Đề tài Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (hay đặt ẩn phụ)

Sáng kiến kinh nghiệm
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (hay đặt ẩn phụ)
I. Lời nói đầu:
Nguyên hàm và tích phân là nội dung chiếm một chương lớn trong chương trình giải tích 12. Điều đó cho thấy mức độ quan trọng và tính cấn thiết của nó ở sự xuất hiện trong các loại đề thi tốt nghiệp và trung cấp, Cao đẳng, Đại học. Song đây bao giờ cũng là một chương khó đối với học sinh, nhất là học sinh trung bình, cần nhiều thời gian để rèn luyện kỹ năng tính tích phân. Với việc áp dụng phương pháp đổi biến số vào tính tích phân, tôi muốn giúp các em học sinh đơn giản hóa các tích phân phức tạp, làm dễ tích phân để có lợi cho áp dụng tính bằng công thức. Điều đó có lợi cho các em học sinh trung bình, khá và các em giỏi. Tuy đây không phải là phương pháp quá khó, song qua kinh nghiệm giảng dạy thì nó giúp các em nhận biết và vận dụng tính tích phân rất nhanh và đúng, đạt được điểm cao khi thi cử, kiểm tra.
Tôi xin trình bày những tìm hiểu của mình mong được các đồng nghiệp quan tâm giúp đỡ, bổ sung cho hoàn thiện.
II. Nội dung 
A. Lý thuyết:
1) Quy trình tính tích phân bằng phương pháp đổi biến: 
+ Chọn x = trong đó là một hàm số thích hợp được chọn:
+ Lấy vi phân dx = 
+ Biểu thị f(x)dx theo t và dt.
Giả sử f(x)dx = g(t)dt
+ Tính các cận và tương ứng theo a; b
+ Tính đó là tích phân cần tính.
Chú ý: Đôi khi thay vì đặt x = ta đặt t = (x) rồi lấy vi phân hai vế để tính dx theo t và dt sau đó tiếp tục làm các bước còn lại.
	Như vậy việc chọn ẩn phụ là công việc thứ nhất của toàn bộ quy trình:
	Chọn x = hoặc t = (x)
	Việc chọn ẩn phụ rất đa dạng, tùy thuộc vào tính chất của hàm dưới dấu tích phân, có khi còn phụ thuộc vào cân a và b nữa.
2) Một số trường hợp thường gặp cho ta dấu hiệu để đổi biến hợp lý
Loại 1: Thông thường, ẩn phụ xuất hiện nhiều sau một số phép biến đổi và được lấy làm biến số mới.
Loại 2: Dùng ẩn phụ x = có dạng lượng giác.
Dấu hiệu
Cách chọn
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Chú ý: Chọn khoảng biến thiên của góc phải thỏa mãn:
Các biểu thức trong dấu sinh ra sau đổi biến phải không âm 
Loại 3: Dùng ẩn phụ t = (x)
Dấu hiệu
Cách chọn
* Hàm số có mẫu số
* t là mẫu số
* Hàm số có dạng 
* t = (x)
* Hàm số có dạng:
* Đặt 
Loại 4: Dựa vào cận tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích phân.
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên [a; b] khi đó:
	Thật vậy đặt t = a + b – x => dt = - dx
	t(a) = b;	t(b) = a
=> (do tích phân không phụ thuộc biến số).
2) f(x) là hàm số liên tục trên [0; 1] khi đó:
Thật vậy, đặt t = - x
=> 
=> 
Mặt khác: 
Đặt t = - x => 
=> 
3) f(x) là hàm số liên tục trên [-a; a] ; a > 0
- Nếu f(x) là hàm số chẵn thì: 
- Nếu f(x) là hàm lẻ thì: 	 
Thật vậy: Đặt t = - x thì f(-x) = f(x) (nếu f(x) chẵn và f(-x) = -f(x) (nếu f(x) lẻ) ta dễ dàng có kết quả trên.
4) f(x) là hàm số chẵn liên tục trên R và a > 0 khi đó 
	Thật vậy với phép đổi biến t = - u
	=> 
	=> 
	 (theo tính chất 3)
	=> 
5) Hàm số f(x) liên tục / [0; 2a], a > 0 thì :
	Thật vậy, đặt t = 2a – x ta có:
= 
= 
= 
= 
6) f(x) là hàm số liên tục / [0; 1] thì:
	Thật vậy với việc đổi biến t = - x ta dễ dàng thấy:
7) f(x) là hàm số liên tục trên R, tuần hoàn và có chu kỳ T thì:
 	 R
	Thật vậy, đổi biến x = a + T – t và sử dụng kiến thức về hàm tuần hoàn/R: f(T-x) =f(x)/R ta dễ dàng có kết quả này.
B. Bài tập: Tính tích phân
1) Loại 1: 
	a) 
x 0 1
t - 1 0
	Đặt t0 = x4 – 1 => ; dt = 4x3 dx
	=> 
b) I2 = 
x 1 e
t 1 2
	Đặt t = 1 + ln2x => dt = và 
	=> I2 
I3 
	Đặt t = sin x => I3 
	= 
d) I4 	Biến đổi I4 
=> Đặt t = sinx thì I4
	= 
e) I5 	Biến đổi I5 
Đặt u = x + => du 
=> I5 đã soát
7) I6 
x 1 e
t 1 2
	+ Biến đổi: I6 
	=> Đặt u = tgx ta có I6 
g) 	I7 	Chia cả tử và mẫu của f(x) cho x2 ta biến đổi I7 về dạng: 	I7 
Đặt 
	Đến đây, để tiếp tục tính I7 ta sang phép đổi biến số loại 2:
2) Loại 2: Tính các tích phân
a) I1	x > 1
Biến đổi I1 về dạng: I1
	+ Đặt u 
	=> 
	+ Đặt u = sint => 
	=> I1 
b) 	I3 	Đặt t 
	=> I3 
	 	Đặt t = tgu
	=> 
	=> I3 
c) 	 I4 	Đặt x = sint
	=> I4 
	=> I4 
d)	 I5 
 Hạ bậc
1 + cos2t
	Đặt x = 2cost => 	
	I5 
e) 	
f) 	I7 
	Ta đặt 
	=> I6 
	Lại đặt: v = sin 
	=> I6 
g) 	I8 
	Dùng phép đặt: x = 3cos2
	I8 = -
	= 6
h) 	I9 	Đặt x=1+2sin2
	Khi đó I9 = 
i)	I10 	Đặt 
	-> I10 = 
k)	I11	Đặt x= tg
	-> I11
	= 
	= 
	= = 
3). Loại 3: Tính các tích phân:
	I1	Đặt u=
	u2= 
	udu = 5sinxcosxdx
	I1
Tổng quát: Để tính I = với a,b0 
	Ta đặt: u= 	
b) 	
+ Biến đổi I2 về dạng:
+ Đặt u = 	
c)	 	Đặt u=
d) 	Ta đặt t = 
e) 	I5 
	Đặt 
x2 + x + 1 = x2 + 2xt + t2 
x 
f) 	I6 
Đặt 
áp dụng phương pháp giải loại 2 đặt u = tgt
	=> I6 = 2
g) 	I7 
	Biến đổi I7 
	Đặt = = sinx + cosx => du = (cosx-sin x)dx
	=> 
4). Loại 4: Tính các tích phân
a)	 I1 
	Do h/s y liên tục / 
	áp dụng kết quả: 
	=> I1 
b) 	I2 
	Biến đổi 	I2 
	Ta thấy hàm số f(x) = liên tục / [0; 1]
	=> áp dụng kết quả 2:
	Ta có 	I2 
Đây là tích phân thuộc loại 2 :
	Đặt cosx = tgu 
	=> I2 
	Tương tự tính tích phân: I3 
c) Tính 	I4 
	=> I4 = I5
	Mặt khác: 	 = 
	Vậy I4 = I5 =
d) 	I6 =
	Xét hàm số f(x) = 
	+ Txđ thoả mãn 	x + 
	 => x R
	+ Trên R: f(-x) = 
	=> f(x) = -f(-x) 
	Vì 	ln
	= ln
	= ln(x2 + 1 – x2)
	= ln1 = 0 ú ln
	 ú ln3 
	Vậy f(x) là hàm số lẻ. áp dụng kết quả của phần l‏‎ thuyết: 
	ú I6 = 0
e) Tính 	I7 = 
	Xét hàm số y = f(x) = sinx sin2x sin3x
 Thấy f(x) liên tục / [0; 3] => áp dụng kết quả 
	=> 	I7 = = 0
f) Tính 	I8 = 
	+ Xét hàm số y = f(x) = 
f(x) tuần hoàn với chu kỳ , liên tục trên R. 
 Vậy I8 
	= 100.
	 = 	
c) Một số bài tập rèn luyện thêm:
* Tính các tích phân:
	1) 	 2) 
	3) 
	5) 
	7) 
	9) 
III. Kết luận:
	Tích phân là một chủ đề rộng lớn của giải tích lớp 12 nên quanh nó có rất nhiều vấn đề cần bàn tới. Riêng việc tính tích phân cũng có rất nhiều phương pháp tính mà đỏi biến chỉ là một trong số đó. Do thời gian và khuôn bài viết có hạn tôi chỉ xin trình bày một vài tìm hiểu nhỏ về phương pháp này với hy vọng các em học sinh của chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức mà vẫn có những lời giải gọn và đẹp cho bài toán tính tích phân. Đồng thời tôi cũng mong nhận được sự động viên, góp ‏‎ của các bạn đồng nghiệp để nâng cao hiệu quả bài viết phục vụ cho công tác giảng dạy tốt hơn.
Ninh Bình, ngày tháng năm 200
Người viết
Phạm Thị Minh Ngọc