Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2010- 2011 môn thi: Toán lớp: 12 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
Đề chính thức
 Số báo danh
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
 Năm học 2010- 2011
Môn thi: Toán
Lớp: 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).
Câu I. (4,0 điểm).
Cho hàm số ( là tham số thực), có đồ thị là 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 
Tìm các giá trị của m để đồ thị có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Câu II. (6,0 điểm).	
1) Giải phương trình: 
2) Giải bất phương trình: 
3) Tìm số thực a để phương trình:, chỉ có duy nhất một nghiệm thực .Câu III. (2,0 điểm). Tính tích phân: 
Câu IV. (6,0 điểm).
1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc
 các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt 
 . Tìm để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng và hai elíp , có cùng tiêu điểm. Biết rằng đi qua điểm M thuộc đường thẳng Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp có độ dài trục lớn nhỏ nhất.
Trong không gian cho điểm và hai đường thẳng 
 	.
 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục , sao cho (P) cắt hai 
 đường thẳng lần lượt tại A, B thoả mãn . 	
Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực thoả mãn: 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
.............................................................. HẾT ........................................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm có 4 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN 
LỚP: 12 THPT
Ngày thi: 24 - 3 - 2011
Câu
Ý
Hướng dẫn chấm
Điêm
Câu I
4,0 đ
1)
2,0đ
Với ta được hàm số 
Tập xác định: 
Giới hạn tại vô cực: 
Sự biến thiên: 
0,5
 Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
 Hàm số nghịch biến trên khoảng 
Điểm cực đại của đồ thị điểm cực tiểu của đồ thị 
0,5
x
y'
y
Bảng biến thiên:
0,5
-2
-1
-1
1
1
3
2
x
y
O
Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3). 
Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng	
0,5
2)
2,0đ
Ta có là tam thức bậc hai của x.
y' có biệt số 
Nếu thì , suy ra yêu cầu bài toán không thoả mãn.
0,5
Nếu , thì có hai nghiện 
x
-
+
Dấu của y': 
0,5
Chọn Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao cho pt: (1) có nghiệm . Pt (1) có: 
0,75
Vậy giá trị cần tìm của m là .
0,25
Câu II
6,0 đ
1)
2,0đ
PT
0,5
0,5
0,5
0,5
2)
2,0đ
Tập xác định: .
BPT
0,5
 (vì )
0,5
Đặt: (t > 0), ta được .
0,5
BPT đã cho tương đương với 
0,5
3)
2,0đ
Nhận xét: Nếu là nghiệm của (2) thì cũng là nghiệm của (2),
0,5
 suy ra điều kiện cần để (2) có nghiệm duy nhất là 
Với , thì từ (2) suy ra 
0,5
Với thì phương trình (2) trở thành 
Ta có Vậy 
Vậy 
1,0
Câu III
2,0đ
Ta có: 
0,5
Suy ra 
0,25
0,75
0,5
Câu IV
6,0đ
1)
2,0đ
Kẻ DH MN , do (DMN)(ABC) suy ra DH(ABC).
Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC.
0,5
Ta có: SAMN =.AM.AN.sin600 =; SAMN = SAMH + SANH 
= .AM.AH.sin300+.AN.AH.sin300 = (x+y). 
H
A
B
C
D
M
N
Suy ra =(x+y) x+y= 3xy (0x,y1 ). 
0,5
Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN:	
S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN
 = AD.AM.sin600+AD.AN.sin600 
+ DH.MN +AM.AN.sin600. 
= xy +.
Từ 
Suy ra khi 	
0,5
0,5
2)
2,0đ
Hai elíp có các tiêu điểm 
0,5
Điểm . Vậy có độ dài trục lớn nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
0,5
Gọi là điểm đối xứng với qua , suy ra 
Ta có: (không đổi). 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
0,5
Toạ độ điểm 
0,5
3)
2,0đ
Giả sử đã xác định được (P) thỏa mãn ycbt. 
Suy ra 
0,5
 0,5
Với (P) có một vtpt , suy ra (loại do (P) chứa trục ).
0,5
Với ,
 suy ra có một vtpt ,
suy ra (thỏa mãn bài toán).
0,5
Câu V
2,0đ
Từ giả thiết suy ra : 
0,25
Ta có: là ba nghiệm thực của phương trình 
 (3)
0,5
Từ đồ thị hàm số suy ra pt (3) có ba nghiệm thực khi và chỉ khi 
 , khi trong ba số a, b, c có hai số bằng -1 và một số bằng 2.
 , khi trong ba số a, b, c có hai số bằng 1 và một số bằng -2.
0,5
..
0,5
 khi có hai số bằng -1 và một số bằng 2, hoặc hai số bằng 1 và một số bằng -2.
0,25
GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.