Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT môn: Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 
LỚP 12 THPT NĂM 2011 
Môn: TOÁN 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi thứ hai: 12/01/2011 
Bài 5 (7,0 điểm). Cho dãy số nguyên (an) xác định bởi 
0 11, 1a a= = − và 16 5n n na a a 2− −= + với mọi n ≥ 2. 
Chứng minh rằng chia hết cho 2011. 2012 2010a −
Bài 6 (7,0 điểm). Cho tam giác ABC không cân tại A và có các góc nABC , nACB là 
các góc nhọn. Xét một điểm D di động trên cạnh BC sao cho D không trùng với B, 
C và hình chiếu vuông góc của A trên BC. Đường thẳng d vuông góc với BC tại D 
cắt các đường thẳng AB và AC tương ứng tại E và F. Gọi M, N và P lần lượt là tâm 
đường tròn nội tiếp các tam giác AEF, BDE và CDF. Chứng minh rằng bốn điểm 
A, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua tâm 
đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
Bài 7 (6,0 điểm). Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức 
( , ) n nP x y x xy y= + + 
không thể viết được dưới dạng 
( , ) ( , ). ( , )P x y G x y H x y= , 
trong đó G(x, y) và H(x, y) là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng. 
----------------------------HẾT--------------------------- 
• Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. 
• Giám thị không giải thích gì thêm.