Đề kiểm tra học kỳ 2 ( 2009 - 2010) môn toán lớp 12

Sở Giáo dục và Đào tạo 
 TP. Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 ( 2009-2010) 
 Môn Toán lớp 12 
 Thời gian làm bài : 120 phút 
 A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 ñiểm) 
Câu 1. (2,5 ñiểm) 
 Cho hàm số : )(
1
23 C
x
xy
+
+
= 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị )(C của hàm số. 
b) Tính diện tích hình phẳng (S) giới hạn bởi ñồ thị )(C , trục Ox , 
trục Oy và ñường thẳng x =1. 
 Câu 2.(1 ñiểm) Xét hình phẳng giới hạn bởi ñường cong 24 xy −= và 
trục Ox. Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn 
xoay ñược tạo nên. 
 Câu 3. (1,5 ñiểm) 
 Tính các tích phân : 
 a) I= ∫ +
1
0
2 1dxxx b) J= ∫
1
0
dx
e
x
x
 Câu 4. (2 ñiểm) 
 Trong không gian Oxyz, cho ñường thẳng (D) : 





−=
−=
+=
t1z
2t3y
t2x
 và ñiểm A(2 ; 1 ; 0). 
 a)Chứng minh ñiểm A không thuộc ñường thẳng ( D ).Viết phương 
 trình mặt phẳng (P) chứa A và ( D ). 
 b)Tìm tọa ñộ các ñiểm M thuộc ñường thẳng ( D ) cách ñiểm A một 
khoảng bằng 3. 
 B.PHẦN RIÊNG : ( 3 ñiểm) 
 Học sinh chỉ ñược làm một trong hai phần( phần I hoặc phần II) 
I)Theo chương trình chuẩn. 
 1) Giải các phương trình sau trong tập số phức: 
 a) 0432 =++ zz 
 b) 022 =+z 
 2) Trong không gian Oxyz, tìm tọa ñộ ñiểm H là hình chiếu vuông góc của 
ñiểm A( 2− ; 1; 3 ) lên ñường thẳng ( d) : 
2
1
21
3 +
=
−
=
− zyx
. 
 II)Theo chương trình nâng cao. 
 1) Tìm các số phức z trong mỗi trường hợp sau: 
 a) 02 =+ iz 
 b) 014 =+z 
 2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) ñi qua ñiểm 
 A(2 ; 3 ; 4) và tiếp xúc với mp(Oxy) tại ñiểm H(1 ; -2 ; 0) 
 HẾT 
ĐÁP ÁN 
 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 ( 2009-2010) 
 Môn Toán lớp 12 
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 ñiểm) 
Câu 1. (2,5 ñiểm) 
 Cho hàm số : )(
1
23 C
x
xy
+
+
= 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị )(C của hàm số. 
Tập xác ñịnh : }1{\R − 0,25 ñ 
Sự biến thiên. 
. chiều biến thiên : 1,0)1(
1
' 2 −≠∀>+
= x
x
y 0,25 ñ 
Hàm số ñồng biến trên các khoảng );1()1;( +∞−−−∞ và 0,25 ñ 
Hàm số không có cực trị 
Tiệm cận : 3
1
23
=
+
+
=
±∞→±∞→ x
xLimyLim
xx
1 1x x
Lim y và Lim y
− +→− →−
= +∞ = −∞ 0,25 ñ 
 Đường thẳng 3=y là tiệm cận ngang 
 Đường thẳng 1−=x là tiệm cận ñứng. 0,25 ñ 
Bảng biến thiên 
 - Điểm không xác ñịnh 
 - Dấu của ñạo hàm 
 - Chiều biến thiên 
 -Các giá trị của giới hạn 
 0,25 ñ 
 Đồ thị cắt trục Oy tại ñiểm ( 0 ; 2 ), cắt trục Ox tại ñiểm ( 
3
2−
 ;0) 
Vẽ ñồ thị . 
 Lưu ý: Giao ñiểm của hai tiệm cận là tâm ñối xứng của ñồ thị.
 0,25 ñ 
b)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị )(C , trục Ox và trục 
Oy và ñường thẳng x = 1. 
Giao ñiểm của ( C )với trục Ox : (
3
2− ; 0 ) 
 Vì 0
1
23
>
+
+
=
x
xy với ]1;0[∈x nên diện tích hình phẳng cần tìm : 
 ∫∫ +−=+
−=
+
+
=
1
0
1
0
1
0
)13()
1
13(
1
23
xLnxdx
x
dx
x
xS 0,5 ñ 
 S = 23 Ln− ( ñvdt) 0,25 ñ 
 Câu 2.(1 ñiểm) Xét hình phẳng giới hạn bởi ñường cong 24 xy −= và trục 
Ox. Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay 
ñược tạo nên. 
 Giao ñiểm của ñường cong 24 xy −= với trục Ox : y = 0 , x = ± 2 0,25 ñ 
 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là 
 : V= ∫∫
−
−
−
+−=+−=−
2
2
2
2
53
42
2
2
22 )
53
816()816()4( xxxdxxxdxx pipipi 0,5 ñ 
V= )(
15
512)
5
32
3
6432(2 ñvttpipi =+− 0,25 ñ 
 Câu 3. (1,5 ñiểm) 
 Tính các tích phân : 
 a) I= ∫ +
1
0
2 1dxxx 
 Đặt xdxduthìxu 212 =+= 0,25 ñ 
 Ta có : x = 0 thì 1=u 
 x = 1 thì 2=u 
 Vậy I =
3
18)
3
(
2
2
1
2
1
3
−
==∫
udu
u 0,5 ñ 
b) J= ∫
1
0
dx
e
x
x
 Đặt 1'== uthìxu 0,25 ñ 
xx
x
evthìe
e
v −− −===
1
' 
 (ta chọn v là một nguyên hàm của v’) 
 Ta có J= 
e
e
ee
e
e
dxeex xxx 2111)(1. 10
1
0
1
0
−
=+
−
+
−
=−+−=+− −−− ∫ 
 0,5 ñ 
 Câu 4. (2 ñiểm) 
 Trong không gian Oxyz, cho ñường thẳng (D) : 





−=
−=
+=
t1z
2t3y
t2x
 và ñiểm A(2 ; 1 ; 0). 
 a)Chứng minh ñiểm A không thuộc ñường thẳng ( D ).Viết phương 
 trình mặt phẳng (P) chứa A và ( D ). 
 Thế tọa ñộ ñiểm A vào phương trình tham số của ( D ) : 
 )(
1t
0t
t10
2t31
t22
lývô



=
=
⇔





−=
−=
+=
 Vậy ñiểm A không thuộc ( D ). 0,5 ñ 
 Đường thẳng ( D ) ñi qua B(2 ; 3 ; 1) và có vectơ chỉ phương 
=
→
Da (1 ; - 2 ; -1) 
Mp(P) chứa ( D ) và ñiểm A nên ñi qua A, có vectơ pháp tuyến là 
 ==
→→→
],[ ABan DP (0 ; -1 ; 2) 
 ( )1;2;0(=→AB ) 
 Phương trình mp(P): 
01202)1)(1(0)2( =++−⇔=+−−+− zyzyx 0,5 ñ 
 b)Tìm tọa ñộ các ñiểm M thuộc ñường thẳng ( D ) cách ñiểm A một 
khoảng bằng 3. 
 Điểm M thuộc (D) nên : M(2+t ; 3 -2t ; 1-t) 0,25ñ 
 Khoảng cách giữa hai ñiểm A , M : 
AM= 3)1()123()22( 222 =−+−−+−+ ttt 
3
12041063)1()22( 2222 −==⇔=−−⇔=−+−+⇔ tvtttttt 
 0,25ñ 
Vậy có hai ñiểm M tìm ñược là : M1(4 ; -1 ; -1) ; M2( )3
4
;
3
11
;
3
5
 0,5 ñ 
 B.PHẦN RIÊNG : ( 3 ñiểm) 
I)Theo chương trình chuẩn. 
 1) Giải các phương trình sau trong tập số phức: 
 a) 0432 =++ zz 
 Ta có 7169 −=−=∆ 
 ∆ có hai căn bậc hai là : 7i± 
 Phương trình có hai nghiệm : 
2
73 i
z
±−
= 0,75 ñ 
 b) 22202 222 izizz ±=⇔=−=⇔=+ 0,75 ñ 
 2) Trong không gian Oxyz, tìm tọa ñộ ñiểm H là hình chiếu vuông góc của 
ñiểm A(-2 ; 1; 3 ) lên ñường thẳng ( d) : 
2
1
21
3 +
=
−
=
− zyx
. 
 Phương trình tham số của ñường thẳng ( d): 





+−=
−=
+=
tz
ty
tx
21
2
3
 0,25 ñ 
 Đường thẳng (d ) có vectơ chỉ phương là =→da (1 ; -2 ; 2) 0,25 ñ 
 Điểm H thuộc (d) : H ( 3 + t ; -2t ; -1 + 2t) 0,25 ñ 
 )24;21;5( tttAH +−−−+=
→
 0,25 ñ 
 Ta có AH vuông góc với ( d) nên 0484250. =+−+++⇔=→→ tttaAH d 
9
1
=⇔ t 0,25 ñ 
 Vậy H ( )
9
7
;
9
2
;
9
28 −−
 0,25 ñ 
Cách khác : 
 Xét mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với ñường thẳng ( d). 
 Viết phương trình mp(P) qua A( -2 ; 1 ; 3 ), có vectơ pháp tuyến là 
 =
→
da (1 ; -2 ; 2) 
 Mp(P) : ( x+2)1 + (y-1) (-2) + ( z-3)2 = 0 ⇔ x-2y+2z-2 = 0 
 H chính là giao ñiểm của (d) và mp(P):







=−+−
+−=
−=
+=
0222
21
2
3
zyx
tz
ty
tx
 Giải hệ trên ta ñược H ( )
9
7
;
9
2
;
9
28 −−
 II)Theo chương trình nâng cao. 
 1) Tìm các số phức z trong mỗi trường hợp sau: 
 a) 02 =+ iz 
 Ta có iziz −=⇔=+ 22 0 
 Nên z là các căn bậc hai của số phức i− 
 Ta ñặt biaz += với a, b là các số thực thì : 
 iabibaibia −=+−⇔−=+ 2)( 222 






=
−
=






−
=
=
⇔



=
−=
⇔



−=
±=
⇔



−=
=−
⇔
2
2
2
2
2
2
2
2
121212
0
2
22
b
a
v
b
a
a
ba
ab
ba
ab
ba
 Vậy : iz
2
2
2
2
−= hoặc iz
2
2
2
2
+−= 1 ñ 
 b) Ta có )()(101 22244 izvizizz −==⇔=−=⇔=+ 
 izvizvizviz
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+−=−=−−=+=⇔ 
 0,5 ñ 
 2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) ñi qua ñiểm 
 A(2 ; 3 ; 4) và tiếp xúc với mp(Oxy) tại ñiểm H(1 ; -2 ; 0) 
 Gọi I là tâm của mặt cầu thì I thuộc ñường thẳng ( d) qua H, vuông góc 
với mp(Oxy). 
 Đường thẳng ( d) qua H ( 1 ; -2 ; 0 ) và có VTCP là ( 0 ; 0 ; 1 ) 
 Phương trình ñường thẳng ( d ) 





+=
+−=
+=
tz
ty
tx
0
02
01
 0,5 ñ 
 Tâm I thuộc ( d) : I ( 1 ; -2 ; t) 
 Ta có : 
 IH = IA 222222 )4()32()21()22()11( tt −+−−+−=++−+−⇔ 
4
2181626 22 =⇔+−+=⇔ tttt 
 Vậy tâm I( )
4
21
;2;1 − 0,5 ñ 
 Bán kính mặt cầu ( S ) : IH = 
4
21
 0,25 ñ 
 Phương trình mặt cầu ( S ) : 2222 )
4
21()
4
21()2()1( =−+++− zyx 0,25 ñ 
 HẾT