Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp tỉnh Phú Thọ năm học 2011-2012 Môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
PHÚ THỌ 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH 
Năm học 2011-2012 
Môn Toán 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề 
Đề thi có 01 trang 
----------------------------------------------------------- 
Câu 1 (5 điểm) 
a) Giải hệ phương trình: 
( )3 3
2 2
y 27x 35 8 0
 x, y .
3x y 2x 5y
 − + =
∈
+ =
ℝ
b) Giải phương trình: 
( )( ) ( )2 2x 1 2 x 2x 4 2x 2 4x 3 0, x .+ + + + − + + = ∈ℝ 
Câu 2 (4 điểm) 
 Cho [ ]a, b, c 1; 2 ,∈ chứng minh rằng: 
2 2 2 3a b c ab bc ca 3(a b)(b c)(c a) (a b c) .+ + + + + + + + + ≥ + + 
Câu 3 (4 điểm) 
Cho dãy số ( )nu xác định bởi: ( )
1
n 1 n n
u 4
1
u u 4 4 1 2u , n *.
9+
=


= + + + ∀ ∈
ℕ
Tìm công thức số hạng tổng quát nu của dãy số. 
Câu 4 (5 điểm) 
Cho tam giác ABC và M là điểm nằm trong tam giác sao cho  
1
MAC BAC
2
< và 
 1MCA BCA.
2
< Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB. 
Giả sử N là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho  NAB MAC;=  NCB MCA= . 
a) Chứng minh rằng AN và EF vuông góc với nhau. 
b) Trong trường hợp  oDEF 90 ,= chứng minh rằng N là trực tâm của tam giác 
BDF. 
Câu 5 (2 điểm) 
 Tìm tất cả các số tự nhiên A có 9 chữ số sao cho trong biểu diễn thập phân của A, 
chữ số hàng đơn vị bằng số các chữ số 8 xuất hiện trong A, chữ số hàng chục bằng số 
các chữ số 7 xuất hiện trong A, chữ số hàng trăm bằng số các chữ số 6 xuất hiện trong 
A, cứ như vậy cho đến chữ số hàng trăm triệu bằng số các chữ số 0 xuất hiện trong A. 
------------------------------------ Hết -------------------------------------- 
Họ và tên thí sinh: .................................................................. SBD: .......................... 
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
ĐỀ CHÍNH THỨC