Đề thi chính thức kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2010 - 2011 đề thi môn: Toán (dành cho học sinh thpt)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1 (2,5 điểm). Giải phương trình 
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình 
Câu 3 (1,5 điểm). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 
đồng biến trên R.
Câu 4 (2,5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=b . Gọi M là trung điểm của SD, N là trung điểm của AD.
1. Chứng minh rằng đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (BMN).
2. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B,M và cắt mặt phẳng (SAC) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng BM. Tính theo a và b khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (P).
Câu 5 (1,5 điểm). Cho là các số thực không âm thoả mãn điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
———————-Hết———————
Gợi ý từ math.vn
CÂU 1:
Điều kiện: 
Biến đổi pt thành :
Tương đương với 
Vì thế: 
CÂU 5:
Ta có:
Theo bất đẳng thức ta có:
Suy ra:
Khảo sát hàm cho ta:
đạt được khi 
Vậy đạt được khi 
Cũng có thể làm thế này.
Ta có: 
tương đương với:
Phương trình này có nghiệm 
Tính cái ra sẽ thấy rồi kết luận.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT Chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình 
Câu 2 (2,0 điểm). Cho dãy số xác định bởi 
Chứng minh rằng .
Câu 3 (2,5 điểm). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD của tứ giác nội tiếp ABCD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt lại đường thẳng CD tại P và đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt lại đường thẳng AB tại Q Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD và E là giao điểm của các đường thẳng AD, BC. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, O, E thẳng hàng.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho là các số thực không âm thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Câu 5 (1,0 điểm). Trước một cửa soát vé vào rạp hát có một hàng gồm 2010 người. Do cửa đó bị hỏng, nên hàng người được chuyển tới một cửa khác. Hỏi có bao nhiêu cách lập hàng mới, nếu mỗi người hoặc giữ nguyên vị trí của mình hoặc tiến lên một (vị trí) hoặc lùi về sau một (vị trí)?
----------------------Hết-------------------------