Đề tài Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian

MỤC LỤC
 Trang
 ĐẶT VẤN ĐỀ 3 
 CƠ SỞ LÝ LUẬN 4
 CƠ SỞ THỰC TIỄN 4
 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI 5
 A. Các bài toán về hình chiếu vuông góc 5
 Bài toán 1 5
 Bài toán 2 5
 Bài toán 3 6
 Bài toán 4 7
 Kết luận 7
 Một số bài tập tham khảo 7
 B. Các bài toán về đối xứng: 8
 Bài toán 5 8
 Bài toán 6 9
 Bài toán 7 9
 Bài toán 8 10
 Kết luận 11
 Một số bài tập tham khảo 11
 C. Các bài toán về cắt nhau, vuông góc, song song: 12
 Bài toán 9 12
 Bài toán 10 13
 Bài toán 11 14
 Bài toán 12 14
 Bài toán 13 15
 Bài toán 14 16
 Bài toán 15 17
 Kết luận 18 
 Một số bài tập tham khảo 18
	D. Các bài toán về cực trị tọa độ không gian 19 
	Bài toán 16 19
	Bài toán 17 20
	Bài toán 18 21
	Bài toán 19 22
	Bài toán 20 22
 Kết luận 25
 Một số bài tập tham khảo 25 
	 KẾT QUẢ 26 
 PHẦN KẾT LUẬN 27
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 28
ĐẶT VẤN ĐỀ
	Năm học 2009-2010 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “ Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”; “ Hai không”; “ Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực ". Nghị quyết TW 2 khóa VIII đã khẳng định " Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học ". Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
	 Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng khi tìm tọa độ của điểm hoặc viết phương trình đường thẳng trong không gian thỏa mãn tính chất nào đó; việc vận dụng các quan hệ vuông góc, song song của các em vào các bài toán còn nhiều hạn chế. Hơn nữa, kể từ khi học sinh học sách giáo khoa theo chương trình phân ban mới thì phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian không được sử dụng nữa nên các bài toán dạng" Tìm tọa độ các điểm. Viết phương trình các đường thẳng trong không gian" chủ yếu sử dụng phương trình tham số của đường thẳng.
 	 Với suy nghĩ trên tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình vể việc sử dụng phương trình tham số của đường thẳng vào giải các bài toán: " Tìm tọa độ các điểm. Viết phương trình các đường thẳng trong không gian" nhằm trao đổi với các thầy, cô giáo; đồng thời giúp các em học sinh 12 ôn tập nâng cao chất lượng học tập. 
CƠ SỞ LÝ LUẬN
 Trong phần phương pháp tọa độ trong không gian khi phải “Tìm tọa độ một điểm. Viết phương trình một đường thẳng trong không gian ”. Ngoài việc sử dụng các kiến thức ở sách giáo khoa ta nên chú ý đến tính các quan hệ vuông góc, song song và tính đối xứng của: hai điểm, điểm và đường, đường và mặt rồi kết hợp với tọa độ của điểm theo phương trình tham số của đường vào bài toán. Khi đó bài toán hình học sẽ đơn giản và được “đại số hóa” nên học sinh tiếp cận nhanh hơn và cách giải bài toán gọn gàng hơn.
CƠ SỞ THỰC TIỄN
 Sau khi nghiên cứu và áp dụng vào các tiết dạy học cho học sinh. Tôi thấy học sinh rất hứng thú khi gặp những dạng toán này và đa số học sinh biết cách vận dụng để giải các bài toán đó, đồng thời qua cách giải đó các em còn có thể đưa ra các bài toán tương tự, các bài toán mới. Qua đó bồi dưỡng cho các em niềm say mê học tập; khả năng tự học; phát huy được tính tích cực học tập, khả năng sáng tạo của học sinh.
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
	 Trên cơ sở các kiến thức đã trình bày ở SGK Hình học 12 và vận dụng tính chất: Trong không gian nếu một đường thẳng d có phương trình tham số: thì bất kỳ điểm Md đều có tọa độ dạng 
	Tuy nhiên, với mỗi bài toán cụ thể đòi hỏi học sinh cần phải có một lượng kiến thức nhất định rồi kết hợp để giải quyết bài toán.
 	A. Các bài toán về hình chiếu vuông góc:
 	Bài toán 1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(6; -1; -5) trên mp(P): 2x + y -2z - 3 = 0.
 	 Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) khi đó hình chiếu H là giao điểm của d và mp(P) 
	Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương trình: 
Gọi H = d (P). Ta có H d H(6 + 2t; -1 +t; -5-2t)
Vì H(P) 2(6+2t) + (-1+t) - 2(-5-2t) - 3 = 0 t = -2
 Vậy H(2; -3; -1)
 	Bài toán 2: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: trên mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
	 Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy Md, tìm hình chiếu của M trên (P), khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và song song với d.	
	Hướng dẫn giải: 
	Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP = (4; -2; 3)
 mp(P) có VTPT = (2; 1; -2) 
 . = 0 và M(P) nên: d // (P) 
	Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1) (Bài toán 1)
 	Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có phương trình : 
 Bài toán 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: trên mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
 	 Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy Md, tìm hình chiếu H của M trên (P), khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và có VTCP .
 	Hướng dẫn giải: 
 	Gọi A là giao điểm của d và (P).
 Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t) 
 Vì A (P) 2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0
 	 t = 1
 	Do đó A(1; 1; 0)
 Ta lại có: M(6; -1; -5) d 
 	Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1). (bài toán 1)
 Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP = (1; -4; -1)
 nên có phương trình : 
 	Bài toán 4: 	Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M(-1; -2; 4) trên đường thẳng d: 	
	 Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó H là hình chiếu của M trên đường thẳng d khi và chỉ khi . = 0 ( là VTCP của d)
	 Hướng dẫn giải: 
 Đường thẳng d có VTCP = (3; -2; 1). 
 Gọi Hd suy ra: H(-2+3t; 2-2t; 1+t) nên:
	 =(-1+3t; 4-2t; -3+t) 
 H là hình chiếu của M trên d .= 0 
 3(-1+3t) - 2(4-2t) + (-3+t) = 0 t = 1
 	Vậy H(1; 0; 2)
 Kết luận: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy, với các bài toán dạng này, ta lấy điểm cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó dựa vào quan hệ vuông góc giữa điểm với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng để tìm hình chiếu vuông góc của điểm đó trên đường thẳng hay mặt phẳng. Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm hình chiếu) hoặc viết phương trình hình chiếu dựa vào hình chiếu vừa tìm và vị trí tương đối của đường và mặt.
 	Một số bài tập tham khảo:
 	 Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: trên mỗi mặt phẳng tọa độ.
	Bài 2: Cho đường thẳng d : và mặt phẳng (P): x + y + z - 7 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).
	Bài 3: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng () : 2x - y + 2z + 11 = 0.
 	Bài 4: Cho đường thẳng d và mặt phẳng () có phương trình: d: ; (): 2x + y + z- 8= 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên ()
	Bài 5: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A(1; -1; 3) trên đường thẳng d : 
	B. Các bài toán về đối xứng:
 	Bài toán 5: Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M(6; -1; -5) qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
 	 Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P), lấy M ' d (M 'M) , khi đó M ' đối xứng với M qua (P) khi và chỉ khi d(M;(P))=d(M ';(P))	
	 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương trình:
 Gọi M '(6+2t; -1+t; -5-2t)d và M 'M t 0
 M ' đối xứng với M qua (P) d(M;(P))=d(M ';(P))
 t = - 4 t = 0 (loại)
Vậy M '(-2; -5; 3)
 	Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d: qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
 	 Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M d, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), khi đó đường thẳng d ' qua M ' và song song với d.	
	 Hướng dẫn giải: 
	Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP = (4; -2; 3)
 mp(P) có VTPT = (2; 1; -2)
 . = 0 và M(P) nên: d //(P) 
 Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M '(-2; -5; 3).( bài toán5)
 Đường thẳng d ' qua M ' và song song với d nên có phương trình: 
 	Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d: qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
 	Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy Md, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), khi đó đường thẳng d ' qua M ' và có VTCP .
 	 Hướng dẫn giải: 
 	Gọi A là giao điểm của d và (P).
 	Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t) 
	A (P) 2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0
 t = 1
 	Do đó A(1; 1; 0)
 	Ta lại có: M(6; -1; -5) d 
 	 Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P)
suy ra: M '(-2;-5;3) ( bài toán5) 
Đường thẳng d ' qua M ', có VTCP = (-3; -6; 3) = 3(-1; -2; 1) nên có phương trình: 
	Bài toán 8: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d có phương trình : 
 	 Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, H là hình chiếu của A lên đường thẳng d khi và chỉ khi . = 0 ( là VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA/ từ đó suy ra tọa độ của A/ 
	 Hướng dẫn giải: 
 	Đường thẳng d có VTCP = (2; -1; 2). 
 Gọi Hd suy ra: H(1+2t ; -1-t ; 2t) 
	nên: =(2t ; 1-t ; 2t-5) 
 H là hình chiếu của A trên d . = 0 
 2(2t) - (1- t) + 2(2t + 5) = 0 t = -1
 	suy ra: H(-1;0;-2)
	Ta có H là trung điểm của AA/ nên: Vậy: A/ (-3 ; 2 ; 1).
 	Kết luận: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy, với các bài toán dạng này, ta lấy điểm cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó tìm điểm đối xứng của điểm đó qua đường thẳng hay mặt phẳng. Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm điểm đối xứng) hoặc viết phương trình đường thẳng đối xứng dựa vào điểm đối xứng vừa tìm được và vị trí tương đối của đường và mặt, đường và đường.
	 Một số bài tập tham khảo:
 Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng : 
 a/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng .
 b/ Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A qua đường thẳng .
 Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và 2 đường thẳng: d1: ; d2 :
	 a/ Tìm tọa độ A/ đối xứng với A qua đường thẳng d1.
 b/Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2. (Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2006)
 Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng () : x + 3y - z - 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng với M qua mặt phẳng ().
 Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d: qua mặt phẳng () : x + y + z - 1 = 0.
 Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d1: và d2: 
 	 a/ Tìm tọa độ giao điểm của d1 và d2.
 	 b/ Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d1 qua d2.
 C. Các bài toán về cắt nhau, vuông góc, song song:
 Bài toán 9: Cho đường thẳng d và mp (P) có phương trình: d: ; (P): 2x + z - 5 = 0
 a/ Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P).
 b/ Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với d.
 	 Nhận xét: Bài toán này ta tìm tọa độ của A, khi đó đường thẳng d ' qua A và có véctơ chỉ phương ; trong đó là VTCP  ...  
 	Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng cắt 2 đường thẳng d1: ; d2: và song song với đường thẳng d: 
	 Nhận xét: Bài toán này ta lấy Ad1, Bd2 khi đó A, B khi và chỉ khi hai vectơ , cùng phương (là VTCP của d), đường thẳng qua A và có VTCP 	Hướng dẫn giải: 
 	 Đường thẳng d có VTCP = (3; 2; 1). 
 	 Gọi Ad1 suy ra: A(t; -2-3t; 1+t)
 	 Bd2 suy ra: B(1+2t/ ; -1+3t/ ; 4-t/ )
 nên: = (2t/ - t + 1; 3t/ + 3t + 1; -t/ - t + 3) 
 A, B và cùng phương 
 suy ra A(-1;1;0) .
 Đường thẳngqua A và có VTCP = (3;2;1) nên có phương trình : 
 Bài toán 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d1: và d2: 
 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt 2 đường thẳng d1 , d2 (Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2007)
 	 Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, ngoài cách giải của đáp án, tôi thấy tương tự bài toán 13, ta có thể giải nhanh hơn bằng cách lấy Ad1, Bd2 khi đó A, Bd khi và chỉ khi , cùng phương (là VTCP của d); đường thẳng d qua A và có VTCP 
	 Hướng dẫn giải: 
 	 Đường thẳng d (P) nên d có VTCP = (7; 1; -4). 
 	 Đường thẳng d1 có phương trình tham số: 
 	 Gọi Ad1 suy ra: A(2t/ ; 1- t/ ; -2+ t/ )
 Bd2 suy ra: B(-1+ 2t ; 1+ t ; 3)
 nên: = (2t - 2t/ - 1; t + t/ ; 5 - t/ ) 
 A, B , cùng phương 
 suy ra A(2; 0; -1).
 Đường thẳng d qua A và có VTCP = (7; 1; -4) nên có phương trình : 
 Bài toán 15: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau d: và d/ : 
 	 Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy Ad1, Bd2; AB là đường vuông góc chung của d và d/ khi và chỉ khi ; đường vuông góc chung qua A và có VTCP 
	Hướng dẫn giải: 
	 Đường thẳng d có VTCP = (3; 1; 1). 
 	Đường thẳng d/ có VTCP = (1; 3; -1).
 Gọi Ad suy ra: A(5+3t; 2+t; t)
 Bd/ suy ra: B(-2+t/ ; -7+3t/ ; 4-t/ )
 nên: =(t/ - 3t - 7; 3t/ - t - 9; -t/ - t + 4) 
 AB là đường vuông góc chung của d và d/ 
 suy ra: A(2; 1; -1); =(-1; 1; 2) 
 Đường vuông góc chung qua A và có VTCP =(-1; 1; 2) nên có phương trình : 
	Kết luận: Từ các bài toán nêu ra ta thấy các bài toán dạng này có độ " khó" hơn. Tuy nhiên, ta thấy được phương pháp chung để giải là: Chọn điểm hoặc các điểm (có chứa tham số) trên đường thẳng hoặc các đường thẳng bị cắt (cho trước), sau đó dựa vào các yếu tố song song, vuông góc để tìm tham số. Từ đó viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu bài toán.
	 Một số bài tập tham khảo:
 	 Bài 1: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3, biết phương trình d1, d2 và d3 là:
 d1 ; d2: ; d3: 
 Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng d: , Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
 (Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2004)
 Bài 3: Cho hai đường thẳng: d 1: và d2: . Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
 Bài 4: Cho hai đường thẳng: d: và d': 
 a.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d'.
 b. Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d'. 
 Bài 5: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) và cắt 2 đường thẳng d : ; d/ : 
 Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : và mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng 
 (Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2009)
D. Các bài toán về cực trị tọa độ không gian:
 Bài toán 16: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho điểm M(1; 3; -2) và đường thẳng d: Tìm tọa độ điểm H d sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. 
 Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó độ dài MH nhỏ nhất khi và chỉ khi MH d . = 0 ( là VTCP của d)
	 Hướng dẫn giải: 
 Đường thẳng d có VTCP = (3; 1; -1). 
 Gọi Hd suy ra: H(5 + 3t; 2+ t; -2 - t) nên:
	 =(4 + 3t; -1 + t; - t) 
 MH nhỏ nhất MH d 
	 . = 0 
 3(4+3t) + (-1 + t) - (- t) = 0 t = - 1
 	Vậy H(2; 1; -1)
 Bài toán 17: Trong không gian Oxyz cho M (1; 2; 3), và N ( 4; 4; 5). Tìm điểm I mp(Oxy) sao cho IM + IN nhỏ nhất.
	Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt phẳng. Nếu M, N nằm về hai phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặt phẳng, nếu M, N nằm về một phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của M 'N và mặt phẳng trong đó M ' là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng đó.
	 Hướng dẫn giải: 
	Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Trước hết ta xét xem M và N có ở một trong hai phía với mp (Oxy) hay không? Dể thấy zM . zN = 3 . 5 = 15>0 M, N ở về một phía với mp (Oxy).
Đường thẳng d qua M và vuông góc mp(Oxy) có pt: 
Gọi H là giao điểm của d với mp(Oxy). 
Ta có H d H (1; 2; 3 + t) 
Vì H (Oxy) 3 + t = 0 t = -3 
 H( 1; 2; 0) 
Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy).
 H là trung điểm của MM' nên M' (1; 2; -3) và = (3; 2; 8)
Ta có IM + IN = IM' + IN M'N Min ( IM + IN) = M'N I là giao điểm của M'N và mp(Oxy) 
M'N qua M ' có VTCP = (3; 2; 8) nên có phương trình: 
Điểm I ( 1 + 3t', 2 + 2t', -3 + 8t')d vì I (Oxy) -3 + 8t' = 0 t' = 
Vậy I
 Bài toán 18: Trong k/gian Oxyz cho: M (3; 1; 1), N ( 4; 3; 4) và đường thẳng d có phương trình: . Tìm điểm I d sao cho: IM + IN nhỏ nhất.
	Nhận xét: Ta có MNd nên IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I = d (P) trong đó (P) là mặt phẳng qua MN và vuông góc với d 
	Hướng dẫn giải: 
	Ta có: = (1; 2; 3), d có VTCP = ( 1; -2; 1), vì . =0 MN d
Mặt phẳng( P) qua MN và vuông góc với d có phương trình là: x - 2y +z - 2 = 0 
Gọi H = d (P), H d H(7 + t; 3 - 2t; 9 + t)
Vì H (P) nên: (7 + t) - 2(3 - 2t) +(9 + t) - 2 = 0
 t = H 
Với I d, ta có: IM + IN HM + HN 
 IM + IN nhỏ nhất IM + IN = HM + HN I H 
 Vậy: I 
 Bài toán 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0. Trong các đường thẳng qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. (Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2009)
 	 Nhận xét: Ta gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và song song với (P), khoảng cách từ B đến đường thẳng d là nhỏ nhất khi và chỉ khi d đi qua H (H là hình chiếu của B trên (Q)).
 	Hướng dẫn giải: 
Gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và song song với (P).
Ta có phương trình (Q): x - 2y + 2z + 1 = 0.
 Gọi I, H là hình chiếu của B trên d, (Q).
Ta có d(B;d) = BI BH 
nên d(B;d) nhỏ nhất khi d đi qua H.
Đường thẳng d ' qua B và vuông góc (Q)
 có phương trình: 
H = d ' (Q), Hd ' nên H(1+ t; -1 - 2t; 3 + 2t).
Vì H(Q) nên: (1+ t) -2(-1 - 2t) + 2(3 + 2t) + 1 = 0 t = H
Đường thẳng d qua A có VTCP có phương trình: 
 Bài toán 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng d có phương trình: 
 a/ Tìm tọa độ điểm Md sao cho nhỏ nhất.
 b/ Tìm tọa độ điểm Id sao cho diện tích AIB nhỏ nhất.
 c/ Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đó đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
	 Nhận xét: Ta lấy M d; câu a, ta tìm +suy ra M; câu b, c ta tìm diện tích AIB, khoảng cách rồi vận dụng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, từ đó suy ra kết quả. 
 	Hướng dẫn giải: 
	a/ Md M ( 1-t; -2+t; 2t) =(t; 6-t; 2-2t), =(-2+ t; 4 -t; 4 -2t).
Do đó: += (-2 + 2t; 10 - 2t; 6 - 4t)
== 
Suy ra: Min=t-2 = 0t = 2. Vậy: M(-1; 0; 4)
	b/ Id I(1-t; -2+t; 2t) ta có: = (- t; - 6 + t; - 2 + 2t) và = ( -2; -2; 2) = ( 6t - 16; -2t + 4; 4t - 12)
Diện tích AMB: = = = = ( tR)
Xét hàm f (t) = 56t- 304t + 416 f / (t) = 112t - 304;
 	f / (t) = 0 t = =
BBT: 
Từ đó suy ra: đạt GTNN khi t =.
 	 Vậy: I 
	c/ Gọi đường thẳng d1 đi qua A và cắt d tại M ( 1- t; -2 + t; 2t)
Khi đó d = = = 
Xét hàm g(t) = 
 g / (t) = ; g / (t) = 0 11t2 - 8t - 60 = 0 
 Ta có 
 	BBT:
Max d= Khi t = -2 Đường thẳng d1: 
Min d= Khi t = Đường thẳng d2: 
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 
 d1:	 và d2: 
	Kết luận: Đây là các bài toán khó, để giải nó cần phải vận dụng các dạng toán. Tuy nhiên, ta thấy được phương pháp chung để giải là: Chọn điểm (có chứa tham số) trên đường thẳng (cho trước), sau đó dựa vào các yếu tố hình chiếu vuông góc hoặc đưa về các hàm số sau đó tìm tham số. Từ đó tìm điểm hoặc viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu bài toán.
	 Một số bài tập tham khảo:
	Bài 1: Cho A (1; 2; -1), B (7; -2; 3) và đường thẳng d có pt: . Tìm điểm I d sao cho IA + IB nhỏ nhất.
	Bài 2: Cho mp(): 2x - y + z + 1 = 0 và hai điểm A( 3; 1; 0), B( -9; 4; 9 )
 	 a/ Tìm điểm I sao cho đạt GTNN
 	b/ Tìm điểm M sao cho: đạt GTLN
	Bài 3: Cho: A (1; 1; 0) và B ( 3; -1; 4) và đ/t d: . Tìm trên d điểm I sao cho: IA + IB bé nhất.
	Bài 4: Cho A (5; -1; 3), B (7; -1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x - y + z - 1 = 0. Tìm điểm I (P) sao cho IA + IB nhỏ nhất.
	Bài 5: Cho hai đường thẳng d1: ; d2: và điểm A ( 1; 4; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt d1 sao cho khoảng cách giữa d và d2 lớn nhất.
KẾT QUẢ
	Sau khi hình thành và đưa ra cách giải, tôi đã vận dụng phương pháp này ở 2 dạng A, B vào các bài dạy và kết quả bài kiểm tra 15' các lớp giảng dạy như sau:
	Lớp sử dụng phương pháp khác(3 lớp với 144 em)
Điểm dưới 5
Điểm từ 5< 8
Điểm từ 810
45
78
21
31,3%
54,1%
14,6%
	Lớp sử dụng phương pháp này(2 lớp với 92 em)
Điểm dưới 5
Điểm từ 5< 8
Điểm từ 810
18
50
24
19,6%
54,3%
26,1%
 Từ 2 bảng kết quả trên ta thấy ở lớp sử dụng phương pháp này tỉ lệ điểm dưới 5 giảm gần một nữa, tỉ lệ điểm từ 5 < 8 tăng không nhiều nhưng tỉ lệ điểm từ 810 tăng gần gấp 2 lần.
PHẦN KẾT LUẬN
Từ các bài toán nêu trên và cách giải chúng, ta thấy nếu vận dụng tốt các quan hệ vuông góc, song song , các tính chất đối xứng của điểm cùng với tọa độ của điểm theo tham số ta giải nhiều dạng bài toán, hơn nữa chúng ta đã đơn giản được bài toán, hạn chế việc " sợ " các bài toán hình học không gian ở học sinh, tạo được sự hứng thú cho các em, góp phần chung vào việc nâng cao chất lượng dạy và học và phát huy được tính tích cực của học sinh, khơi nguồn cho các em sự tìm tòi, sáng tạo trong quá trình giải một bài toán .
 Trên đây là những kinh nghiệm thực tiễn của bản thân qua nhiều năm giảng dạy môn toán phần phương trình đường thẳng trong không gian, với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp cho các em học sinh biết cách vận dụng các quan hệ vuông góc, song song, các tính chất đối xứng vào giải toán và cải tiến phương pháp học tập.
 Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các thầy cô trong tổ toán đã đọc, góp ý và giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1/ Giải bài toán như thế nào? (G.Polya - Nhà xuất bản Giáo dục năm 1997)
 2/ Toán nâng cao cho học sinh - Hình học ( Phan Huy Khải - Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội năm 1998).
 3/ Hình học 12- Chuẩn. ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà Nội năm 2008)
 4/ Hình học 12- Chuẩn- Sách giáo viên. ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà Nội năm 2008)
 5/ Hình học 12- Nâng cao ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà Nội năm 2008)
 6/ Hình học 12- Nâng cao - Sách giáo viên ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà Nội năm 2008)
 7/ Bộ đề thi tuyển sinh đại học - Môn Toán của Bộ GD & ĐT.(Doãn Minh Cường; Phạm Minh Phương - Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2007)
 8/ Báo toán học và tuổi trẻ.