Đề tài Tính ưu việt của ẩn phụ trong việc giải phương trình

PhÇn I:
§Æt vÊn ®Ò
Nãi ®Õn to¸n häc, dï lµ H×nh häc hay §¹i sè th× viÖc gi¶i ®­îc c¸c ph­¬ng tr×nh lµ rÊt quan träng vµ cÇn thiÕt.
§èi víi häc sinh nãi chung, häc sinh Trung häc c¬ së nãi riªng, ®Æc biÖt lµ häc sinh líp 9, th× viÖc h×nh thµnh vµ hoµn thiÖn kü n¨ng gi¶i ph­¬ng tr×nh ph¶i trë thµnh môc tiªu cã ý nghÜa vµ vai trß quyÕt ®Þnh.
Trong khu«n khæ h¹n hÑp cña chuyªn ®Ò nµy, t«i chØ xin ®­a ra mét vµi ý kiÕn th¶o luËn vÒ “TÝnh ­u viÖt cña Èn phô trong viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh” ®èi víi häc sinh líp 9 THCS.
-------***-------
PhÇn II: 
Néi dung cô thÓ
	B¶n th©n häc sinh khi tiÕp xóc víi kh¸i niÖm ph­¬ng tr×nh ë líp 8 vµ gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai ë líp 9 vÉn cßn cã c¶m gi¸c trõu t­îng vµ t­¬ng ®èi l¹ lÉm. V× thÕ, ®Ó h×nh thµnh kü n¨ng gi¶i ph­¬ng tr×nh cho häc sinh th× kh«ng g× tèt h¬n lµ th«ng qua c¸c bµi to¸n, vÝ dô cô thÓ.
Bµi viÕt nµy chñ yÕu ®­a ra nh÷ng vÝ dô minh ho¹ tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p, bªn c¹nh ®ã cã mét vµi ph©n tÝch ®¸nh gi¸ nh»m h×nh thµnh kü n¨ng “®Æt Èn phô” khi gi¶i ph­¬ng tr×nh ®èi víi ng­êi häc to¸n nãi chung vµ häc sinh nãi riªng.
A/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng:
Ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: 
ax4 + bx2 + c = 0 (a0)
C¸ch gi¶i: §Æt x2 = t (§K: t0)
Ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng trë thµnh ph­¬ng tr×nh bËc hai víi Èn t:
at2 + bt + c = 0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy, ta t×m ®­îc t, tõ ®ã suy ra x.
Bµi to¸n 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
x4 – 13x2 + 36 = 0 (1)
Gi¶i:
§Æt x2 = t (§K: t0). Ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh:
t2 – 13t + 36 = 0 (1.1)
∆t = (-13)2 – 4.1.36 = 25 > 0 	()
Ph­¬ng tr×nh (1.1) cã hai nghiÖm t1 = 4, t2 = 9
+ Víi t = 4 Þ x2 = 4 Þ x1 = 2, x2 = -2
+ Víi t = 9 Þ x2 = 9 Þ x3 = 3, x4 = -3
VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm.
B/ gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc cao:
C¸c ph­¬ng tr×nh bËc cao th­êng g©y khã kh¨n cho häc sinh khi gi¶i, viÖc ®Æt Èn phô sÏ gióp ®¬n gi¶n ho¸ vµ ®­a c¸c ph­¬ng tr×nh ®ã vÒ d¹ng quen thuéc.
Bµi to¸n 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
3x4 + 6x3 + x2 – 2x – 1 = 0 (2)
Gi¶i:
(2) 	Û 3(x4 + 2x3 + x2) – 2x2 – 2x – 1 = 0
Û 3(x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 1 = 0
§Æt x2 + x = t. Ph­¬ng tr×nh (2) trë thµnh:
3t2 – 2t – 1 = 0 (2.1)
Theo ®Þnh lý Vi-Ðt, dÔ thÊy ph­¬ng tr×nh (2.1) cã hai nghiÖm: t1 = 1, t2 = 
Suy ra:	 x2 + x = 1 Û x2 + x – 1 = 0 (2.2)
hoÆc 	x2 + x = Û 3x2 + 3x + 1 = 0 (2.3)
+ Gi¶i ph­¬ng tr×nh (2.2) ®­îc nghiÖm x1 = , x2 = 
+ Ph­¬ng tr×nh (2.3) v« nghiÖm
VËy ph­¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm x1, x2 nh­ ë trªn.
C/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu: 
Trªn thùc tÕ, cã nhiÒu ph­¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch b×nh th­êng, nh­ng nÕu chän Èn phô hîp lý th× ta sÏ gi¶i ®­îc ph­¬ng tr×nh ®ã ®¬n gi¶n h¬n.
Bµi to¸n 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
 – 10. = 3 (3)
Gi¶i:
§KX§: x0, x-1
§Æt = t (§K: t0). Ph­¬ng tr×nh (3) trë thµnh:
t – 10. = 3 Þ t2 – 3t – 10 = 0 (3.1)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (3.1) ®­îc t1 = 5, t2 = -2
Suy ra: = 5 hoÆc = -2
Tõ ®ã gi¶i ®­îc ph­¬ng tr×nh (3) cã hai nghiÖm x1 = , x2 = 
D/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh cã hÖ sè ®èi xøng:
Ph­¬ng tr×nh cã hÖ sè ®èi xøng (PT HS§X) lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng:
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0
víi 	ai = an-i (i = )
*Mét sè tÝnh chÊt cña ph­¬ng tr×nh cã hÖ sè ®èi xøng:
	1) PT HS§X nÕu cã nghiÖm xO th× xO ≠ 0 vµ còng lµ nghiÖm.
	2) PT HS§X bËc lÎ n = 2k + 1 nhËn x = -1 lµm nghiÖm.
Suy ra: NÕu ®a thøc f(x) bËc lÎ cã HS§X th× f(x) = (x + 1).g(x), trong ®ã g(x) lµ ®a thøc bËc ch½n cã HS§X.
	VËy PT HS§X bËc lÎ cã nghiÖm xO = -1 vµ viÖc gi¶i nã chuyÓn vÒ gi¶i PT HS§X bËc n – 1 ch½n.
Ph­¬ng tr×nh bËc 4 cã HS§X tû lÖ:
ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0
C¸ch gi¶i: 	Tr­íc hÕt thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh.
Víi x0, chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho x2, ta ®­îc:
ax2 + bx + c + b. + a. = 0
Û a(x2 + 2k + ) + b(x + ) + c – 2ka = 0
Û a(x + )2 + b(x + ) + c – 2ka = 0
§Æt: x + = t. Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn t:
at2 + bt + (c – 2ka) = 0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn ®­îc t, tõ ®ã suy ra x.
Bµi to¸n 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
x4 – 3x3 – 14x2 – 6x + 4 = 0 (4)
Gi¶i:
+ Ta thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (4)
+ Víi x0, chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (4) cho x2, ta ®­îc:
x2 – 3x – 14 – + = 0 (4.1)
Û (x + )2 – 3(x + ) – 10 = 0
§Æt: x + = t. Ph­¬ng tr×nh (4.1) trë thµnh:
t2 – 3t – 10 = 0 (4.2)
Ph­¬ng tr×nh (4.2) chÝnh lµ ph­¬ng tr×nh (3.1), cã hai nghiÖm t1 = 5, t2 = -2
Suy ra: 	x + = 5 Û x2 – 5x + 2 = 0 (4.3)
x + = -2 Û x2 + 2x + 2 = 0 (4.4)
+ Gi¶i ph­¬ng tr×nh (4.3) ®­îc nghiÖm x1 = , x2 = 
+ Ph­¬ng tr×nh (4.4) v« nghiÖm
VËy ph­¬ng tr×nh (4) cã hai nghiÖm.
Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc 4 cã HS§X lÖch:
ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0
C¸ch gi¶i: 	Tr­íc hÕt thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh.
Víi x0, chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho x2, ta ®­îc:
	a + b + c = 0
§Æt Èn phô: t = 	suy ra: t2 = x2 + – 2
	Khi ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh:
at2 + bt + c + 2a = 0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn ®­îc t, tõ ®ã suy ra x.
Bµi to¸n 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
	3x4 – 4x3 – 5x2 + 4x + 3 = 0 (5)
+ Ta thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (4)
+ Víi x0, chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (4) cho x2, ta ®­îc:
	3 – – 5 = 0 (5.1)
§Æt t = 	suy ra: t2 = x2 + – 2
	Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (5.1) trë thµnh:
3t2 – 4t + 1 = 0 (5.2)
Ph­¬ng tr×nh (5.2) cã hai nghiÖm t1 = 1; t2 = 
+ Víi t = 1 Þ x2 – x – 1 = 0 Þ x1 = ; x2 = 
+ Víi t = Þ 3x2 – x – 3 = 0 Þ x3 = ; x4 = 
VËy ph­¬ng tr×nh (5) cã 4 nghiÖm.
E/ VËn dông Èn phô ®Ó gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II b»ng c¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai: 
Dùa theo ®Þnh lý ®¶o cña ®Þnh lý Vi-Ðt, ta cã thÓ gi¶i ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II th«ng qua gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai.
Bµi to¸n 6: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
 (I)
Gi¶i:
(I) Û 
§Æt: x + y = S, xy = P (§K: S2 ≥ 4P). HÖ ph­¬ng tr×nh (I) trë thµnh:
 (II)
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh (II) ®­îc: , 
CÆp gi¸ trÞ S2, P2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn S2 ≥ 4P. Khi ®ã, x, y lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:
X2 + 4X + 4 = 0 (6)
+ Ph­¬ng tr×nh (6) cã nghiÖm kÐp X1 = X2 = -2
VËy hÖ ph­¬ng tr×nh (I) cã nghiÖm x = y = -2.
G/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa dÊu c¨n:
TÝnh ­u viÖt cña Èn phô ®Æc biÖt ®­îc thÓ hiÖn trong gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa dÊu c¨n.
Ta xÐt mét vµi bµi to¸n ®¬n gi¶n:
Bµi to¸n 7: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
x - = 5 + 7 (7)
Gi¶i:
+ §KX§: x ≥ 0 
(7) Û x – 6 – 7 = 0 
§Æt: = t (§K: t ≥ 0). Ph­¬ng tr×nh (7) trë thµnh:
t2 – 6t – 7 = 0 (7.1)
DÔ thÊy ph­¬ng tr×nh (7) cã hai nghiÖm: t1 = -1, t2 = 7
+ Gi¸ trÞ t2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn t ≥ 0.
Suy ra = 7 Þ Ph­¬ng tr×nh (7) cã nghiÖm x = 49.
Bµi to¸n 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
x + – 3 = 0 (8)
Gi¶i:
+ §KX§: x ≥ 1
§Æt: = t (§K: t ≥ 0). Ph­¬ng tr×nh (8) trë thµnh:
t2 + t – 2 = 0 (8.1)
Ph­¬ng tr×nh (8.1) cã hai nghiÖm: t1 = 1, t2 = -2
+ Gi¸ trÞ t1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
Suy ra: = 1 Þ Ph­¬ng tr×nh (8) cã nghiÖm: x = 2.
	Víi ®a sè ph­¬ng tr×nh chøa dÊu c¨n th× kh«ng ®¬n gi¶n nh­ trªn, mµ th­êng g©y ra nhiÒu khã kh¨n, phøc t¹p v× nÕu n©ng lªn luü thõa ®Ó lµm mÊt dÊu c¨n th× dÉn ®Õn ph­¬ng tr×nh bËc cao, cã thÓ kh«ng biÕt c¸ch gi¶i. Tuy nhiªn, nÕu biÕt “®Æt Èn phô hîp lý” th× viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh sÏ trë nªn nhÑ nhµng h¬n rÊt nhiÒu.
Bµi to¸n 9: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
x2 – = 5 (9)
Gi¶i:
+ §KX§: x ≥ -5
a) Víi bµi to¸n nµy, chóng ta sÏ xem c¸ch gi¶i n©ng lªn luü thõa tr­íc ®Ó tiÖn so s¸nh:
(9) Û = x2 – 5 (9.1)
+ NÕu x2 – 5 < 0 Û - < x < th× ph­¬ng tr×nh (9.1) v« nghiÖm.
+ NÕu x2 – 5 ≥ 0 Û (*) th× ta cã:
(9.1) 	Û ()2 = (x2 – 5)2 
Û x + 5 = x4 – 10x2 + 25
Û x4 – 10x2 – x + 20 = 0 (9.2)
Ph­¬ng tr×nh (9.2) kh«ng thuéc c¸c d¹ng ph­¬ng tr×nh bËc cao ®· biÕt, còng kh«ng r¬i vµo c¸c tr­êng hîp ®Æc biÖt ®Ó cã thÓ nhÈm nghiÖm. V× thÕ, ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy, ta ph¶i ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch, mµ ®Ó lµm ®­îc ®iÒu ®ã, ta ph¶i ph©n tÝch vÕ tr¸i (VT) cña ph­¬ng tr×nh (9.2) thµnh nh©n tö b»ng ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh – mét ph­¬ng ph¸p l¹ lÉm vµ khã kh¨n víi häc sinh – nh­ sau:
Gäi 	f(x) = x4 – 10x2 – x + 20 
f(x) nÕu ph©n tÝch thµnh nh©n tö sÏ cã d¹ng:
f(x) 	= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
= x4 + ax3 + bx2
+ cx3 + acx2 + bcx
+ dx2 + adx + bd
= x4 + (a + c)x3 + (b + ac + d)x2 + (bc + ad)x + bd
Ta cã: 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®iÒu kiÖn trªn (viÖc nµy còng kh«ng dÔ dµng), ta ®­îc:
 	hoÆc 
Do ®ã: f(x) = (x2 – x – 5)(x2 + x – 4)
VËy (9.2) 	Û (x2 – x – 5)(x2 + x – 4) = 0
Û 
Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh (9.3) vµ (9.4), kiÓm tra víi ®iÒu kiÖn (*), ta suy ra ®­îc c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (9) lµ: 
x1 = , 	x2 = 
b) Sau ®©y, ta sÏ gi¶i ph­¬ng tr×nh (9) b»ng c¸ch ®Æt Èn phô:
§Æt: = y (§K: y ≥ 0) Þ x + 5 = y2 
Khi ®ã, ph­¬ng tr×nh (9) chuyÓn thµnh hÖ ph­¬ng tr×nh:
 	(HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I)
Trõ theo tõng vÕ (9.5) vµ (9.6) ta ®­îc:
x2 – y2 + x – y = 0
Û 	(x – y)(x + y + 1)
Û	 
+) (9.7) Þ x = y ≥ 0, thay vµo (9.5) ®­îc: x2 – x – 5 = 0 (9.9)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (9.9) ®­îc nghiÖm: x1 = , x2 = 
+) (9.8) Þ x = y ≥ 0, thay vµo (9.5) ®­îc: x2 + x – 4 = 0 (9.10)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (9.10) ®­îc nghiÖm: x3 = , x4 = 
Ta thÊy c¸c gi¸ trÞ x1, x4 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn BT.
VËy ph­¬ng tr×nh (9) cã hai nghiÖm.
Râ rµng cã thÓ thÊy tÝnh ­u viÖt cña Èn phô trong viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh. Tuy nhiªn, còng cã thÓ thÊy viÖc chän “Èn phô hîp lý” l¹i kh«ng hÒ ®¬n gi¶n. V× thÕ, yªu cÇu ®èi víi gi¸o viªn lµ h­íng dÉn häc sinh nhËn d¹ng ®­îc ph­¬ng tr×nh ®Ó chän ®Æt Èn phô.
Bªn c¹nh c¸c vÝ dô ®· nªu trªn, cã mét sè tr­êng hîp ®Ó gi¶i ®­îc ph­¬ng tr×nh chøa dÊu c¨n, ta ph¶i ®Æt hai Èn phô, thËm chÝ ph¶i ®Æt Èn phô nhiÒu lÇn hoÆc ph¶i thay ®æi vai trß cña Èn.
Bµi to¸n 10: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
2(x2 – 3x + 2) = 3 (10)
Gi¶i:
+ §KX§: x ≥ 2
Tr­íc hÕt ta ph¶i thÊy r»ng ph­¬ng tr×nh (10) nÕu n©ng lªn luü thõa ®Ó lµm mÊt dÊu c¨n th× sÏ trë thµnh mét ph­¬ng tr×nh bËc bèn, mµ viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh ®ã rÊt khã kh¨n. B©y giê, ta sÏ gi¶i ph­¬ng tr×nh (10) b»ng c¸ch ®Æt Èn phô.
§Ó ý r»ng: 	x3 + 8 = (x + 2)(x2 – 2x + 4)
x2 – 3x + 2 = (x2 – 2x + 4) – (x + 2)
§Æt: 	a = 	(10.1)
b = 	(10.2)	(§K: a ≥ ; b ≥ 0) (**)
Ph­¬ng tr×nh (10) chuyÓn thµnh hÖ ph­¬ng tr×nh:
BiÕn ®æi (10.3) thµnh: 2a2 – 3ba – 2b2 = 0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn víi Èn a, tham sè b, ta ®­îc: a1 = 2b, a2 = 
KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (**), ta thÊy chØ cã gi¸ trÞ a = 2b (10.5) tho¶ m·n.
§Õn ®©y, ta cã thÓ gi¶i tiÕp theo hai h­íng:
1) KÕt hîp (10.1), (10.2) vµ (10.5) ®Ó ®­îc ph­¬ng tr×nh:
= 2
biÕn ®æi ®­îc: x2 – 6x – 4 = 0 (10.6)
2) ThÕ (10.5) vµo (10.4) ®Ó t×m b, råi kÕt hîp víi (10.2) ®Ó t×m x.
+ C¶ hai h­íng trªn ®Òu cho ta hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (10) lµ:
x1 = 3 + , 	x2 = 3 – 
*Mét sè bµi tËp ®Ò nghÞ:
C¸c em häc sinh vµ b¹n ®äc cã thÓ vËn dông c¸c c¸ch ®Æt Èn phô ®· ®­îc giíi thiÖu ë trªn ®Ó gi¶i mét sè ph­¬ng tr×nh sau:
x4 + 2x2 – x + 1 = 15x2 – x – 35	(11)
3(x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 1 = 0	(12)
(x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – 4 = 0	(13)
x – = 5 + 8	(14)
 + 3 = 0	(15)
3 – x = x2 + 3	(16)
 = x	(17)
 + = 3	(18)
2x4 – 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = 0	(19)
-------***-------
*h­íng dÉn gi¶i:
x4 + 2x2 – x + 1 = 15x2 – x – 35	(11)
Û x4 – 13x2 + 36 = 0
§Æt x2 = t (§K: t ³ 0), ph­¬ng tr×nh (11) trë thµnh:
	t2 – 13t + 36 = 0	(11.1)
Ph­¬ng tr×nh (11.1) cã nghiÖm: t1 = 9; t2 = 3
Tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh (11) cã 4 nghiÖm: x1 = 81; x2 = -81; x3 = 9; x4 = -9
3(x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 1 = 0	(12)
§Æt x2 = t (§K: t ³ 0), ph­¬ng tr×nh (12) trë thµnh:
	3t2 – 2t – 1 = 0	(12.1)
Ph­¬ng tr×nh (12.1) cã nghiÖm: t1 = 1; t2 = 
Tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh ((12) cã 4 nghiÖm: x1 = ; x2 = ;
x3 = ; x4 = 
 (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – 4 = 0	(13)
§Æt (x2 – 4x + 2) = t, ph­¬ng tr×nh (13) trë thµnh:
	t2 + t – 6 = 0 (13.1)
Ph­¬ng tr×nh (13.1) cã nghiÖm: t1 = 3; t2 = -2
Tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh (13) cã 2 nghiÖm: x1 = 2 + ; x2 = 2 – 
x – = 5 + 8	(14)
+ §KX§: x ³ 1
§Æt = t (§K: t ³ 0), ph­¬ng tr×nh (14) trë thµnh:
	t2 – 6t – 7 = 0 (14.1)
Ph­¬ng tr×nh (14.1) cã nghiÖm: t1 = -1; t2 = 7
Tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh (14) cã 1 nghiÖm: x = 50 
 + 3 = 0	(15)
+ §KX§: x ≠ -1
§Æt = t (§K: t ≠ 1) Þ x = , ph­¬ng tr×nh (15) trë thµnh:
	2t2 – 5t + 3 = 0 (15.1)
Ph­¬ng tr×nh (15.1) cã nghiÖm: t1 = 1; t2 = 
Tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh (15) cã 1 nghiÖm: x = -3
3 – x = x2 + 3	(16)
§Æt = t (§K: t ³ 0), ph­¬ng tr×nh (16) trë thµnh:
	3t2 – t – 2 = 0 (16.1)
Ph­¬ng tr×nh (16.1) cã nghiÖm: t1 = 1; t2 = 
Tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh (16) cã 2 nghiÖm: x1 = 0; x2 = -1
 = x	(17)
+ §KX§: -1 £ x £ 1
§Æt = y (§K: y ³ 0), ph­¬ng tr×nh (17) trë thµnh hÖ ph­¬ng tr×nh:
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh trªn ta ®­îc: y1 = 0; y2 = 
Tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh (17) cã 2 nghiÖm: x1 = 1; x2 = 
 + = 3	(18)
§Æt = a; = b (§K: b ³ 0), ph­¬ng tr×nh (18) trë thµnh:
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh trªn ta ®­îc: a = 1; b = 2
Tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh (18) cã 1 nghiÖm: x = 3
2x4 – 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = 0	(19)
Víi x ≠ 0, ®Æt = t Þ t2 = x2 + – 10, ph­¬ng tr×nh (19) trë thµnh:
	2t2 – 21t + 54 = 0 (19.1)
Ph­¬ng tr×nh (19.1) cã nghiÖm: t1 = 6; t2 = 
Tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh (19) cã nghiÖm: x1 = 3 + ; x2 = 3 – ;
x3 = ; x4 = 
PhÇn III:
KÕt luËn
Qua c¸c vÝ dô trªn cã thÓ thÊy râ “TÝnh ­u viÖt cña Èn phô trong viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh”. Nh­ng xin nhÊn m¹nh mét lÇn n÷a, ®Ó ¸p dông ph­¬ng ph¸p nµy, yªu cÇu ®Çu tiªn mang tÝnh ®ét ph¸ chÝnh lµ viÖc chän “Èn phô hîp lý” – vÊn ®Ò nµy ®ßi hái häc sinh ngoµi sù th«ng minh cßn cÇn cã kinh nghiÖm tÝch luü l©u dµi.
Trong c¸c vÝ dô ®· ®­a ra ë trªn, cã thÓ cã c¸ch gi¶i kh¸c hay h¬n, ®Ñp h¬n. Ngay c¶ viÖc cã thÓ ®Æt Èn phô hîp lý h¬n ®Ó gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh, mµ ng­êi viÕt chñ quan ch­a nh×n nhËn ®­îc. V× thÕ, rÊt mong cã sù ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp, cña c¸c thÇy c« gi¸o còng nh­ cña c¸c b¹n ®äc yªu to¸n.
Xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
X¸c nhËn cña nhµ tr­êng:
¢n Hoµ, ngµy 15 th¸ng 4 n¨m 2007./.
Ng­êi viÕt SKKN:
Lª TrÇn Kiªn
Tµi liÖu tham kh¶o:
T¹p chÝ “To¸n häc vµ tuæi trΔ
S­u tÇm ®Ò thi häc sinh giái, ®Ò thi tuyÓn sinh THPT.