Đề số 48 Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2010 môn: Toán. khối A, B

 1 
KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 
 Môn: Toán. Khối A, B. 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 07 điểm ) 
 Câu I ( 2,0điểm) Cho hàm số    4 2 22 2 5 5y f x x m x m m       
 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1 
 2/ Tìm các giá trị của m để ®å thÞ hµm sè có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. 
 Câu II(2.0điểm) 1/ Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
    

 
 2/ Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh : )3(log53loglog 24
2
2
2
2  xxx 
 Câu III (1.0 điểm) T×m );0( x tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh: cot x - 1 = xx
x
x 2sin
2
1sin
tan1
2cos 2 

. 
 Câu IV(1.0 điểm) Tính tích phân : 
2
2
0
I cos cos 2x xdx

  
 Câu V(1.0 điểm) Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a, BC = 
2
a
 , 3aSA  ,   0SAB SAC 30  . 
 Gäi M lµ trung ®iÓm SA , chøng minh ( )SA MBC . TÝnh SMBCV 
PHẦN RIÊNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRÌNH ( 03 điểm ) 
(Thí sinh chỉ chọn một trong hai chương trình Chuẩn hoặc Nâng cao để làm bài.) 
A/ Phần đề bài theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: (2.0điểm) 
 1, Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy choABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2 1 0x y   và 
phân giác trong CD: 1 0x y   . Viết phương trình đường thẳng BC. 
 2, Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + a15x15 
 a) Tính S = a0 + a1 + a2 + a3 + + a15 
 b) Tìm hệ số a10. 
Câu VII.a: (1,0điểm) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng 
 (P): 2x - y + z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P). 
 B/ Phần đề bài theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: (2 điểm) 
 1, Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo 
nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.. 
 2, Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + a15x15 
 a) Tính S = a0 + a1 + a2 + a3 + + a15 
 b) Tìm hệ số a10. 
 Câu VII.b: (1.0 điểm) Cho hàm số y =  

2 2 2 
1
x x
x
 (C) vµ d1: y = x + m, d2: y = x + 3. 
 Tìm tất cả các giá trị của m để (C) cắt d1 tại 2 điểm phân biệt A,B đối xứng nhau qua d2. 
 ******* HÕt ******* 
 2 
®¸p ¸n 
Câu ý H­íng dÉn gi¶i chi tiÕt §iÓm 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 7.00 
Câu I 2 
1 Cho hàm số     5522 224  mmxmxxf ( C ) 
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 
1 
1* TXĐ: D = R 
2* Sù biÕn thiªn của hàm số: 
 * Giíi h¹n tại v« cực:   

xf
x
lim :   

xf
x
lim 
0.25 
 * B¶ng biÕn thiªn:    1444'' 23  xxxxyxf 
 1;1;00'  xxxy 
 x -∞ -1 0 1 +∞ 
 y’ - 0 + 0 - 0 + 
 y +∞ 1 +∞ 
 0 0 
 Hµm sè ®ång biến trªn mỗi kho¶ng  0;1 vµ  ;1 , nghịch biến 
 Trªn mỗi khoảng  1; và  1;0 
Hàm số đạt cực tiểu tại 0;1  CTyx , đạt cực đại tại 1;0  CDyx 
0.5 
3* §å thÞ: 
 * Điểm uốn: 412'' 2  xy , các điểm uốn là: 















9
4;
3
3,
9
4;
3
3
21 UU 
 * Giao điểm với các trục toạ độ: A(0; 1), B(-1;0) và C(1; 0) 
 * Hàm số là chẵn trên R nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng 
 * Đồ thị: 
8
6
4
2
-2
-4
-5 5
0.25 
2 
Tìm các giá trị của m để (C) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác 
vuông cân. 1 
* Ta có    3 2
0
' 4 4 2 0
2
x
f x x m x
x m

     
 
 0.25 
* Hàm số có CĐ, CT khi f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu : 
 m < 2 (1) . Toạ độ các điểm cực trị là: 
      mmCmmBmmA  1;2,1;2,55;0 2 
0.5 
* Do tam giác ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi vuông tại A: 
  1120. 3  mmACAB vì đk (1) 
 Trong đó    44;2,44;2 22  mmmACmmmAB 
Vậy giá trị cần tìm của m là m = 1. 
0.25 
Câu II 2 
 3 
1 
Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
    

 
 1 
* Điều kiện: | | | |x y 
Đặt 
2 2 ; 0u x y u
v x y
   

 
; x y  không thỏa hệ nên xét x y  ta có 
21
2
uy v
v
 
  
 
. Hệ phương trình đã cho có dạng: 2
12
12
2
u v
u uv
v
 

 
  
 
0.25 
4
8
u
v

 

 hoặc 
3
9
u
v



 + 
2 24 4
8 8
u x y
v x y
  
 
   
(I) + 
2 23 3
9 9
u x y
v x y
  
 
   
(II) 
0.25 
Giải hệ (I), (II). 0.25 
Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu 
là     5;3 , 5;4S  0.25 
2 Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh : )3(log53loglog 24
2
2
2
2  xxx 1 
§K: 





03loglog
0
2
2
2
2 xx
x
BÊt ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi 
)1()3(log53loglog 2
2
2
2
2  xxx 
®Æt t = log2x, 
BPT (1) )3(5)1)(3()3(5322  tttttt 
0.25 
 






















4log3
1log
43
1
)3(5)3)(1(
3
1
2
2
2 x
x
t
t
ttt
t
t
 0.5 







168
2
10
x
x
 VËy BPT ®· cho cã tËp nghiÖm lµ: )16;8(]
2
1;0(  0.25 
Câu III 
T×m );0( x tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh: 
 Cot x - 1 = xx
x
x 2sin
2
1sin
tan1
2cos 2 

. 1 
 §K: 











1tan
02sin
0cossin
02sin
x
x
xx
x
Khi ®ã pt xxx
xx
xx
x
xx cossinsin
sincos
cos.2cos
sin
sincos 2 



 
 xxxxxx
x
xx cossinsincossincos
sin
sincos 22  
0.25 
 4 
  )2sin1(sinsincos xxxx  
  0)1sincos)(sinsin(cos 2  xxxxx 
0.25 
  0)32cos2)(sinsin(cos  xxxx 
  0sincos  xx  tanx = 1 )(
4
Zkkx   (tm) 
  
4
0;0   xkx 
KL: 
0. 5 
Câu IV 
Tính tích phân : 
2
2
0
I cos cos 2x xdx

  1 
2 2 2
2
0 0 0
1 1I cos cos 2 (1 cos 2 )cos 2 (1 2cos 2 cos 4 )
2 4
x xdx x xdx x x dx
  
        
0.5 
 /20
1 1( sin 2 sin 4 ) |
4 4 8
x x x      0.5 
Câu V 
Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a, BC = 
2
a
 , 3aSA  ,   0SAB SAC 30  . 
 Gäi M lµ trung ®iÓm SA , chøng minh ( )SA MBC . TÝnh SMBCV 
1 
Theo ®Þnh lÝ c«sin ta cã: 
2 2 2 2 2 0 2SB SA AB 2SA.AB.cosSAB 3a a 2.a 3.a.cos30 a       
Suy ra aSB  . T­¬ng tù ta còng cã SC = a. 
0.25 
Gäi M lµ trung ®iÓm cña SA , do hai tam gi¸c SAB vµ SAC lµ hai tam gi¸c c©n nªn 
MB  SA, MC  SA. Suy ra SA  (MBC). 0.25 
Hai tam gi¸c SAB vµ SAC cã ba cÆp c¹nh t­¬ng øng b»ng nhau nªn chóng 
b»ng nhau. Do ®ã MB = MC hay tam gi¸c MBC c©n t¹i M. Gäi N lµ trung ®iÓm cña 
BC suy ra MN  BC. T­¬ng tù ta còng cã MN  SA. 
16
a3
2
3a
4
a
aAMBNABAMANMN
2
22
2222222 













4
3a
MN  . 
0.25 
Do ®ã 
3
.
1 1 1 3 3. . . .
3 2 6 2 4 2 32S MBC
a a a aV SM MN BC   (®vtt) 0.25 
 PHẦN RIÊNG CHO MỖI CHƯƠNG TRÌNH 3.00 
 Phần lời giải bài theo chương trình Chuẩn 
S 
A 
B 
C 
M 
N 
 5 
Câu VIa 2 
1 Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy choABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 
2 1 0x y   và phân giác trong CD: 1 0x y   . Viết phương trình đường 
thẳng BC. 
1 
Điểm  : 1 0 ;1C CD x y C t t      . 
Suy ra trung điểm M của AC là 1 3;
2 2
t tM    
 
. 
 1 3: 2 1 0 2 1 0 7 7;8
2 2
t tM BM x y t C               
 
0.25 
0.25 
Từ A(1;2), kẻ : 1 0AK CD x y    tại I (điểm K BC ). 
 Suy ra    : 1 2 0 1 0AK x y x y        . 
Tọa độ điểm I thỏa hệ:  
1 0
0;1
1 0
x y
I
x y
  

  
. 
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK  tọa độ của  1;0K  . 
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1 4 3 4 0
7 1 8
x y x y     
 
0.25 
0.25 
2 Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + a15x15 
 a) Tính S = a0 + a1 + a2 + a3 + + a15 
 b) Tìm hệ số a10. 
1 
Ta có P(1) = a0 + a1 + a2 + a3 + + a15 = (1 + 1 + 1 + 1)5 = 45 
 0.25 
Ta có P(x) = [(1 + x)(1 + x2)]5=  
5 5 5 5
2 2
5 5 5 5
0 0 0 0
.
ik k i k i k i
k i k i
C x C x C C x 
   
   
Theo gt ta cã
3
4
2 10
4
0 5,
2
0 5,
5
0
i
k
k i
i
k k N
k
i i N
i
k
 
         
    
 
 a10= 0 5 2 4 4 35 5 5 5 5 5. . . 101C C C C C C   
0.25 
 0.5 
CâuVII.a Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x 
- y + z + 1 = 0.Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P). 
 6 
Gäi (Q) lµ mÆt ph¼ng cÇn t×m 
Ta có AB ( 2,4, 16)  

 cùng phương với   

a ( 1,2, 8) 
 mp(P) có VTPT  

1n (2, 1,1) 
0.25 
Ta có 
 
[ n ,a] = (6 ;15 ;3) , Chän VTPT cña mÆt ph¼ng (Q) lµ 

2n (2,5,1) 0.5 
Mp(Q) chứa AB và vuông góc với (P) ®i qua A nhËn 

2n (2,5,1) lµ VTPT cã pt 
lµ: 2(x + 1) + 5(y  3) + 1(z + 2) = 0 2x + 5y + z  11 = 0 
0.25 
 Phần lời giải bài theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b 2 
1 Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I 
của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.. 1 
 Ta có: 
 1;2 5AB AB   

. 
Phương trình của AB là: 
2 2 0x y   . 
   : ;I d y x I t t   . I là 
trung điểm của AC và BD nên 
ta có: 
   2 1;2 , 2 ;2 2C t t D t t  . 
0.5 
Mặt khác: D . 4ABCS AB CH  (CH: chiều cao) 
4
5
CH  . 
Ngoài ra:  
   
4 5 8 8 2; , ;| 6 4 | 4 3 3 3 3 3;
5 5 0 1;0 , 0; 2
t C Dtd C AB CH
t C D
                
    
Vậy tọa độ của C và D là 5 8 8 2; , ;
3 3 3 3
C D      
   
 hoặc    1;0 , 0; 2C D  
0.25 
0.25 
2 Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + a15x15 
 a) Tính S = a0 + a1 + a2 + a3 + + a15 
 b) Tìm hệ số a10. 
1 
Ta có P(1) = a0 + a1 + a2 + a3 + + a15 = (1 + 1 + 1 + 1)5 = 45 
 0.25 
Ta có P(x) = [(1 + x)(1 + x2)]5=  
5 5 5 5
2 2
5 5 5 5
0 0 0 0
.
ik k i k i k i
k i k i
C x C x C C x 
   
   
Theo gt ta cã
3
4
2 10
4
0 5,
2
0 5,
5
0
i
k
k i
i
k k N
k
i i N
i
k
 
         
    
 
 a10= 0 5 2 4 4 35 5 5 5 5 5. . . 101C C C C C C   
0.25 
0.25 
CâuVII.b 
Cho hàm số y =  

2 2 2 
1
x x
x
 (C) vµ d1: y = x + m, d2: y = x + 3. Tìm tất cả các 
giá trị của m để (C) cắt d1 tại 2 điểm phân biệt A,B đối xứng nhau qua d2. 
1 
 7 
* Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (C) vµ d1 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : 
 
  

2 2 2
1
x x x m
x
 2x2 -(3+m)x +2+m=0 ( x≠1) (1) 
 d1 c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt  p tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 1 
 
    

  
2
2 3 2 1
2 7 0
m m
m m
 m2-2m-7>0 (*) 
0.5 
 Khi ®ã(C) c¾t (d1)t¹i A(x1; -x1+m); B(x2; -x2+m) ( Víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña (1) ) 
* d1 d2 theo gi¶ thiÕt  §Ó A, B ®èi xøng nhau qua d2  P lµ trung ®iÓm cña AB 
Th× P thuéc d2 Mµ P(
 
 1 2 1 2;
2 2
x x x x
m )  P(  3 3 3;
4 4
m m
) 
 VËy ta cã 
 
   
3 3 3 3 9
4 4
m m m ( tho¶ m·n (*)) 
VËy m =9 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. 
0.5 
Chó ý : - Häc sinh lµm c¸ch kh¸c ®óng cho ®iÓm tèi ®a tõng phÇn 
= = = = = == = = HÕt = = = = = = = =