Đề tài Thêm một phương pháp tìm cực trị của biểu thức phân dạng F = Ax2 + Bx + c / Dx2 + Ex + G

 PHOÌNG GIAÏO DUÛC ÂIÃÛN BAÌN
 TRÆÅÌNG THCS TRÁÖN PHU
	 ˜—&–™
SAÏNG KIÃÚN KINH NGHIÃÛM 
	Âãö taìi
 THÊM MỘT PHƯƠNG PHÁP 
 TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC PHÂN
 DẠNG 
 NÀM HỌC 2008 - 2009	
	Ngæåìi thæûc hiãûn : Nguyãùn Âæïc Tuáún
	Chức vụ : Giáo viên
Täø : Toaïn –lê 
	 1. TÊN ĐỀ TÀI 
THÊM MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
CỦA BIỂU THỨC PHÂN 
2. ĐẶT VẤN ĐỀ 
	Trong quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy : Đa số học sinh thường lúng trúng, hay nói cách khác rất sợ các bài toán về cực trị. Bởi sự đa dạng của nó, liên quan đến nhiều kiến thức và đòi hỏi các em phải có sự linh động sáng tạo 
	Giải các bài toán về tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) của một biểu thức dạng đã có nhiều phương pháp , nhưng dưới đây chúng tôi xin giới thiệu thêm một phương pháp chung nhất để giải các bài toán dạng này.
3. CƠ SỞ LÍ LUẬN 
Các bài toán về cực trị đại số ở bậc THCS có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở cấp học này. Ở cấp THPT , người ta thường dùng đến công cụ cao cấp toán học “ Giới hạn , đạo hàm ” .Trong chương trình toán cấp II nói chung là không được dùng công cụ cao cấp đó nên phải bằng cách thông minh nhất, phù hợp với trình độ kiến thức toán cấp II để giải quyết các bài toán đó 
CƠ SỞ THỰC TIỂN 
Ta xét cực trị của bài toán: F= Ax2 + Bx + C ( A khác 0)
Phương pháp: Gọi k là giá trị lớn nhất ( hoặc giá trị nhỏ nhất) của biểu thức F . Thế thì ta phải ta phải tçm k âãø : 
 F = Ax2 + Bx + C k ( hoàûc F k ) våïi moüi x .	(1 )
Bàòng caïch âàût C’ = C – k . Sau khi biãún âäøi biãøu thæïc F ta âæa vãö âæåüc 
 A 0 ( hoàûc 0) våïi moüi x 
+ Nãúu k laì GTLN ứng với mọi x thì bất đẳng thức Ax2 + Bx + C’ 0 đúng khi 
+ Nãúu k laì GTNN ứng với mọi x thì bất đẳng thức Ax2 + Bx + C’ 0 đúng khi 
Dáúu bàòng xaíy ra trong hai træåìng håüp trãn laì x = 
	b) Xét cực trị của ( ĐK :Dx2 + Ex + G ≠ 0 )
Phương pháp: Gọi k là giá trị lớn nhất ( hoặc giá trị nhỏ nhất) của biểu thức F . Thế thì ta phải ta phải tçm k âãø : k ( hoàûc Fk ) våïi moüi x .
	Ta quy bài toán về dạng ( hoàûc 0 ) rồi làm như bài toán ở mục a
5. NÄÜI DUNG ÂÃÖ TAÌI
Baìi 1: Tçm GTNN cuía biãøu thæïc F = x2 + 2 
Goüi k laì GTNN cuía biãøu thæïc F . Thãú thç ta phaíi tçm k âãø 
	F = x2 + 2 k Våïi moüi x 
	 x2 + 2 – k 0 Våïi moüi x 
Báút âàóng thæïc âuïng våïi moüi x khi 2 – k = 0 k = 2 
Váûy GTNN cuía biãøu thæïc F laì 2 khi x = 0 
Baìi2 : Tçm GTLN cuía biãøu thæïc F = 2 – x2 
Goüi k laì GTLN cuía biãøu thæïc F . Thãú thç ta phaíi tçm k âãø 
	F = 2 – x2 k Våïi moüi x 
	 –x2 + 2 – k 0 Våïi moüi x 
Báút âàóng thæïc âuïng våïi moüi x khi 2 – k = 0 k = 2 
Váûy GTLN cuía biãøu thæïc F laì 2 khi x = 0 
Bài 3 : Tìm GTNN của biểu thức F = x2 + x 
	Gọi k là GTNN của biểu thức F . Thế thì ta phải tìm k để 
F = x2 + x k 	 	với mọi x 
 x2 + x - k 0 	với mọi x 
 (x + )2 - - k 0 	với mọi x 
Bất đẳng thức đúng với x khi - - k = 0 k = - 
Dấu “ = ” xảy ra khi x + = 0 => x = -
Vậy GTNN của F = x2 + x là - khi x = -
Có thể áp dụng ngay phương pháp đã ghi ở mục 4 như sau :
x2 + x - k 0 	với mọi x 
Ứng với mọi x thì bất đẳng thức x2 + x - k 0 đúng khi 
hay 
Dấu “ = ” xảy ra khi x 
Bài 4 : Tìm GTNN của biểu thức F = x2 +2x + 2 
	Gọi k là GTNN của biểu thức F . Thế thì ta phải tìm k để 
F = x2 +2x + 2 k 	với mọi x 
 x2 +2x + 2 - k 0 	với mọi x 
Ứng với mọi x thì bất đẳng thức x2 +2x + 2 - k 0 đúng khi 
 hay 
Dấu “ = ” xảy ra khi x 
Vậy GTNN của F = x2 +2x + 2 là 1 khi x = -1
Bài 5 : Tìm GTLN của biểu thức F = -2x2 +8x + 7 
	Gọi k là GTLN của biểu thức F . Thế thì ta phải tìm k để 
F = –2x2 +8x + 7 k 	 	với mọi x 
 -2x2 +8x + 7 - k 0 	với mọi x 
Ứng với mọi x thì ất đẳng thức -2x2 +8x + 7 - k 0 đúng khi 
 Hay Suy ra k = 15
Dấu “ = ” xảy ra khi x 
Vậy GTLN của F = –2x2 +8x + 7 là 15 khi x = 2
Bài 6 : Tìm GTLN của biểu thức F= 
	Gọi k là GTLN của biểu thức F . Thế thì ta phải tìm k để 
F = k 	 	với mọi x 
 5 k(x2 + 1) 	với mọi x ( vì x2 + 1>0)
 kx2 + k – 5 0 	với mọi x 
Bất đẳng thức đúng với x khi => k = 5 
Vậy GTLN của F = là 5 khi x = 0
Bài 7 : Tìm GTLN của biểu thức F= 
	Gọi k là GTLN của biểu thức F . Thế thì ta phải tìm k để 
F = k 	 	với mọi x 
 2x +1 k(x2 + 2)	với mọi x ( vì x2 + 2>0)
 – kx2 +2x – 2k + 1 0 	với mọi x 
Ứng với mọi x thì bất đẳng thức – kx2 +2x – 2k + 1 0 đúng khi 
Hay => k =1
Dấu “ = ” xảy ra khi 
Vậy GTLN của F = là 1 khi x = 1
Bài 8 : Tìm GTNN của biểu thức F= với x > 0
	Gọi k là GTNN của biểu thức F . Thế thì ta phải tìm k để 
F = k 	 	với mọi x > 0
 8x2 – kx + 2 0 	với mọi x >0 (*)
Ứng với mọi x thì bất đẳng thức 8x2 – kx + 2 0 đúng khi 
 Hay 
Dấu “ = ” xảy ra khi x = hay => k = 8 
	 => k > 0
 mà x > 0 
Vậy GTLN của F = với x > 0 là 8 khi x = 
Bài 9 : Tìm GTNN của biểu thức F= với x > 0
	Gọi k là GTNN của biểu thức F . Thế thì ta phải tìm k để 
F = k 	 	với mọi x > 0
 x2 – (15 +3k)x + 16 0	với mọi x >0
Ứng với mọi x thì bất đẳng thức x2–(15+3k)x+160 đúng khi 
 hay Suy ra 9k2 – 90k +161 = 0 
Giải phương trình trên được k1 = hoặc k2 = 
Dấu “ = ” xảy ra khi x = 
 hay x = => 
 => 3k – 15 > 0 => k > 5 . 
 mà x > 0 
 k1 = (bị loại ) và k2 = (Thoả mãn k>5)
Vậy GTNN của biểu thức F= với x > 0 là 
 khi x === 4
Bài 10 : Tìm GTNN của biểu thức F= với x > 1
	Gọi k là GTNN của biểu thức F . Thế thì ta phải tìm k để 
F = k 	 	với mọi x > 1
 x2 – kx + k 0 	với mọi x >1
Ứng với mọi x thì bất đẳng thức x2 – kx + k 0 đúng khi 
 Suy ra k2 – 4k = 0 => k1 = 0 hoặc k2 = 4
Dấu “ = ” xảy ra khi x = mà x > 1 . Suy ra > 1 => k > 2 . 
Nên k1 = 0 (bị loại ) và k2 =4 (Thoả mãn k>2)
Vậy GTNN của biểu thức F= với x > 0 là 4 khi x== = 2 
Bài 11 : Tìm cực trị của biểu thức F= ( với x khác 2)
a) Khi x x – 2 < 0 
@ Gọi k là GTNN của biểu thức F( nếu có) . Thế thì ta phải tìm k để 
F = k 	 	với mọi x < 2
 x2 +(1– k)x + 2k 0 	với mọi x < 2
BĐT x2 +(1– k)x + 2k 0	 đúng với mọi x khi 
 hay => Vô nghiệm 
Như thế với x < 2 lúc đó biểu thức F= không tồn tại GTNN
@ Gọi k là GTLN của biểu thức F( nếu có) . Thế thì ta phải tìm k để 
F = k 	 	với mọi x < 2
 x2 +(1– k)x + 2k 0 	với mọi x < 2
BĐT x2 +(1– k)x + 2k 0	 đúng với mọi x khi 
 hay Suy ra k2 – 10k + 1 = 0 
Giải pt trên ta được k1 = 5 + hoặc k2 = 5 – 
Dấu “ = ” xảy ra khi x = = mà x < 2 . 
 Suy ra => k < 5 . 
Nên k1 = 5 + (bị loại ) và k2 = 5 – (Thoả mãn k <5)
Suy ra 
 Với x < 2 biểu thức F= có giá trị lớn nhất là 5 – 
 khi x=
b) Khi x > 2 => x – 2 > 0 
@ Gọi k là GTNN của biểu thức F( nếu có) . Thế thì ta phải tìm k để 
F = k 	 	với mọi x > 2
 x2 +(1– k)x + 2k 0 	với mọi x > 2
BĐT x2 +(1– k)x + 2k 0	 đúng với mọi x khi 
 hay => k2 – 10k + 1 = 0 
Suy ra k1 = 5 + hoặc k2 = 5 – 
Dấu “ = ” xảy ra khi x = = mà x > 2 . 
 Suy ra => k > 5 . 
Nên k1 = 5 - (bị loại ) và k2 = 5 + (Thoả mãn k > 5)
Như thế 
 Với x> 2 , biểu thức F= có giá trị nhỏ nhất là 5 + 
 khi x=
@ Gọi k là GTLN của biểu thức F( nếu có) . Thế thì ta phải tìm k để 
F = k 	 	với mọi x > 2
 x2 +(1– k)x + 2k 0 	với mọi x > 2
BĐT x2 +(1– k)x + 2k 0	 đúng với mọi x khi
 hay => Vô nghiệm 
Như thế với x > 2 lúc đó biểu thức F= không tồn tại GTLN
Suy ra 
 Với x > 2 biểu thức F= có giá trị nhỏ nhất là 5 + 
 khi x=
Kết luận chung : 
 Với x > 2 biểu thức F= có giá trị nhỏ nhất là 5 + 
 khi x 
 Với x < 2 biểu thức F= có giá trị lớn nhất là 5 – 
 khi x
Bài 12 : Tìm GTLN của biểu thức F= 
 Gọi k là GTLN của biểu thức F . Thế thì ta phải tìm k để 
F = k 	 	với mọi x 
 ( 1 – k) x2 – 6(1 – k)x + 14 – 12k 0 với mọi x 
BĐT ( 1 – k) x2 – 6(1 – k)x + 14 – 12k 0 đúng với mọi x khi hay 
Dấu “ = ” xảy ra khi x = = 
Vậy GTLN của biểu thức F= là khi x =3 
6. KẾT QUẢ
Trước khi chưa nêu ra phương pháp này, việc tìm cực trị có gặp khó khăn , khó tìm được cơ sở khởi đầu tiên cho biến đổi khi gặp bài phức tạp 
Chẳng hạn như ở bài 11 đã nêu trên : 
Tìm GTNN của biểu thức F= với x > 1
Ta thương làm như sau: 
	 Nhận thấy 	(x – 2)2 0 	với mọi x
 x2 – 4x +4 0 	với mọi x
 x2 4(x – 1 	)	với mọi x
 	với mọi x > 1 
Vậy GTNN của biểu thức F= là 4 khi x =2 
Với cách làm trên đòi hỏi các em phải biết nhìn nhận bài toán với hằng đẳng thức quen thuộc x2 – 4x +4. Còn nếu gặp bài phức tạp hơn thì mọi việc rất khó biết cơ sở để biến đổi ,chẳng hạn như bài 12 
Tìm cực trị của biểu thức F= ( với x khác 2)
Trong bài viết này chúng tôi giới thiệu thêm cách chung nhất cho các
bài toán tìm cực trị ở dạng ( ĐK :Dx2 + Ex + G ≠ 0). Tuy nhiên đây không phải là cách hay nhất , gọn nhất cho tất cả các bài. Chẳng hạn như bài 13 ta có cách gọn hơn như dưới đây
Tìm GTLN của biểu thức F= 
Cách gọn hơn là F = = = 
Nhận thấy ( vì (x -3)2 0)
Suy ra F 1 + hay F 
Dấu “ = “ xảy ra khi (x – 3)2 = 0 => x = 3 
Vậy GTLN của F là khi x=3 
7. KẾT LUẬN 
Như chúng ta đã biết, ở sách giáo khoa chỉ đề cập đến bài toán cực trị ở dạng đơn giản, chủ yếu dùng hằng đẳng thức và tính chất bất đẳng thức để giải . Nhưng với học sinh khá giỏi bản thân các em không dừng lại ở mức độ này. Như thế “toa thuốc” trên người thầy cần cung cấp để các em có thêm tư liệu “bốc thuốc” thì “liều thuốc” sẽ hay hơn.
8.ĐỀ NGHỊ
	Với đề tài đã nêu trên chúng tôi phân thành 2 lớp sau : 
1.Đối với lớp 8: Chúng ta hướng dẫn hoc biến đổi về dạng 
 Ax2 + Bx + C’ 0 ( hoàûc 0 ) våïi moüi x 
 Hay A 0 ( hoàûc 0) våïi moüi x 
+ Nãúu k laì GTLN ứng với mọi x thì bất đẳng thức Ax2 + Bx + C’ 0 đúng khi 
+ Nãúu k laì GTNN ứng với mọi x thì bất đẳng thức Ax2 + Bx + C’ 0 đúng khi 
Dáúu bàòng xaíy ra trong hai træåìng håüp trãn laì x = 
2.Đối với lớp 9: Sau khi học công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn ( nghĩa là biết đến biệt số = B2 – 4AC) để tìm cực trị của dạng toán trên ta biến đổi về dạng Ax2 + Bx + C’ 0 ( hoặc 0) với mọi x 
+ Nãúu k laì GTLN ứng với mọi x thì bất đẳng thức Ax2 + Bx + C’ 0 đúng khi 
+ Nãúu k laì GTNN ứng với mọi x thì bất đẳng thức Ax2 + Bx + C’ 0 đúng khi 
Dáúu bàòng xaíy ra trong hai træåìng håüp trãn laì x = 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
MỤC LỤC
1. Tên đề tài 	2
2. Đặt vấn đề 	2
3. Cơ sở lí luận , thực tiển 	2
4. Nội dung đề tài 	3
5. Kết quả 	9
6. Kết luận 	10
7. Đề nghị 	11 
7. Tài liệu tham khảo 	12
Mẫu SK1
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
PHIẾU ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2008 - 2009
I. Đánh giá xếp loại của HĐKH Trường: 
1. Tên đề tài: Thêm một phương pháp tìm cực trị của biểu thức phân 
 dạng 
2. Họ và tên tác giả: Nguyễn Đức Tuấn 
3. Chức vụ: Giáo viên 	 	Tổ: Toán -lí.
4. Nhận xét của Chủ tịch HĐKH về đề tài:
a) Ưu điểm: ..............................................................................................................
 .............................................................................................................................
 .............................................................................................................................
b) Hạn chế: ..............................................................................................................
 .............................................................................................................................
 .............................................................................................................................
5. Đánh giá, xếp loại:
	 Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Trường ............................
..................................................................................................................................
thống nhất xếp loại : ............................
 Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH
 (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký, đóng dấu, ghi rõ họ tên)
............................................................
............................................................
............................................................
II. Đánh giá, xếp loại của HĐKH Phòng GD&ĐT huyện Điện Bàn:
	 Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Phòng GD&ĐT.................. 
......................................... thống nhất xếp loại: ...............
 Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH
 (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký, đóng dấu, ghi rõ họ tên)
............................................................
............................................................
............................................................
III. Đánh giá, xếp loại của HĐKH Sở GD&ĐT Quảng Nam:
	 Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Sở GD&ĐT Quảng Nam thống nhất xếp loại: ............................................
 Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH
 (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký, đóng dấu, ghi rõ họ tên)
............................................................
PHIẾU CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Mẫu SK3
Năm học 2008- 2009
 (Dành cho người tham gia đánh giá xếp loại SKKN)
HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 
Trường (Phòng, Sở): Trường THCS Trần Phú – Điện Bàn – Quảng Nam
- Đề tài: Thêm một phương pháp tìm cực trị của biểu thức phân 
 dạng 
- Họ và tên tác giả: Nguyễn Đức Tuấn 
- Đơn vị: Trường THCS Trần Phú – Điện Bàn - Quảng Nam
- Điểm cụ thể:
Phần
Nhận xét 
của người đánh giá 
xếp loại đề tài
Điểm tối đa
Điểm đạt được
 1. Tên đề tài 
 2. Đặt vấn đề
1
 3. Cơ sở lý luận
1
 4. Cơ sở thực tiễn
2
 5. Nội dung nghiên cứu
9
 6. Kết quả nghiên cứu
3
 7. Kết luận
1
 8. Đề nghị 
 9. Phụ lục
1
10. Tài liệu tham khảo
11. Mục lục 
12. Phiếu đánh giá xếp loại
1
Thể thức văn bản, chính tả
1
Tổng cộng
20 đ
 Căn cứ số điểm đạt được, đề tài trên được xếp loại:
 	Người đánh giá xếp loại đề tài: 
 	+ Họ và tên: ............................................................. (Ký tên) ........................................
 	+ Họ và tên: ............................................................. (Ký tên) .......................................