Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 năm học 2008 - 2009 môn thi: Toán 12 thpt - Bảng B

§Ò chÝnh thøc
Së GD&§T .........
K× thi chän häc sinh giái tØnh líp 12 
N¨m häc 2008 - 2009
M«n thi: to¸N 12 THPT- b¶ng B
Thêi gian lµm bµi: 180 phót
C©u 1. (3,0 điểm)
	Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn 
C©u 2. (3,0 điểm)
	Giải hệ phương trình 
C©u 3. (3,0 điểm)
	Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
C©u 4. (3,0 điểm)
	Cho hàm số 
Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
C©u 5. (3,0 điểm) 
	Cho n là số tự nhiên, Chứng minh đẳng thức sau:
C©u 6. (3,0 điểm) 
	Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
C©u 7. (2,0 điểm) 
	Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC và mặt phẳng (CAB) vuông góc với mặt phẳng (DAB). Chứng minh rằng:
-------------Hết-------------
Họ và tên thí sinh:....................................................................Số báo danh:.......................
Së Gd&§t .........
Kú thi chän häc sinh giái tØnh líp 12 
N¨m häc 2008 - 2009
h­íng dÉn vµ biÓu ®iÓm ChÊm ®Ò chÝnh thøc
(H­íng dÉn vµ biÓu ®iÓm chÊm gåm 04 trang)
M«n: to¸n 12 THPT - b¶ng B
----------------------------------------------
C©u
Néi dung
§iÓm
1
3.0
Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng
 Û (1)
0.50
§Æt t = cos4x ta ®­îc: , (2)
Víi th× 
0.50
Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi ph­¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm tÎ[-1; 1], (3)
0.50
XÐt g(t) = víi , g’(t) = 8t+1.
g’(t) = 0 Û t = 
0.50
3
g’(t) 0 + 
t 1 
g(t)
5
B¶ng biÕn thiªn
0.50
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn suy ra (3) x¶y ra Û Û 
VËy gi¸ trÞ m cÇn t×m lµ: .
0.50
2
3,0
HÖ ®· cho t­¬ng ®­¬ng 
0.50
§Æt Ta cã hÖ 
0,50
§Æt , ta cã 
0.50
TH1. 
KÕt qu¶: 
1,0
TH2. , v« nghiÖm v× 
0,50
3
3.0
0.5
0.5
0.5
0.5
 MÆt kh¸c víi , ta cã 
0.5
V× liªn tôc trªn R nªn tõ ®ã suy ra ®¹t cùc tiÓu t¹i 
0.5
4
3,0
XÐt liªn tôc trªn ®o¹n 
Ta cã 
0.5
0.5
 suy ra 
0.5
Do ®ã 
0.5
0.5
VËy 
0.5
5
3.0
Ta cã víi , 
0.5
§¹o hµm hai vÕ cña (1) ta ®­îc 
0.5
Suy ra 
1,0
§¹o hµm hai vÕ cña (2) ta ®­îc 
0.5
Thay vµo (3) ta ®­îc ®pcm
0.5
6
3.0
A
D
S
P
C
B
M
E
F
N
I
K
O
Gäi K vµ I lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña MN víi CD vµ BC, ta cã CK = CD, CI = CB
0.25
d(P,(ABC)) = d(S,(ABC))
0.25
VPCIK = CI.CK.sin.d(P,(ABC)) 
0.25
 =(CB.CD.sin.d(S;(ABC)) 
0.25
Þ VPCIK = VSABCD , (1)
0.25
MÆt kh¸c (2)
0.5
Tõ (1) vµ (2) Þ VIBEM = VSABCD
0.25
T­¬ng tù VKNDF = VSABCD
0.25
Gäi V2 lµ thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn giíi h¹n bëi mÆt ph¼ng (MNP) vµ mÆt ph¼ng ®¸y Þ V2 = VPCIK - (VIBEM + VKNDF)
0.25
 = VSABCD - VSABCD = VSABCD
0.25
VËy V2 = VSABCD Þ ®pcm Œ
0.25
7
2,0
A
F
M
E
D
B
C
§Æt 
Ta cã DABC nhän vµ DABC = DDCB = DCDA = DBAD. 
Suy ra 
0.5
H¹ , v× nªn 
0.5
¸p dông ®Þnh lÝ cosin cho tam gi¸c BMD ta ®­îc 
0.25
Tõ (1), (2), (3) ta ®­îc 
0.25
0.5
Chó ý: Häc sinh gi¶i theo c¸ch kh¸c nÕu ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a t­¬ng øng víi biÓu ®iÓm quy ®Þnh.