Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2011 - 2012 môn: Toán khối 10

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 - 2012
CỤM TÂN YÊN
MÔN: Toán khối 10.
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (2 điểm):
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 
 . (C)
2.Dùng đồ thị hàm số (C) để biện luận số nghiệm của phương trình.
Bài 2 ( 2 điểm):
1.Giải phương trình: 
2.Giải hệ phương trình 
Bài 3 ( 2 điểm):
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Bài 4 ( 3 điểm):
1.Cho tam giác ABC, H là trực tâm, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
 a. .
 b. .
2.Trong các tam giác có chu vi không đổi hãy tìm tam giác có chu vi đường tròn nội tiếp lớn nhất.
Bài 5 ( 1 điểm):
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. 
 Chứng minh: 
 ..Hết 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./.
Họ và tên thí sinh:...............................................SBD:......................Phòng thi:..........
GIÁM THỊ 1
(Ký, ghi rõ họ tên)
GIÁM THỊ 1
(Ký, ghi rõ họ tên)
HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 - 2012
 MÔN TOÁN, LỚP 10 
Chú ý : 
Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài.
Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết ,lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng. 
Câu
 Nội dung
Điểm
1
(2.0đ)
 1 (1 đ)
Viết lại được hàm số là 
Lập đúng bảng biến thiên 
Vẽ đúng đồ thị hàm số.
2 (1 đ). 
Số nghiệm của phương trình ban đầu chính là số giao điểm của ĐTHS (C) và đường thẳng y=m-2.
Dựa vào ĐTHS biện luận ra kết quả
m<0 ,phương trình vô nghiệm.
m=0 , phương trình có 1 nghiệm.
m>0 , Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0,25đ
0,25đ
0,5 đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
2
(2 đ)
1.(1 đ) ĐK 
Đặt 
Khi đó ta có hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình ta được t=x hoặc t=-5-x
 Thay vào (**) giải được kết quả 
2. (1đ) điều kiện 
Ta có Đặt 
Khi đó hệ phương trình trở thành 
Giải hệ phương trình được
 hoặc 
+ Trường hợp 
+Trường hợp hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;0) ; (-1;0)
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3
(2đ)
1. (1 đ) 
Ta có 
Ký hiệu ta lần lượt có.
2. (1 đ)
Đặt 
Theo câu 1 thì với là nghiệm của phương trình thì ta có 
Vậy đa thức cần tìm có dạng 
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
IV
(3đ)
 1.(2 đ)
a.( 1,5 đ)
Ta có (1)
Gọi là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, ta được: (2) A 
Thay (2) vào (1) ta được H
B M A C 
b .(0,5đ)
2. (1 đ)
Ta có S=p.r=
Vậy đạt được khi:
p-a=p-b=p-c a=b=c tam giác đều
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
V
(1 đ)
Ta có 
Theo bất dẳng thức Côsi nếu a, b, c > 0 thì ta có
Do đó 
Áp dụng (3) ta có : 
Như vậy 
Vậy max P=đạt được khi x=y=z=
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ