Đề tài Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian

Kiến thức
Trang
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
4
Mục đích nghiên cứu
5
Đối tượng ngiên cứu
5
Giới hạn của đề tài
5
Nhiệm vụ của đề tài
5
Phương pháp nghiên cứu
5
Thời gian nghiên cứu
6
NỘI DUNG 
Cơ sở lí luận 
7
Cơ sở triết học
7
Cơ sở tâm lí học
7
Cơ sở giáo dục học
8
Thực trạng của đề tài
8
Thời gian và các bước tiến hành
8
Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học
8
Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên
8
Giải quyết vấn đề
9
Tóm tắt lí thuyết
9
Vectơ trong không gian
9
Tích vô hướng của hai vectơ
12
Quy trình giải một bài toán bằng phương pháp vectơ
12
Bài tập áp dụng
13
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
32
Kết quả 
32
Kết luận
32
Khuyến nghị
33
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới”
“Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề”
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Sách giáo khoa toán là tài liệu chính thống được sử dụng trong nhà trường phổ thông.
Thực tế trong nhà trường THPT ở vùng cao, vùng sâu hiện nay chất lượng học tập của học sinh còn thấp. Các em chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương trình phân hoá học sinh. Nhà trường PT chưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi, học sinh yếu kém phát triển nhận thức phù hợp với từng đối tượng học sinh. Học sinh hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn. Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy học theo phương pháp mới. Đặc biệt lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với học sinh vùng sâu vùng xa.
Có lẽ ai cũng nhận thấy điều đó, đội ngũ giáo viên đang trực tiếp giảng dạy, các cấp lãnh đạo, các ngành đã làm gì để khắc phục tình trạng đó. Theo tôi đây là vấn đề bức xúc nóng bỏng còn đang tồn tại, sẽ tồn tại nếu ta không có giải pháp hợp lí.
Qua một năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học về hình học không gian việc giải bài tập học sinh gặp rất nhiều khó khăn về phương pháp giải, cách trình bày lời giải.
 	Vì vậy để giúp học sinh giải tôt bài tập phần hình học không gian tôi đã chọn đề tài “Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian”. 
2.Mục đích nghiên cứu:
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ có thể ứng dụng các kiến thức về véctơ để giải toán hình học không gian. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
3.Đối tượng ngiên cứu:
Các kiến thức về véc tơ và ứng dụng vào giải toán hình học không gian.
4.Giới hạn của đề tài:
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11, khối 12 và từ thực trạng của học sinh trường THPT Hồng Quang tôi chỉ tập chung vào vấn đề “Giúp đỡ học sinh ứng dụng các kiến thức về véc tơ để giải toán hình học không gian”.
5.Nhiệm vụ của đề tài:
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn hình học lớp 11,12(Các kiến thức về véc tơ, ứng dụng vào giải toán hình học không gian)
Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.
6.Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,).
Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS thông qua trao đổi trực tiếp).
Phương pháp thực nghiệm.
7.Thời gian nghiên cứu:
Năm học 2007-2008, 2008-2009
NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lí luận:
1 Cơ sở triết học:
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn.
2.Cơ sở tâm lí học:
Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục. Vì vậy GV cần phải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đã biết với tri thức của nhân loại. 
Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt 
Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về hình học không gian các em thường có tâm lí: bài tập trong phần này quá khó, hình vẽ không trực quan, không biết cách trình bày lời giải một bài toán như thế nào cho mạch lạc, dễ đọc.
Đặc biệt các kiến thức trong hình học phẳng các em quên nhiều, khó vận dụng vào việc giải bài tập trong không gian. Trong khi đó các kiến thức về véc tơ các em mới làm quen trong lớp 10, lượng kiến thức ít và khi ứng dụng vào việc giải bài tập hình học không gian nó giúp các em cảm thấy như mình đang làm một bài tập trong môn đại số (là môn học các em không có tâm lí sợ như môn hình học) 
3.Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng đối tượng học sinh.
Chương II: Thực trạng của đề tài:
1.Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2007-2008, 2008-2009
2.Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học:
Thông qua việc cho học sinh làm bài tập hình học không gian kết quả thu được có 15% học sinh có thể vẽ đúng hình và làm được một số ý đơn giản.
3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc tìm hướng giải một bài tập hình học không gian
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truyền tải kiến thức tới các em.Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động cơ học tập, nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh. Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học trong đời sống.
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán.
Chương III: Giải quyết vấn đề:
Khi cho học sinh khối 11,12 giải một số bài tập về hình học không gian tôi nhận thấy các em gần như không thể tự giải được một bài toán hoàn chỉnh. Óc tư duy hàm, suy luận lôgíc, khả năng khaí quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là khả năng tưởng tượng. Vì vậy học sinh còn lúng túng, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh. Để các em có thể giải một số bài toán hình học không gian tôi đưa ra phương pháp ứng dụng véc tơ vào giải toán. Phương pháp này giúp cho các em nhìn bài toán hình học không gian dưới một góc độ khác, đỡ phức tạp hơn và lời giải có thể đơn giản hơn.
Phần 1: Tóm tắt lí thuyết:
I: Vectơ trong không gian:
1: Các định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian:
1.1: Khái niệm vectơ
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là:
1.2: Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng:
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
1.3: Hai vectơ bằng nhau:
1.3.1: Độ dài vectơ:
Độ dài của vectơ là độ dài đoạn thẳng AB và kí hiệu là .
1.3.2: Hai vectơ bằng nhau:
Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài.
1.4: Vectơ – không:
Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.Kí hiệu là .
1.5: Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian:
1.5.1: Phép cộng vectơ:
1.5.1.1: Định nghĩa:
Cho hai véc tơ . Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ và . Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ . Ta kí hiệu tổng của hai vectơ là .
1.5.1.2: Một số quy tắc tính tổng hai vectơ:
1.5.1.2.1: Quy tắc ba điểm:
Cho ba điểm A, B,C bất kì ta có:.
1.5.1.2.2: Quy tắc hình bình hành:
Nếu ABCD là hình bình hành thì: .
1.5.1.2.3: Quy tắc hình hộp:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có .
1.5.1.3: Tính chất:
Với ba vectơ tuỳ ý ta có:
1.5.2: Phép trừ hai vectơ:
1.5.2.1: Vectơ đối:
Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơđược gọi là vectơ đối của vectơ và kí hiệu là -.
1.5.2.2: Phép trừ hai vectơ:
Cho hai vectơ và . Ta gọi hiệu của hai vectơ và là vectơ +(- ), kí hiệu là - .
Với ba điểm O,A,B tuỳ ý ta có: .
1.6: Tích của vectơ với một số:
1.6.1: Định nghĩa:
Cho số và vectơ . Tích của vectơ với số k là một vectơ kí hiệu là k, cùng hướng với vectơ nếu k>0, ngược hướng với nếu k<0 và có độ dài là .
1.6.2: Tính chất:
Với hai vectơ và bất kì, với mọi số h và k, ta có:
1.6.3: Một số ứng dụng:
1.6.3.1: Trung điểm của đoạn thẳng:
Điểm I là trung điểm đoạn thẳn ... n, kí hiệu là .
2: Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
Trong không gian, cho và là hai vectơ khác vectơ – không. Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là ., được xác định bởi công thức:
.
III. Quy trình giải một bài toán bằng phương pháp vectơ:
Chuyển dịch ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vectơ.
Phân tích một vectơ thành một tổ hợp vectơ
2.1: Chọn hệ vectơ cơ sở( Ba vecto không đồng phẳng)
2.2: Phân tích các yếu tố đầu bài theo hệ vectơ đã chọn.
3. Vận dụng các kiến thức về vectơ để biến đổi.
4. Từ kết quả có được dịch chuyển sang ngôn ngữ hình học và kết luận.
Phần II: Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a.Một mặt phẳng đi qua D’ song song với DA’ và AB’, cắt đường thẳng BC’ tại M. Tính độ dài đoạn thẳng D’M.
Giải:
Đặt : ; ; .
Theo giả thiết ta có ba véctơ đồng phẳng 
sao cho (*).
Mà: (1) 
 (2).
Vì sao cho (3).
Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được: 
Bài 2:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là điểm chia đoạn thẳng AC’ theo tỉ số m, N là điểm chia đoạn thẳng CD’ theo tỉ số n. Xác định m, n để đường thẳng MN song song với đường thẳng B’D.
Giải:
Đặt : ; ; .
M chia đoạn thẳng AC’ theo tỉ số m 
=.
Điểm N chia đoạn CD’ theo tỉ số n 
=.
Vậy với m=-3; n=-1 thì MN//B’D.
Bài 3:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Trên các đường chéo BD và AD’ của các mặt bên lần lượt lấy hai điểm M, N thay đổi sao cho DM = AN = x . Chứng minh rằng MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Đặt Ta có:
Đặt ta có: 
Do đó ba véc tơ đồng phẳng nghĩa là đường thẳng MN luôn luôn song song với mp(BCD’A’) của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Bài 4:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a,
1. Chứng minh DB’BC’ và tính độ dài đường vuông góc chung của DB’ và BC’.
2. Khối tứ diện đều MNPQ có M, N nằm trên DB’ và P, Q nằm trên BC’. Tính thể tích khối tứ diện đó.
3. Điểm I thuộc B’C’ và K thuộc BB’ sao cho 3IB’ = 2IC’ và 3KB=2KB’. Tính góc tạo hai đường thẳng DK và BI.
4. Điểm T thuộc AA’, S thuộc A’D’ sao cho TA’=2TA và SD’ = 2SA’. L và R là hai điểm di động trên cạnh D’C’ và CC’ sao cho D’L=C’R. Xác định vị trí của L và R để góc tạo bởi TL và SR là 600. Chứng minh TL và SR chéo nhau.
Giải:
Đặt Ta có .
1. 
Do đó: =0
.
Giả sử EF là đường vuông góc chung của DB’ và BC’ .
EF là đường vuông góc chung của DB’ và BC’
Vậy 
2. Khối tứ diện đều MNPQ nhận E, F là trung điểm của MN và PQ. Gọi x là độ dài của cạnh của tứ diện đều. Ta có:
EP2=EF2+PF2.
Vậy thể tích của khối tứ diện MNPQ là: 
3. 
Vậy góc tạo bởi BI và DK là 900.
4. Ta có: .
Từ đó suy ra:
Mà 
Vậy thì góc tạo bởi TL và SR bằng 600.
Giả sử TL và SR không chéo nhau thì T, L, S, R cùng nằm trên một mặt phẳng đồng phẳng tức là 
Mà: .
Thay vào (*) ta được:
Hệ phương trình trên vô nghiệm nên không có x,y thoả mãn (*). Vậy TL và SR chéo nhau.
Bài 5:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a.
1. G là trọng tâm của tam giác A’BD, chứng minh rằng G nằm trên AC’, AG vuông góc với mp(A’BD), tính độ dài AG.
2. I và K lần lượt là trung điểm của A’D’ và BC, mp(P) chứa IK và cắt AA’ tại E, cắt C’D’ tại F, chứng minh A’E = D’F và EF IK tại O là trung điểm của EF.
3. Điểm M, N là hai điểm di động trên AD’ và DB sao cho AM=DN=x 
a. Tìm x để MN có độ dài lớn nhất, nhỏ nhất.
b. Chứng minh MN song song với mp(A’D’CB).
c. Chứng minh khi MN có độ dài nhỏ nhất thì MN//A’C.
d. Tìm tập hợp các trung điểm của MN.
Giải:
Đặt Ta có .
1. Vì G là trọng tâm của .
Mặt khác: 
Ta có:
Từ (1) và (2) .
.
2. Vì .
Vì .
Ba véc tơ đồng phẳng nên sao cho .
Ta có:
Thay vào (*) ta được:
Do đó: 
Vậy A’E=D’F.
Tam giác EIF cân tại I nên O là trung điểm của EF.
3.
a) 
Mà 
 và 
Xét 
Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng 
0 1
 - 0 +
1 3 
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Vậy: 
MN lớn nhất khi =1 tức là: 
MN nhỏ nhất khi = tức là: 
=1 thì 
= thì 
Vậy:
 thì MN có độ dài lớn nhất là 
 thì MN có độ dài nhỏ nhất là 
b) Ta có:
Vậy đồng phẳng .
c) Khi MN nhỏ nhất thì 
Mà .
d) Kẻ MH//A’D’, NL//DA, T là trung điểm của đoạn thẳng MN..
.
HL cắt AB’ tại J và J là trung điểm của HL.
Tứ giác MNLH là hình thang, TJ là đường trung bình nên (véc tơ không đổi).
Do đó T là ảnh của J qua phép tịnh tiến theo véc tơ , mà tập hợp của J là đoạn thẳng AS với S là trung điểm của AB’. Vậy tập hợp của T là đoạn A”S” trong đó A” là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc tơ nên A” là trung điểm của AD, S” là ảnh của S qua phép tịnh tiến theo véc tơ nên S” là tâm của hình lập phương. 
Bài 6:
Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh dài bằng 1, trên phần kéo dài về phía D của cạnh AD chọn một điểm M sao cho AM=. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh A’B’ và DD’. Tỉ số đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu khi P, Q lần lượt nằm trên các đoạn AE và CF. 
Giải:
Đặt Ta có .
.
Mà:.
Vậy: 
Dấu “=” xảy ra thoả mãn .
Tỉ số đạt giá trị lớn nhất đạt giá trị lớn nhất.
Vì nên 
Đặt với 
Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng 
 0 1 
 + 0 -
 2
Từ bảng biến thiên ta thấy thì đạt giá trị lớn nhất là 2.
Do đó đạt giá trị lớn nhất bằng 2 đạt giá trị lớn nhất bằng.
Vậy giá trị lớn nhất bằng.
Bài 7:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a. Tính bán kính mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc với các đường thẳng AB’, B’C, CD và DA.
Giải:
Gọi . Ta có và cắt nhau theo giao tuyến B’I , B’I là phân giác của . Do đó tập hợp các điểm cách 
đều hai cạnh của là . 
Tương tự ta có tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của là .
Kẻ CE là phân giác của , ta có .
Kéo dài B’B về phía B một đoạn BT = BB’=a thì (1)
(2) ( vì ).
Từ (1) và (2) và cắt nhau theo giao tuyến là CE (phân giác của ). Do đó tập hợp các điểm cách đều CD và CB’ là . nên tập hợp các điểm cách đều AB’, B’C, AD, DC là đường thẳng TE. Kẻ thì OK là bán kính mặt cầu tiếp xúc với các đường thẳng AB’, B’C, CD và DA. Tìm độ dài ngắn nhất của OK tương đương với việc tìm độ dài đường vuông góc chung của OK của hai đường thẳng TE và AD.
Đặt Ta có .
Vì và nên . Đặt .
Mà 
. .
Vì .
Vì .
Ta có:
Vì KO là đườn vuông góc chung của AD và TE nên: 
Ta thấy cả và đều thoả mãn điều kiện .
Vậy 
Do đó bán kính mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc với các đường thẳng AB’, B’C, CD và DA là .
Bài 8:
Cho tứ diện đều ABCD, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là trọng tâm của tam giác BCD.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng MG và NP.
b) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng MG và NP chéo nhau.
Giải:
Giả sử hình chóp có cạnh bằng 1.
Đặt 
a) Ta có:
Ta có 
Ta có 
Mà: 
Vậy 
b) Giả sử 3 véc tơ đồng phẳng 
Ta có: 
Hệ phương trình trên vô nghiệm. Vậy ba véc tơ không đồng phẳng MG và NP chéo nhau.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA=, M nằm trên cạnh SB sao cho 3MB =MS, I thuộc cạnh SD sao cho 4IS=3ID. mp (AMI) cắt SC tại N.
a) Chứng minh N là trung điẻm của SC.
b) Chứng minh SD vuông góc với mp(AMI).
c) Chúng minh .
d) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mp(AMI) và hình chóp S.ABCD.
Giải:
Đặt Khi đó 
a) 
Mặt khác ta có: đồng phẳng sao cho 
Mà: 
Thay vào (1) ta được:
Vậy là trung điểm của SC.
b) Ta có: 
(2)
(3)
Từ (2) và (3) .
c) Ta có 
Ta có: 
.
d) Thiết diện tạo thành khi cắt hình chóp S.ABCD bởi mp(AMI) là tứ giác AMNI.
Ta có: Diện tích của tứ giác AMNI = diện tích của tam giác AMN + diện tích tam giác ANI.
Diện tích của tam giác AMN là: 
Diện tích của tam giác ANI là: 
Ta có:
Vây: 
Diện tích tứ giác AMNI là .
Bài 10: (16)
Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a, I, K làn lượt là trung điểm của cạnh AB, CD, mp(P) chứa IK cắt hình tứ diện đều theo một thiết diện xác định vị trí của mp(P) để thiết diện tạo thành có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đó.
Giải:
Ta thấy nếu mp(P) cắt cạnh BC tại E thì nó cắt cạnh AD tại F và thì .
+) Nếu =0 thì thiết diện là 
+) Nếu =1 thì thiết diện là .
+) Nếu thì thiết diện là tứ giác IEKF .
Đặt Ta có 
Vậy: 
Diện tích tứ giác IEKF là: 
Mà:
Ta thấy mà IK không đổi nên phụ thuộc vào độ dài EF hay dựa vào độ dài .
Đặt: 
Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn 
 0 1 
 - 0 +
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của là khi =0 hoặc =1; giá trị nhỏ nhất của là khi =.
Vậy: Với = thì thiết diện có diện tích nhỏ nhất là: 
Với=0 hoặc =1 thì thiết diện có diện tích lớn nhất là: .
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1.Kết quả
Áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 11 tôi đã thu được kết quả như sau (kết thúc học kì II năm học 2008-2009).
Trên trung bình: 60%
Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy hứng thú hơn với môn hình học, không bị áp lực phải ngồi học trong các giờ hình học, tạo được niềm tin và sự hứng thú trong học tập .
2.Kết luận:
Qua thời gian nghiên cứu đề tài và vận dụng đề tài vào giảng dạy tôi rút ra được một số ý kiến sau:
Giáo viên: 
Tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung môn học. Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn và người học thấy được ý nghĩa của môn học.
Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri thức của HS, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong tình huống đa dạng
Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển nhân cách của các em.
Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp.
Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em không cảm thấy áp lực trong học tập.
Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh.
Cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành.
Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh.
Học sinh:
Chăm chỉ nắm chắc lý thuyết.
Có ý thức học tập, hiểu vấn đề một cách sâu sắc.
Biết chuyển ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Toán.
Có óc tưởng tượng, phán đoán lôgíc.
3. Khuyến nghị:
Nhà trường nên tạo điều kiện cho Giáo viên mở lớp bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, phụ đạo cho học sinh yếu để các em có khả năng tìm hiểu sâu hơn kiến thức.
Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng thắn với nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình.
Hồng Quang, tháng 3 năm 2010
Người viết
 Nguyễn Trọng Nghĩa
	TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa hình học lớp 11.
Sách giáo viên hình học lớp 11.
Để học tốt hình học lớp 11 .
Sách hướng dẫn giảng dạy hình học lớp 11.
Phương pháp dạy học môn toán.
Một số vấn đề phát triển hình học 11.
Sách chuyên đề nâng cao hình học THPT.
Tạp chí giáo dục và thời đại.
Tạp chí toán học tuổi trẻ.
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ