Đề số 03 Thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 2010 môn toán

Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 (TCT) Page 1 
ĐỀ THAM KHẢO THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010 
 SỐ 03 Môn TOÁN 
 Thời gian làm bài: 180 phút 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I ( 2.0 điểm ) Cho hàm số 4 2
1
2
4
y x mx m   (1), với m là tham số thực 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi 1m  
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác 
có diện tích bằng 32 2 (đvdt). 
+ 3' 4y x mx  , 
2
0
' 0
4
x
y
x m

  

+ đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị 0m  
+ Khi đó 3 điểm cực trị là  0;A m ,  22 ; 4B m m m  ,  22 ; 4C m m m và tạo thành tam giác 
cân tại A với 32 2ABCS  (2) 
+ Mà   2
1
. , 8
2
ABCS BC d A BC m m   (3), nên 
+ Từ (2) và (3) suy ra 2m  
Câu II ( 2.0 điểm ) 
1. Giải phương trình 2 2 2
1
sin sin 3 sin .sin 3
4
x x x x  (1) 
+ Biến đổi (1) thành  
2
2 1
2sin sin3 sin 6 0
2
x x x
 
   
 
22sin sin 3 0
sin 6 0
x x
x
  
 

 (2) 
+ Giải hệ (I), ta được:  
5
, 2 , 2
6 6
x k x k x k k
 
        
2. Giải phương trình 6 23 31 1 1x x x     (1) 
+ ĐK: 2
1
1 0
1
x
x
x

     
+ NX1: Nếu 0 1x  là nghiệm của (1) thì 0x cũng là nghiệm của (1). 
 Do đó ta chỉ cần xét (1) với 1x  
+ NX2: Với 1x  không là nghiệm của (1). Do đó ta chỉ cần xét 1x  
+ Với 1x  , ta có 6 2 1 0x   . Chia 2 vế cho 6 2 1x  , ta được: 
66
6 6 6
6
2
1
01 1 1 1 5 1 1 5
(1) 1 1
1 1 1 2 1 2
1 0
x
yx x x m
x mx
x x x m
y y
 
       
                    
+ Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là 
6
6
1 1 5
1 2
m
x m
m
  
      
Câu III ( 1.0 điểm ). 
 Tính tích phân 
ln5
ln 2 1 1
x
x
e
I dx
e

 
 
 + Đặt 1
xt e  
 + KQ: 
3
2 2ln
2
I   
Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 (TCT) Page 2 
Câu IV ( 1.0 điểm ). 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O và  060ABC  . Biết 
 SO ABCD và 
3
2
a
SO  . Gọi M là trung điểm AD, mặt phẳng (P) đi qua BM, song song với SA cắt 
SC tại K. Tính thể tích khối chóp K.BCDM . 
 + Gọi I là giao điểm của AC và MB 
 + Trong (SAC), kẻ IK // SA ( K CS ) và kẻ KH // SO ( H CA ). Suy ra  KH BCDM 
.
1
.
3
S BCDM BCDMV KH S  
 + Ta lại có: 
2 3
3 3
KH CK CI
HK a
SO CS CA
     
 + 
23 3 1 3 3
.
4 4 2 8
BCDM ABCD
a
S S AC BD     
3
.
3
8
S BCDM
a
V  
Câu V ( 1.0 điểm ). 
 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 1xyz  . Tìm giá trị ln của biểu thức 
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1
P
x y y z z x
  
     
 + Với , 0x y  ta có:    
2 3 3 ( )x y x y x y xy x y      . Dấu “ = ” xảy ra x y  
 + Ta lại có: 3 3 3 31 ( ) ( )x y x y xyz xy x y xyz xy x y z           
 + tương tự: 3 3 3 31 ( ) ( )y z y z xyz yz y z xyz yz x y z           
 3 3 3 31 ( ) ( )z x z x xyz zx z x xyz zx x y z           
 + Khi đó: 
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 ( ) ( ) ( )
P
x y y z z x xy x y z yz x y z zx x y z
      
           
 Dấu “=” xảy ra 1
1
x y z
x y z
xyz
 
    

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần 1 hoặc phần 2). 
1. Theo chương trình Chuẩn: 
Câu VI.a ( 2.0 điểm ) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm  4;5A . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 
A, có tâm thuộc trục hoành và cắt trục tung tại hai điểm M, N có độ dài 6MN  . 
+ Ta có: tâm I của (C) thuộc trục hoành  ( ;0)I a 
 
3
( ) ;
I Ox
OM ON
C Oy M N

  
 
 ( O là gốc tọa độ ) 2 2 2 2 9IM IO MO a     
+ Mặt khác: (C) đi qua A 4IA IM a    
+ Vậy (C):  
2 24 25x y   
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm  1; 1;0A  ,  3;3;2B và đường thẳng d có 
phương trình 
1 2
2 1 2
x y z 
 

. Tìm tọa độ điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh C. 
+ ABC cân tại C C thuộc mặt phẳng trung trực (P) của AB  ( )d P C  
+ Viết phương trình (P): 2 5 0x y z    
+ Khi đó: 
31 2
12 1 2
2 5 0 0
xx y z
y
x y z z
 
  
  
      
   3;1;0C 
Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 (TCT) Page 3 
Câu VII.a ( 1.0 điểm ) Giải phương trình 2 5 7 0x x   trên tập số phức  . 
 + Ta có 
1;2
5 3
3 0
2
i
x
 
      
2. Theo chương trình Nâng cao: 
Câu VI.b ( 2.0 điểm ) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh  1;0A và đường cao kẻ từ B, C 
lần lượt có phương trình là 2 1 0x y   và 3 1 0x y   . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC. 
+ Tìm tọa độ B, C: dùng tính chất 2 đường thẳng vuông góc. KQ:  5; 2 , ( 1;4)B C   
+ phương trình (C): 2 27 7 36 10 43 0x y x y     
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 1 0x my z    , (Q): 
2 2 0mx y z m    . Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau theo một giao tuyến d. Tìm m để d song song 
với mặt phẳng (R): 2 2 4 0x y z    . 
+ Ta có 1: : 1 : 2:1 ( ) ( )m m P Q d      
+ Khi đó: vectơ chỉ phương của (d) là  22; 1; 2du m m m     

, 
 vectơ pháp tuyến của (R) là  2;2; 1pn  

+ 
2
( ) . 0
2
d R
n
d R u n
n
 
    
 
∥ 
+ Thử lại ta được 2m  thỏa mản đề bài. 
Câu VII.b ( 1.0 điểm ) 
 Tìm các số nguyên n để số phức 
1 3
1 3
n
i
z
i
 
    
 là một số thực. 
 + Ta có: 
1 3 1 3 2 2
cos sin
2 2 3 31 3
i
i i
i
 
    

2 2 2 2
cos sin cos sin
3 3 3 3
n
n n
z i i
    
     
 
 + z là số thực 
2 3
sin 0
3 2
n k
n

    
 +  2 2 3n k k m n m m        