Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường trường THPT Lý Tự Trọng khối 12 năm học 2008-2009 môn Toán

	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
	TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG	KHỐI 12 NĂM HỌC 2008-2009
	§Ò thi chÝnh thøc	
	MÔN : TOÁN 	Thời gian làm bài : 180 phút
Bài 1: (3.0 điểm)
1.1 Giải phương trình : .
1.2 Chứng minh rằng: 
Bài 2: (3.0 điểm) 
2.2 Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: 
2.2 Chứng minh rằng: chia hết cho 8.
Bài 3: (3.0 điểm)
 3.1 Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và các chữ số này đều lớn hơn 4. Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên đó. 
 3.2Chứng đẳng thức sau: 
Bài 4: (3.0 điểm)
Tính giới hạn: 
Bài 5: (3.0 điểm)
Cho a + b = 1. Chứng minh rằng: 
Bài 6: (2.0 điểm)
Cho đường thẳng (d), A không thuộc (d), B di động trên (d). Dựng tam giác ABC vuông tại B, góc A bằng 300. Tìm quỹ tích C.
Bài 7: (3.0 điểm)
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1.
Chứng minh tại trọng tâm tam giác AB’D’.
Tính thể tích khối đa diện ABCD.B’C’D’.
Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B’D’ và DC’.
Hết. 
Chúc các em làm bài tốt!
ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM
Bài1(3đ)
 NỘI DUNG 
ĐIỂM
Bài1.1
 Giải phương trình: 
Viết lại: 
0,5
Chú ý: và .
Do đó: (*) và 
0,5
 sinx = 0 hay sinx = 1
0,5
Nghiệm của phương trình đã cho là : x = k; x = + 2k (k)
0,5
Bài1.2
 Chứng minh rằng: 
a) Ta có: 2+=1+1+ 3= (BĐT Côsi, )
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 1.
1,0
 NỘI DUNG 
ĐIỂM
Bài 2.1
Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: 
 1.5
0.5
Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đc 
Dấu xảy ra 
0.5
Từ phương trình: 
 (vì x,y nguyên dương x>y và phương trình ước số ; nên dễ dàng tìm đc rồi tìm ra )
Đáp số : nghiệm phương trình là 
0.5
Bài2.2. 
Chứng minh rằng: chia hết cho 8.
1.5
Ta có: 
0.5
 (M, N là các đa thức)
0.5
 vì 2008 chia hết cho 8 (đccm)
0.5
Bài 3
3.1
Có 5! =120 số 
0,75
Trong 120 số có 60 cặp mà mỗi cặp có tổng 155554 
(ví dụ 56789,98765;67598,87956)
vậy có 155554x60=9333240
0,75
3.1
b). Xét hàm số:
Khi đó: 
Suy ra:
0,5
Do đó:
0,5
(đpcm)
0,5
Bài 4:
Có 
Đặt 
vậy 
Bài 5:
Vì a + b = 1 nên M(a; b) thuộc đường thẳng (d): y = - x + 1.
Gọi A(2; 2) và B(4; -1). Khi đó, ta cần chứng minh:
, thật vậy:
Gọi A’ đối xứng với A qua (d), vậy A’(-1; -1). Dễ thấy A’, B nằm khác phía so với (d), A’B cắt (d) tại M0(2; -1); A’B = 5.
Ta có:
 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi hay .
Bài 6:
Có: 
+ với (d1) là ảnh của (d) qua 
+ với (d2) là ảnh của (d1) qua 
Kết luận: Quỹ tích của C là đường thẳng (d2), ảnh của (d) qua phép đồng dạng hợp của hai phép biến hình và .
Bài 7:
a. A’C là trục đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác B’D’A, vuông góc với mặt phẳng chứa (C) tại tâm (C).
- Mặt khác, tam giác AB’D’ là tam giác đều nên tâm (C) là trọng tâm G của tam giác AB’D’.
b. . 
Vậy: VABCD.B’C’D’ = 5/6.
c. d(B’D’; DC’) = d(AB’D’; BDC’) = .