M m
m
æ ö
ç ÷è ø
. Do ( )lim 0 : 0
®+¥
- = Þ = Û D - =
x
y mx y mx mx y là 
tiệm cận xiên của (C). 
Theo giả thiết: ( ); 2
2 2
2 1
d 2 1 0 1
21 1
m m m
M m m m
m m
-
D = = = Û - + = Û =
+ +
 (thỏa) 
25) (ĐH B-2005) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C): 
2 ( 1) 1
1
+ + + +
=
+
x m x my
x
 luôn 
luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . 
Bài giải: TXĐ: { }\ 1D R= - 
Ta có: 
( )
/
2
0 11 1
1 0
2 31 1
x y m
y x m y
x y mx x
= Þ = +é
= + + Þ = - = Û ê = - Þ = -+ + ë
Xét dấu /y : 
Đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại là ( );2 3M m- - và điểm cực tiểu là ( );0 1N m + . 
Lúc đó: ( ) ( )2 20 2 1 3 20MN m m= + + + - + = (đ.p.c.m) 
26) (ĐH D-2005) Gọi M là điểm thuộc ( ) 3 21 1: 
3 2 3
= - + ...  ( 1; 9)- -A . 
Bài giải: TXĐ: D R= 
Đường thẳng D với hệ số góc k đi qua ( 1; 9)- -A có phương trình: 9y kx k= + - 
 D là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
3 2
2
4 6 1 9 (1)
12 12 (2)
ì - + = + -ï
í
- =ïî
x x kx k
x x k
Thay (2) vào (1) ta được phương trình: 
( ) ( ) ( ) ( )23 2 2
1
4 6 1 12 12 1 9 1 4 5 0 5
4
x
x x x x x x x
x
= -é
ê- + = - + - Û + - = Û ê =
ë
 Với 1 24x k= - Þ = , phương trình tiếp tuyến là 24 15y x= + . 
 Với 5 15
4 4
x k= Þ = , phương trình tiếp tuyến là 15 21
4 4
y x= - . 
Kết luận: Vậy các tiếp tuyến cần tìm là 24 15y x= + và 15 21
4 4
y x= - . 
51) (ĐH D-2008) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm (1;2)I với hệ số góc 
 ( 3)> -k k đều cắt đồ thị 3 2( ) : 3 4= - +C y x x tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I 
là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
Bài giải: TXĐ: D R= 
Ta thấy ( )I CÎ . Đường thẳng d với hệ số góc ( 3)> -k k đi qua (1;2)I có phương trình: 
2y kx k= - + . 
 Hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của phương trình: 
( ) ( ) ( )
3 2 2
2
1
3 4 2 1 2 2 0
2 2 0 (*)
=é
é ù- + = - + Û - - - + = Û êë û - - + =ë
x
x x kx k x x x k
x x k
 Do 3k > - nên phương trình (*) có biệt thức / 3 0kD = + > và 1x = không là nghiệm 
của (*). Suy ra d luôn cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ( ) ( ) ( ); , ; , ; I I A A B BI x y A x y B x y với ; A Bx x 
là nghiệm của (*). 
 Vì 2 2A B Ix x x+ = = và I, A, B cùng thuộc d nên I là trung điểm của đoạn AB (đ.p.c.m) 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 12 
52) (Đề dự bị A- 2008) Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): 
3 23 ( 1) 1= + + + +y x mx m x tại điểm có hoành độ x = –1 đi qua điểm A(1 ; 2) 
53) (Đề dự bị A- 2008) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc 
với đồ thị hàm số (1): 78 24 +-= xxy 
54) (Đề dự bị B- 2008) Tìm các giá trị m để hàm số (C): 3 23 3 ( 2) 1= - - + -y x x m m x có 
hai cực trị cùng dấu. 
55) (Đề dự bị B- 2008) Tìm các giá trị của m để hàm số (C): 
2 (3 2) 1 2
2
+ - + -
=
+
x m x my
x
đồng biến trên từng khoảng xác định . 
56) (Đề dự bị D- 2008) Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến 
với đồ thị hàm số (C): 3 1
1
+
=
+
xy
x
 tại điểm M(–2 ;5) . 
57) (ĐH A-2009) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
2 3
+
=
+
xy
x
, biết tiếp tuyến 
đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân 
tại gốc tọa độ O. 
Bài giải: TXĐ: 3\
2
D R ì ü= -í ý
î þ
Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng 1± . 
 Gọi tọa độ tiếp điểm là ( );0 0x y , ta có 
( )
( )
( )
2
0 0
0
2
0
1
1 v« nghiÖm
2 3 1
1 2
1
2 3
x x
x
x
-é =ê + = -éê Û êê - = -ë= -ê
+êë
 Với ,0 01 1x y= - = ; phương trình tiếp tuyến là y x= - (loại) 
 Với ,0 02 0x y= - = ; phương trình tiếp tuyến là 2y x= - - (thỏa mãn) 
Kết luận: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 2y x= - - . 
58) (ĐH B-2009) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số(C): 4 22 – 4=y x x Với các giá trị 
nào của m, phương trình 2 2 2- =x x m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt? 
Bài giải: TXĐ: D R= 
Ta có: 2 2 4 22 2 – 4 2- = Û =x x m x x m . Phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt khi 
và chỉ khi đường thẳng //2y m Ox= cắt đồ thị hàm số 4 22 – 4=y x x tại 6 điểm phân biệt. 
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thỏa 
.0 2 2 0 1m mÛ < < Û < < 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 13 
59) (ĐH D-2009) Tìm m để đường thẳng 1= -y cắt đồ thị ( )mC : 
( )4 2– 3 2 3= + +y x m x m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 
Bài giải: TXĐ: D R= 
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )mC và đường thẳng 1= -y là: 
 ( )4 2– 3 2 3 1+ + = -x m x m 
Đặt ( )2 0= ³t x t , phương trình trở thành ( )2
1
3 2 3 1 0
3 1
=é
- + + + = Û ê = +ë
t
t m t m
t m
 Yêu cầu bài toán tương đương { }
0 3 1 4 1 ;1 \ 0
3 1 1 3
< + <ì æ öÛ Î -í ç ÷+ ¹ è øî
m
m
m
60) (ĐH A-2010) Tìm m để đồ thị hàm số 3 22 (1 )y x x m x m= - + - + cắt trục hoành tại ba 
điểm 1 2 3, , x x x thỏa mãn điều kiện: 
2 2 2
1 2 3 4x x x+ + < . 
Bài giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và trục hoành là: 
 3 2
2
1
2 (1 ) 0
0 (*)
=é
- + - + = Û ê - - =ë
x
x x m x m
x x m
Đồ thị của hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm 
phân biệt 1¹ 
 Ký hiệu 2 1 2( ) 0, 1; = - - = =g x x x m x x và 3x là các nghiệm của (*) 
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi { }
2 2
2 3
(1) 0 0
10 1 4 0 ;1 \ 0
4
1 2 33
ì ¹ - ¹ì
ï ï æ öD > Û + > Û Î -í í ç ÷è øï ï + <+ < îî
g m
m m
mx x
61) (ĐH B-2010) Tìm m để đường thẳng 2y x m= - + cắt đồ thị hàm số 2 1
1
xy
x
+
=
+
 tại hai 
điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 . 
Bài giải: TXĐ: { }\ 1D R= - 
Phương trình hoành độ giao điểm: 
( ) ( )2 1 2 2 1 1 2
1
+
= - + Û + = + - +
+
x x m x x x m
x
 (do 1= -x không là nghiệm phương trình) 
( )22 4 1 0 (1)Û + - + - =x m x m 
Ta có: 2 8 0 D = + > "m m nên đường thẳng 2y x m= - + luôn cắt đồ thị tại 2 điểm A, B phân 
biệt "m . 
Gọi ( )1 1;A x y và ( )2 2;B x y trong đó 1x và 2x là các nghiệm của (1): 
1 1 2 22 ; 2 .= - + = - +y x m y x m 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 14 
 Ta có ( )d ;
5
=
m
O AB và 
( ) ( ) ( )
( )22 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
5 8
5 20
2
+
= - + - = + - =
m
AB x x y y x x x x 
Theo giả thiết: ( )
2 281 .d ; 3
22 4
=+ é
= = = Û ê = -ë
OAB
mm m
S AB O AB
m
62) (ĐH D-2010) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): 4 2 6y x x= - - + , biết tiếp 
tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1
6
y x= - . 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: / 34 2y x x= - - . 
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1: 1
6
 y xD = - nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6.- 
Do đó, hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 
3
3
2
2
4 2 6
2 3 0
1
( 1)(2 2 3) 0
2 2 3 0
1
 v« nghiÖm
x x
x x
x
x x x
x x
x
- - = -
Û + - =
=é
Û - + + = Û ê + + =ë
Þ =
Suy ra tiếp điểm (1;4) . 
Vậy phương trình tiếp tuyến: 6( 1) 4 6 10 hay y x y x= - - + = - + . 
63) (ĐH A-2011) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng = +y x m luôn cắt đồ thị hàm 
số ( ) - +=
-
1:
2 1
xC y
x
 tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi 1 2, k k lần lượt là hệ số góc của 
các tiếp tuyến của (C) tại A, B. Tìm m để +1 2k k đạt giá trị lớn nhất. 
Bài giải: 
TXĐ: 1\
2
D R ì ü= í ý
î þ
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d : 
 21 1( ) 2 2 1 0 (*) 
2 1 2
x x m g x x mx m x
x
- + æ ö= + Û = + - - = ¹ç ÷- è ø
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệtÛ ( ) 0g x = có 2 nghiệm phân biệt 1
2
¹ 
/ 20 1 0 
11 1 0 0
22
g m m m
m m mg
ìD > ì + + > "
ï ïÛ Ûí íæ ö + - - ¹ "¹ï ïç ÷ îè øî
Suy ra d luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt. 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 15 
Gọi 1 2, x x là 2 nghiệm của phương trình (*). Áp dụng định lí Vi-et: 
1 2
1 2
 (*)1.
2
x x m
mx x
+ = -ì
ï
í - -
=ïî
 Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại 1x là: ( ) ( )
/
1 1 2
1
1
1
k f x
x
= = -
-
 Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại 2x là: ( ) ( )
/
2 2 2
2
1
1
k f x
x
= = -
-
Cách 1: CHUẨN_ ĐƠN GIẢN_ DỄ HIỂU 
Ta có: 
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 2 1 2 1 2
1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
4 8 4 21 1
2 1 2 1 4 2 1
x x x x x x
k k
x x x x x x
+ - - + +
+ = - - = -
- - é - + + ùë û
 (**) 
Thay (*) vào (**) ta được: ( )221 2 4 8 6 4 1 2 2k k m m m+ = - - - = - + - £ - . 
Suy ra 1 2k k+ lớn nhất bằng 2- , đạt được khi chỉ khi 1.m = - 
Cách 2: ĐẶC SẮC 
Ta có:
( ) ( )1 2 2 21 2
1 1
2 1 2 1
k k
x x
+ = - -
- -
 (1) 
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy, ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 21 2 1 2
1 1 2 2
2 1 . 2 12 1 2 1 2 1 2 1 x xx x x x
+ ³ =
- -- - - -
nên (1) trở thành: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 2 2
1 2 1 21 2
1 2 1 2
1 1 2 2
2 1 . 2 1 2 1 2 12 1 2 1
1 2 2
14 2 1 4 2( ) 1
2
k k
x x x xx x
mx x x x m
é ù
+ = - + £ - = -ê ú
- - - -- -ê úë û
= - = - = -
- -é - + + ù é ùë û - - +ê úë û
Suy ra 1 2k k+ lớn nhất bằng 2- , đạt được khi chỉ khi 
( ) ( )
1 2 1 2
2 2
1 2 1 21 2
2 1 2 11 1
2 1 2 1 1 12 1 2 1
x x x x
x x x x mx x
- = - ¹é
= Û ê - = - + Û + = Û = -- - ë
 ( lo¹i do )
Cách 3: CẦN CÙ VÀ CHÍNH XÁC 
Theo trên, d luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt. 
Lúc đó: 
2
1
2
2
2
2 2
22 2 1 0
2 2
2
m m mx
x mx m
m m mx
é - + + +
=ê
ê+ - - = Û
ê - - + +ê =
ë
Ta có: 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 16 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2 2 2 2 2
2 21 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
1 1
2 2 1 2 2 1
2 2 1 2 2 1
2 2 1 2 2 1
2 2 2 2
k k
x x m m m m m m
m m m m m m
m m m m m m
m m m m m m
m m m
+ = - - = - -
- - - + + + - - - + + -
= - -
é ù é ù+ + - + + + + +ë û ë û
é ù é ù+ + - + + + + + +ë û ë û= -
é ù é ù+ + - + + + + +ë û ë û
+ + +
= -
( )
( ) ( )
( )
2
22
22 22
2 1
4 8 6 4 1 2 2
2 2 1
m
m m m
m m m
+ +
= - - - = - + - £ -
é ù+ + - +ê úë û
Suy ra 1 2k k+ lớn nhất bằng 2- , đạt được khi chỉ khi 1.m = - 
64) (ĐH B-2011) Tìm m để đồ thị hàm số ( )4 22 1y x m x m= - + + có ba điểm cực trị A, B 
, C sao cho ;OA BC= trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và 
C là hai điểm cực trị còn lại. 
Bài giải: TXĐ: D R= 
Ta có: ( ) ( )/ 3 2 2
0
4 4 1 4 1 0
1 (1)
x
y x m x x x m
x m
=é
= - + = - - = Û ê = +ë
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị, khi chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 1 (*)mÛ > - 
 Khi đó: ( ) ( )20; , 1; 1A m B m m m- + - - - và ( )21; 1C m m m+ - - - 
Suy ra: ( )2 2
2 2 2
4 1 4 4 0
2 2 2
m
OA BC m m m m
m
é = -
= Û = + Û - - = Û ê
= +êë
 thỏa (*) 
Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là 2 2 2; 2 2 2.m m= - = + 
65) (ĐH D-2011) Tìm k để đường thẳng 2 1y kx k= + + cắt đồ thị hàm số 2 1
1
xy
x
+
=
+
 tại 
hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ A, B đến trục hoành bằng nhau. 
Bài giải: TXĐ: { }\ 1D R= - 
Gọi : 2 1= + +d y kx k , suy ra phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của 
phương trình: 
( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 2 1
1
+
= + + Û + = + + +
+
x kx k x x kx k
x
(do 1= -x không là nghiệm phương trình) 
( )2 3 1 2 0 (1)Û + - + =kx k x k 
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệtÛ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 
2
000
 (*)
0 6 1 0 3 2 2 3 2 2
¹¹ ì¹ ìì ïÛ Û Ûí í íD > - + > +ïî î î
kkk
k k k k
Khi đó: ( )1 1; 2 1+ +A x kx k và ( )2 2; 2 1+ +B x kx k với 1 2, x x là nghiệm của (1) 
Theo giả thiết: 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 17 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2d ; d ; 2 1 2 1 4 2 0 do = Û + + = + + Û + + + = ¹A Ox B Ox kx k kx k k x x k x x 
Áp dụng định lý Viet đối với phương trình (1), suy ra: ( )1 3 4 2 0 3- + + = Û = -k k k thỏa mãn 
(*). 
Kết luận: Vậy 3= -k là giá trị cần tìm.