Đề kiểm tra Toán lớp 11 (Đề 13 & 14)

toán 11.14
1. Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi AC2 + BD2 = AD2 + BC2.
2. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = CD = AC = a và CD vuông góc với mặt phẳng (ABC). 
a) Tính góc giữa AD và BC.
	b) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
3. Cho hình tứ diện ABCD có BD vuông góc với CD, hình chiếu của D trên mặt phẳng (ABC) là trực tâm của tam giác ABC.
	a) Chứng minh rằng các cạnh DA, DB, DC vuông góc với nhau từng đôi một.
	b) Chứng minh rằng (AB + BC + CA)2 ≤ 6(AD2 + BD2 + CD2). Dấu bằng xảy ra khi nào?
	c) Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng các mặt của hình tứ diện DA’B’C’ bằng nhau.
4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Ba điểm M, N, P lần lượt di động trên các cạnh AB, DD’, B’C’ sao cho AM = D’N = B’P = x (0 ≤ x ≤ a). 
	a) Chứng minh rằng MNP là tam giác đều. 
b) Tính diện tích tam giác MNP theo a và x. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác đó.
	c) Chứng minh rằng khi x thay đổi, trọng tâm của tam giác MNP luôn luôn nằm trên đường thẳng A’C và mặt phẳng (MNP) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc không đổi.