Đề tài Phương pháp khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Phần I: MỞ ĐẦU
1/Lý do chọn đề tài:
 	Khảo sát hàm số là một chương có nội dung rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, một trong những chủ đề dễ lấy điểm nhất trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT(chiếm 3,5đ).
	Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi thấy nhiều học sinh ở trường THPT số 3 Bảo Yên chưa biết khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ” nhằm hướng dẫn học sinh một số biện pháp để học sinh khảo sát và vẽ được đồ thị của hàm số một cách nhanh và chính xác .
2/Mục tiêu và nhiệm vụ của đề tài nghiên cứu:
- Hệ thống kiến thức về khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc 3, bậc 4 trùng phương và hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
- Trình bày cách vẽ đồ thị của một hàm số, các ví dụ minh họa cùng bài tập áp dụng. Giúp các em học sinh nắm được kiến thức cơ bản để học sinh khảo sát và vẽ được đồ thị của hàm số một cách thành thạo. 
3/Ý nghĩa của đề tài:
Đề tài thành công sẽ có ý nghĩa lớn trong việc nâng cao kĩ năng khảo sát và vẽ được đồ thị hàm số của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng thi tốt nghiệp THPT môn Toán. 
4/Nội dung nghiên cứu:
Sơ đồ khảo sát hàm số, các ví dụ minh họa
Các yếu tố để khảo sát và vẽ đúng đồ thị của hàm số
Bài tập áp dụng
5/Giới hạn của đề tài
 	Đề tài được áp dụng trong thời gian từ tháng 10/2009 --> 02/2010 dành cho đối tượng lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT.
Phần II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 I. Sơ đồ khảo sát hàm số
1. Tìm tập xác định: D=
Sự biến thiên
a. Chiều biến thiên: - Tính y’ = .... cho y’ = 0 và tìm nghiệm(nếu có)
 - Xét dấu của y’ chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến
b. Cực trị: Chỉ rõ điểm cực đại, cực tiểu
c. Giới hạn: - Tính với xo là nghiệm của mẫu số
 - Tìm phương trình tiệm cận (nếu có)
d. .Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương); Tính y’’ cho y’’ = 0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’
e. Lập bảng biến thiên
3.Vẽ đồ thị: 
Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)
Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox
Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
1. Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ¹ 0 ) 
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với D/ = b2 - 3ac
D/ £ 0 
D/ > 0
y/ cùng dấu với hệ số a
·kl: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
 y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2 
·kl: hàm số tăng? giảm?
·hàm số không có cực trị 
· cực tri ̣ cực đại? cực tiểu?
+ vẽ đồ thị : 
	· Xác định giao điểm với Ox, Oy
Điểm uốn I(-;f(-))
· xác đinh cực trị ?
	 	 · và các điểm đặc biệt
	· Vẽ đồ thị đi qua các điểm nói trên(xđịnh được dạng đồ thị)
 a>0 ; có 2 ct a0, không ct a<0, không ct
VD1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2x3 - 6x + 2
	1. TXĐ: R
2. Sự biến thiên
a, Chiều biến thiên:y’ = 6x2 – 6; y’ = 0 ó x = 1 và x = -1
HS đồng biến trên ;HS nghịch biến trên 
b, Cực trị: HS đạt cực đại tại x = -1 => yCĐ = 6
 	 HS đạt cực tiểu tại x = 1 => yCT = -2
c, Giới hạn : 
a > 0
d, Bảng biến thiên
x
- -1 1 +
y/
 + 0 - 0 +
y
 6 +
- -2
 3.Đồ thị
Giao với Oy: A(0; 2)
Lấy B(2; 6) ; C(-2; 2)
VD2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y = -3x3 +3x2 - 4
2. Hàm bậc 4 trùng phương: y = ax4 + bx2 + c ( a ¹ 0 ) 
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x = 2x.(2ax2+ b) 
a,b cùng dấu
a, b trái dấu
y/ = 0 Û x = 0 
·kl: tăng? giảm
 y/ = 0 Û 2x (2ax2 + b) = 0 Û x= 0; x1,2=±
·kl: tăng? giảm?
·giá trị cực trị : y(0) = c 
có một cực trị
· giá trị cực trị: y(0)= c ; y(±) =-
có 3 cực trị
+ Vẽ đồ thị : · cực đại , cực tiểu ; · y = 0 -> x= ? giải pt trùng phương 
 a> 0
 b>0
a< 0
b <0
VD3: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y = x4 - 2x2 + 2
1. TXĐ: R
2. Sự biến thiên
a, Chiều biến thiên:y’ = 4x3 – 4x; y’ = 0 ó x = 0 và x = 1
HS đồng biến trên ;H/số NB trên 
b, Cực trị: HS đạt cực đại tại x = 0 => yCĐ = 2
 	 HS đạt cực tiểu tại x = 1 => yCT = 1
c, Giới hạn : 
a > 0
d, Bảng biến thiên
x
- -1 0 1 +
y/
 - 0 + 0 - 0 +
y
+ 2 +
 1 1
 3.Đồ thị
Giao với Oy: A(0; 2)
Lấy B(2; 6) ; C(-2; 2)
VD4: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y = -2x4 + 4x2 -1
3. Hàm phân thức: y = ( c ¹ 0; ad - bc ¹ 0 ) 
+ TXĐ : D = R\
+Đạo hàm: y/ = 
ad-bc < 0
ad-bc > 0
y/ < 0 " x ÎD
y/ > 0 " x ÎD
Hàm số không có cực trị
Hàm số nghịch biến trên D
Hàm số đồng biến trên D
+ Tiệm cận: · x = là tiệm cận đứng vì = ¥
 	 	 · y = là tiệm cận đứng ngang vì = 
+ Vẽ đồ thị : - Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt 
- Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận 
x = -d/c 
x= -d/ c
* Dạng đồ thị: 
 y= a/c
 y = a/c
a
VD5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: 
1.TXĐ: 
2. a./ 
 	Hàm số đồng biến trên đoạn 
 	 b./ Hàm số không có cực trị.
 c./ Giới hạn – tiệm cận.
 ; ; => x = -2 là tiệm cận đứng.
 => y = 2 là tiệm cận ngang
 d. Bảng biến thiên
3. Đồ thị 
 Giao với 0y => x = 0 => y = -1/2
 	 Giao với 0x => y = 0 => x = 
 đồ thị nhận giao I(-2 ; 2) của
 hai tiệm cận làm tâm đối xứng. 
VD6: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: 
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) biết 
Tiếp tuyến tại M(x0; yo) 
TT có phương trình là : 
 y – y0 = f /(x0).(x- x0) trong đó : y0 = f(x0) 
Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f /(x) => f /(x0) = ? 
P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x- x0) + f(x0)
Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Ta có: f /(x0) = k => x0 rồi tính y0 = f(x0)
VD7: Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 - 1 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tuyến 
 của đồ thị (C)
Tại điểm A(1; -2)
Tại điểm có hoành độ x = -1
Tiếp tuyến có hệ số góc k = 12
Giải
Ta có: x0 = 1, y0 = -2	
 	 y’ = 6x2 - 6x => y/(1) = 0
Tiếp tuyến tại A(1; -2) có phương trình là : 
 y – y0 = f /(x0).(x- x0) Û y + 2 = 0(x - 1) Û y = -2
 Ta có: x0 = -1, y0 = -6	
 	 y’ = 6x2 - 6x => y/(-1) = 12
=> Tiếp tuyến có phương trình là : 
y + 6 = 12(x + 1) Û y = 12x + 6
 c. Vì tiếp tuyến có hệ số góc k = 12 nên
	f /(x0) = 12 Û 6x2 - 6x = 12 => x0 = -1; x0 = 2
	Với x0 = -1 => y0 = -6 => PTTT: y = 12x + 6
Với x0 = 2 => y0 = 3 => PTTT: y = 12x + 21
VD8: Cho hàm số: y = 2x4 - 4x2 + 1 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tuyến 
 của đồ thị (C)
a. Tại điểm B(1; -1)
b. Tại giao của đồ thị với trục Oy
c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = -48x + 7
Giải: 
Bài toán 3 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
 	 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) 
 Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có là nghiệm của phương trình : 
 f(x) = g(x) (1) 
· pt(1) vô nghiệm (C1) và (C2) không có điểm chung 
· pt(1) có n nghiệm (C1) và (C2) có n điểm chung 
 * Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
VD9: Cho hàm số: y = 2x3 - 6x + 2 có đồ thị (C)
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau :
 	2x3 - 6x + 2 – m = 0 (1)
y = 2x3 - 6x + 2
 2x3 - 6x + 2 = m
y = m 
Số nghiệm của phương trình (1) chính
 là số giao điểm của đồ thị (C) và 
 đường thẳng y = m
	Dựa vào đồ thị ta có:
 Nếu m 6 => ptrình có 1no
 Nếu -2 ptrình có 3no
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Khảo sát hàm số bậc 3
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng -1.
3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
ĐS: 2.; 3.
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình (*).
3. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm của (C) với Ox
ĐS: 2. hoặc m>0 (*) có 1 nghiệm 
 hoặc m=0 (*) có 1 nghiệm
 	 (*) có 3 nghiệm
 3. 
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
3. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
ĐS: 2. -5<m<1; 3. d: y=-3x+6
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm uốn.
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm cùa (C) với trục tung.
ĐS: 2. d: y=-4x+2
2. Khảo sát hàm số trùng phương
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 
	ĐS: 2. m > 4 phương trình vn
	m = 4 phương trình có 2 nghiệm
	3<m<4 phương trình có 4 nghiệm
	m = 3 phương trình có 3 nghiệm
	m< 3 phương trình có 2 nghiệm
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình .
ĐS: 2. phương trình có 2 nghiệm
	 phương trình có 3 nghiệm
	 phương trình có 4 nghiệm
	 phương trình có 2 nghiệm
 phương trình vô nghiệm
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 
Viết phương trình tiếp tuyến d với (C ) tại điểm có hoành độ bằng -2.
ĐS: 2.m>2 pt có 2 ngh pb
	m=2 phương trình có 3 nghiệm
	0<m<2 phương trình có 4 nghiệm 
	m=0 phương trình có 2 nghiệm
	m<0 phương trình vô nghiệm
 3. d: y = -48x-78
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 2m.
	ĐS: 2. m>0 phương trình có 2 nghiệm
m=0 phương trình có 1 nghiệm
m<0 phương trình vô nghiệm
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
3. Tinh thể tích vật thể khi cho hình phẳng giới hạn bời (C) và hai đường thẳng x=0, x=1
 xoay quanh trục Ox.	ĐS: 	2. -1<m< 0
3. 
3. Khảo sát hàm số hữu tỉ
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạnbời (C)và hai đường thẳng x= -3, x= -1.
ĐS: 2. 
 3. 
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm cùa (C) với trục Ox.
ĐS: 2. 
hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng -3.
3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bời (C), đường thẳng x=-5 và Ox.
ĐS: 2. 
3. 
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2 .
3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bời (C), đường thẳng x=2 và x = 4.
ĐS: 2. 
3. 
Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có tung độ bằng -2.
3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ), và hai trục tọa độ.
ĐS: 2. 
S=2ln2-1
Giáo án dạy thực nghiêm
 Tiết 15
 Ngày soạn : 08/9/2009
 Ngày dạy : 14 /9/2009
BÀI TẬP
§6. KHẢO SÁT HÀM SỐ
A – MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU
 1. Kiến thức:
Nắm vững sơ đồ khảo sát hàm số cách khảo sát hàm số bậc 4 trùng phương
 2. Kỹ năng:
Rèn kỹ năng làm bài toán khảo sát. Củng cố cách làm các bài toán ứng dụng của đạo hàm, kỹ năng tính toán vẽ đồ thị
 3. Tư duy, thái độ
Rèn luyện tư duy loogic, tính cẩn thận và chính xác cho học sinh
B – CHUẨN BỊ
 1. Thầy giáo:
Giáo án, đồ dùng dạy học
 2. Học sinh:
Các kiến thức về ứng dụng của đạo hàm
C – TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:
 1. Tổ chức:
12A1: 12A4: 
 2. Khởi động/Bài mới (10’)
Nêu các bước khảo sát hàm số bậc 4?
3. Hđ1 : Giải BT3
- Mục tiêu: HS biết khảo sát và vê đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương (20’)
- Cách tiến hành:
NỘI DUNG
THẦY
TRÒ
Bài 3 Khảo sát hàm số
*D=R
*Sự biến thiên: Ta có:
y’>0 HSĐB
y’< 0 HSNB
CH: Tìm D=?
CH: Xét chiều biến thiên của hàm số?
D=R
HS: Ta có: 
*Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại 
 Hàm số đạt cực tiểu tại x=0
CH: Tìm cực trị của hàm số?
 HS: Hàm số đạt cực đại tại 
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0
*Tính lồi lõm:y’’=-6x2 +2
CH: Xét dấu y’’? kết luận về tính lồi lõm của đồ thị ?
CH: Tính toạ độ các điểm uốn?
HS: Đồ thị h/số lõm trênvàlồi rên
HS tính toán và đọc kết quả
*Giới hạn:
*Bảng biến thiên
CH: Tính các giới hạn ?
HD: Lập bảng biến thiên
HS: Ta có:
x -1 0 1 
y' + 0 - 0 + 0 -
y 
Đồ thị :
CH: Tìm các giao điểm?
Hướng dẫn vẽ đồ thị
HS:Giaođiểm với 0y: A(0;1)
Giao điểm với Ox:
Bài 4 Cho hàm số
a/Khảo sát hàm số khi m=1
b/Tìm m để đồ thị cắt 0x tại 4 điểm phân biệt
a/yêu cầu HS tự làm
HS khảo sát hàm số theo các bước đã học
b/ Đặt x2 =t (t > 0) Ta có PT:
y=mt2 +2(2-m)t -m-4 (*)
Để đồ thị cắt 0x tại 4 điểm phân biệt thì PT(*) phải có 2 nghiệm dương:
CH: Để đồ thị cắt 0x tại 4 điểm phân biệt cần ĐK gì?
HD: Giải hệ PT tìm giá trị của m
HS: PT(*) phải có 2 nghiệm dương
HS: Giải hệ PT tìm giá trị của m
 4. Củng cố:
Cách khảo sát hàm số bậc 3 bậc 4.
 5. Dặn dò:
Đọc phần khảo sát hàm số phân thức.
Phần III: KẾT LUẬN
1. Kết luận
Sau khi nghiên cứu và thực hiện đề tài sáng kiến kinh nghiệm trên đối tượng học sinh đã nêu, tôi nhận thấy nhiều học sinh đã biết cách vẽ đồ thị của hàm số.
Tuy nhiên do đặc thù vùng miền và do phương pháp giảng dạy của giáo viên còn chưa bám sát được các đối tượng học sinh nên việc ứng dụng của đề tài chưa thực sự mang lại hiệu quả cao.
Tôi mong muốn được sự quan tâm, đóng góp ý kiến của các đồng chí trong tổ Toán – Lí – Tin – CN và đặc biệt là nhóm giáo viên Toán để nội dung của đề tài
được hoàn thiện hơn, được ứng dụng rộng rãi và mang lại hiệu quả cao hơn.
2. Tài liệu tham khảo
- Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2008 – 2009- NXB.Giáo dục
- Chuyên đề Toán THPT Giải tích 12 (Vũ Thế Hựu – Trân Chí Hiếu 
 NXB.Giáo dục)
- Các bài Toán về hàm số- G.S Phan Huy Khải – NXB Hà Nội