Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm học 2007-2008 môn thi: Toán lớp 12 THPT – Bảng B

Đề chính thức
Sở GD&ĐT Nghệ An
 Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
 Năm học 2007-2008
Môn thi: toán lớp 12 THPT – bảng b
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (6,0 điểm)
	a) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm: 
	(m - 3) + ( 2- m)x + 3 - m = 0.
	b) Chứng minh rằng: , với .
Bài 2. (6,0 điểm)
	a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: 
	b) Giải hệ: 	 
Bài 3.	(2,5 điểm)
	Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 4. (5,5 điểm) 
a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng . Biết A(2; - 3), B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d có phương trình: 3x – y – 8 = 0.
 Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 2x – 4y + 4 = 0 và đường thẳng D có phương trình: x – y – 1 = 0. Từ điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng D kẻ hai tiếp tuyến MT1, MT2 đến (C) (T1, T2 là tiếp điểm) .
 Chứng minh rằng: đường thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên D.
-----------Hết -----------
Họ và tên thí sinh: ............................................................................ SBD:................................
Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007 - 2008
hướng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang)
Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng B
----------------------------------------------
Bài
Nội dung
Biểu điểm
Bài 1:
6,0
a.
 (m - 3) + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1).
3,0
ĐK: x ³ 0; Đặt t = , t ³ 0.
0,5
(1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t2 + 3 - m = 0 m = (2)
0,5
Xét f(t) = , t ³ 0 ; f/(t) = . 
0,5
f/(t) = 0 
0,5
Bảng biến thiên
t
0
2
+ Ơ
0,5
f/(t)
0
+
f(t)
3
2 
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thoả mãn t ³ 0.
0,25
 .
0,25
b.
 (1).
3,0
(1) tgx.sin2x - x3 > 0.
Xét f(x) = tgx.sin2x - x3 ; x .
0,25
f/(x) = tg2x + 2sin2x - 3x2.
f//(x) = 2tgx. + 4sinx.cosx - 6x = + 2sin2x - 6x.
f///(x) = 
0,25
0,25
0,25
= = 
= ; .
0,5
=> f//(x) đồng biến trên => f//(x) > f//(0) = 0 , .
0,5
=> f/(x) đồng biến trên => f/(x) > f/(0) = 0 , .
0,5
=> f(x) đồng biến trên => f(x) > f(0) = 0 , .
0,5
Bài 2.
6,0
a.
3,0
ĐK: - 1 Ê x Ê 1.
0,5
Xét hàm số y = x + trên đoạn [-1; 1], ta có:
y/ = 1 - = .
0,5
ã y/ không xác định tại x = ± 1
0,25
ã y/ = 0 
0,25
0,5
Khi đó y(-1) = - 1 ; y( ; y(1) = 1.
0,5
Vậy max y = khi x = 
 min y = - 1 khi x = - 1.
0,25
0,25
b.
3,0
Ta có (1) 
0,5
Xét f(t) = , t 
0,25
f/(t) = .
0,25
=> f(t) đồng biến trên . Khi đó từ (1/) => x = y.
0,5
Thay vào (2): - cos2x + sin2x = sinx + cosx - 1
 1 - cos2x + sin2x - (sinx + cosx) = 0
 2sin2x + 2sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
 2sinx(sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 0
 (sinx + cosx) (2sinx - 1) = 0
0,5
 sinx = (do sinx + cosx > 0 )
0,25
0,25
Do x nên x = . 
0,25
Vậy hệ có nghiệm: 
0,25
Bài 3.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (1)
2,5
Ta có (1) , k ẻ Z
 = 3x - 16k
0,5
0,5
Ta có (2) 9x = 24k - 40 - 
0,5
Do k và x nguyên nên 3k + 5 là ước của 25
Suy ra 3k + 5 ẻ {- 1; 1; 5; - 5; 25; - 25}
0,5
Giải ra ta được x = - 7 ; x = - 31.
0,5
Bài 4.
5,5
a.
Gọi C(a; b)
2,5
S = CH.AB (1).
Ta có: AB = 
0,25
Phương trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = 
do đó: (1) .
0,25
0,25
0,25
Toạ độ G()
Ta có: G ẻ D 3a - b = 4.
0,5
TH1: => C(-2; -10) 
0,25
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 
=> r = .
0,25
TH2: => C(1; -1) 
0,25
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 
=> r = .
0,25
b
3,0
Ta có tâm I(1; 2), bán kính R = 1.
d(I, D) = 
=> D nằm ngoài (C) => từ M ẻ D luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C).
I
M
T2
T1
(học sinh phải vẽ hình)
0,5
Ta có: MT1 ^ IT1, MT2 ^ IT2 => T1, T2 thuộc đường tròn (C), đường kính MI
=> T1T2 là trục đẳng phương của (C) và (C).
0,5
Do M ẻ D nên M(m + 1; m) => trung điểm của IM là K()
0,25
Phương trình đường tròn (C) là:
(x - 
 x2 + y2 - (m + 2)x - (m + 2)y + 3m + 1 = 0
0,5
=> phương trình đường thẳng T1T2 là: mx + (m - 2) y - 3m + 3 = 0
0,5
Gọi A(x0; y0) là điểm cố định mà T1T2 luôn đi qua.
Ta có: mx0 + (m - 2) y0 - 3m + 3 = 0 "m ẻ R.
0,5
=> đường thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định A().
0,25
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.