Đề số 4 Thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 2010 môn toán

Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 (TCT) Page 1 
ĐỀ THAM KHẢO THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010 
 SỐ 04 Môn TOÁN 
 Thời gian làm bài: 180 phút 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I ( 2.0 điểm ) Cho hàm số 3 2 4y x mx    (1), với m là tham số thực 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi 3m  
2. Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) và điểm  1;10M thẳng hàng. 
+ 2' 3 2y x mx   
+ đồ thị hàm số (1) có cực trị ' 0y  có hai nghiệm phân biệt 0m  
+ Khi đó hai điểm cực trị là  0; 4A  và 
32 4 108
;
3 27
m m
B
 
 
 
+ A, B, M thẳng hàng ,AB AM
 
 cùng phương 
3 7
3 7
m
m
 
 
 
Câu II ( 2.0 điểm ) 
1. Giải phương trình 2sin 1 tan .tan 1 sin 2
2
x
x x x
 
   
 
 (1) 
+ ĐK:  cos .cos 0 2
2
2
x kx
x k
x k


 

 
  
  
 
+ Khi đó (1)  2
2 tan
2 tan sin 2 1 2 tan 1 tan 1
1 tan 4
x
x x x x x k k
x

           

 
2. Giải phương trình  7 3log log 2x x  (1) 
+ ĐK: 0x  . Đặt 
7logt x 7
tx  . Từ (1)  3log 2 2 3tx t x      
+ Khi đó ta có: 
7 1
2 1
3 3
t t   
        
. (2) 
+ 
7 1
( ) 2
3 3
t t
f t
   
        
 là hàm số nghịch biến trên  , 
2 2
7 1
(2) 2 1
3 3
f
   
         
+ Vậy (2) có một nghiệm duy nhất 2t  . Suy ra 27 49x   
Câu III ( 1.0 điểm ). Tính tích phân 
2
2
1 8
dx
I
x x


 
 + Ta có   
2 2
2 2 2
1 1
 1;2
8 8
dx xdx
I do x
x x x x
  
 
  
 + Đặt 2 8t x  
 + KQ:   2 ln 5 2 6 3 2 2
8
I    
 
Câu IV ( 1.0 điểm ). 
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A. Biết khoảng cách từ đường thẳng 
AA’ đến mặt phẳng (BB’C’C) bằng a, khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABC’) bằng b và góc giữa hai mặt 
phẳng (ABC’) và (ABC) bằng  . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a, b và  . 
 + Xác định  : ' , ' 0
2
AC AB AC AB C AC

 
 
      
 
Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 (TCT) Page 2 
 + Trong (ABC), kẻ  AH BC H BC  ( ' ' )AH BB C C  và AH a 
 + Trong (AA’C’C), kẻ  ' 'CK AC K AC   'CK ABC  và CK b 
 + Từ đó ta có:  2 2 2' ; sin sin
cos sin
b b
C C AC AB b a b a 
 
      
 + Vậy 
3
. ' ' '
2 2 2sin 2 sin
ABC A B C
ab
V
b a 


Câu V ( 1.0 điểm ). 
 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 1 2 9 6x x x x m      (1) 
có hai nghiệm thực phân biệt. 
 + Ta có: (1)     
2 2
1 3 1 3x x m x x m         (2) 
 + ĐK: 0x  . Đặt , 0t x t  , ta có (2)  ( ) 1 3 , 0m f t t t t      . 
 + Dựa vào đồ thị của hàm số 
   

      
  
4 2 neáu 0 1
( ) 1 3 2 neáu 1 3
2 4 neáu 3
t t
f t t t t
t t
 và đường thẳng y m , ta có phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt  2 4m  
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần 1 hoặc phần 2). 
1. Theo chương trình Chuẩn: 
Câu VI.a ( 2.0 điểm ) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm  2;1A . Tìm tọa độ B, C sao cho tứ giác OABC là 
hình vuông. ( Biết O là gốc tọa độ ). 
+ Ta có 5OA  
+ Giả sử  ;B x y và do OABC là hình vuông, nên: 
 
   
2 2
2 2 1 0. 0
2 1 5
x yOA AB
OA AB x y
     
 
     
 
 (1) 
+ Giải hệ (1) ta được:        1 2 1 23; 1 , 1;3 1; 2 , 1;2B B C C    
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm  1;3;2A ,  1;2;3B  ,  2;0;1C  . Tìm tọa độ 
tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
+ Ta có: I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
( )I ABC
IA IB IC

 
 
 (1) 
+ Từ (1) tìm được 
1 7 11
; ;
2 4 4
I
 
 
 
Câu VII.a ( 1.0 điểm ) 
 Gọi M là điểm của mặt phẳng biểu diễn số phức 3 4z i  , M’ là điểm biểu diễn số phức 
1
'
2
i
z z

 . 
Tính diện tích tam giác OMM’ ( với O là gốc tọa độ ). 
 + Ta có 
1 5 5
5, '
2 2
i
OM z OM z

    
1 5 5
' '
2 2
i
MM OM OM z

    
  
 + Khi đó: 2 2 2' ' 'OM M O M M OMM   vuông tại M’ '
25
4
OMMS  
2. Theo chương trình Nâng cao: 
Câu VI.b ( 2.0 điểm ) 
Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 (TCT) Page 3 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): 2 24 16 64x y  và đường tròn (C) tâm 
 2 3;0I  bán kính 4R  . Gọi (C’) là đường tròn luôn luôn đi qua tiêu điểm F2 của (E), tiếp xúc ngoài với 
(C). Chứng minh rằng tâm I’ của (C’) nằm trên một hypebol cố định. Viết phương trình hypebol đó. 
+ Ta có  2 2 3;0F và (C’) qua F2 nên bán kính của (C’) là 2' 'R I F 
+ (C’) tiếp xúc ngoài với (C) 2 2' ' ' ' 4 ' ' 4II R R II I F II I F         
+ Vậy theo định nghĩa hypebol, ta có: 
 I’ thuộc hypebol (H) có hai tiêu điểm là I , F2 và độ dài trục thực là 4. Suy ra (H): 
2 2
1
4 8
x y
  
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  3;0; 2A  ,  1; 1;2B  và mặt phẳng (P) có phương 
trình 2 3 3 0x y z    . Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P), d là giao tuyến của (P) và 
(Q). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d. 
+ (Q) là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P)   :3 10 4 1 0Q x y z     
+ ( ) ( )d P Q  
11 7
5 5:
14 5 23
x z
y
d
 
  
 
+ Vậy  
1131
,( )
125
d O d  
Câu VII.b ( 1.0 điểm ) 
 Tìm số nguyên dương n sao cho 3 2 21 1 2
2
3
n n nC C A    . (1) 
 + ĐK: *, 4n n  
 + Ta có: (1) 
 
 
 
 
 
 
1 ! 1 ! 2 !2
3! 4 ! 2! 3 ! 3 4 !
n n n
n n n
  
   
  
 2
9
11 18 0
2
n
n n
n

      
 + So với điều kiện: 9n  thỏa mãn đề bài.