Đề khảo sát học sinh lớp 11 Môn Toán

Së GD & §T H¶i D­¬ng
Tr­êng THPT Phĩc Thµnh 
----------o0o------------
§Ị chÝnh thøc
§Ị kh¶o s¸t häc sinh líp 11 m«n to¸n
 (Thêi gian lµm bµi : 150 phĩt )
CÂU I ( 3 ®iĨm )
Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh sau:
	1) 
	2) 
	3) .
CÂU II ( 3 ®iĨm )
TÝnh giíi h¹n : 	
2) Cho m bơng hồng trắng và n bơng hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy được 5 bơng hồng trong đĩ cĩ ít nhất 3 bơng hồng nhung ? Biết m, n là nghiệm của hệ sau:
3) Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc tho¶ m·n:
Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Ịu.
CÂU III ( 3 ®iĨm )
	Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc 
a)	Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và SD. ( theo a)
b)	Gọi là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích thiết diện tạo bởi và hình chóp S.ABCD. ( theo a)
CÂU IV ( 1 ®iĨm )
	Cho tø diƯn OABC víi OA = a, OB = b, OC = c vµ OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. Gäi lÇn l­ỵt lµ gãc cđa OA, OB, OC víi mỈt ph¼ng (ABC).
a) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC theo a, b, c. 
b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa:
	 Q = 
	 .......................................................HÕt..........................................................
Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm !
§¸p ¸n vµ biĨu ®iĨm to¸n 11 
C©u
I
3
®
§iỊu kiƯn - 1 ®
§Ỉt t = 
=> => 
Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng:
t = 2 + ĩ 
Víi t = 2 ta cã = 2 => x = 0 ; x = 2 
Víi t = - 4/3 ta cã = - => 
 ( §èi chiÕu víi §K )
KÕt luËn : Pt cã ba nghiƯm x = 0 ; x = 2; 
0.25
0.25
0.25
0.25
2) §iỊu kiƯn 
NhËn xÐt x = 1 lµ 1 nghiƯm cđa bpt.
NÕu x chia c¶ hai vÕ cđa BPT cho ta cã:
 BPT ®ĩng víi mäi x
NÕu x chia c¶ hai vÕ cđa BPT cho ta cã:
 V« lý do vÕ tr¸i kh«ng ©m cßn vÕ ph¶i ©m.
VËy BPT cã nghiƯm 
0.25
0.25
0.25
0.25
3) Pt ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi: (sinx + 1).( 2sin2x -1 ) = 0
sinx = -1 
sin2x
0.5
0.25
0.25
C©u II
3 ®iĨm
1) Cã
 VËy I = -
0.25
0.25
0.25
0.25
2) XÐt hƯ
Từ (2): (3)
Thay n = 7 vào (1)
 vì 
Vậy m = 10, n = 7. Vậy ta cĩ 10 bơng hồng trắng và 7 bơng hồng nhung, để lấy được ít nhất 3 bơng hồng nhung trong 5 bơng hồng ta cĩ các TH sau:
TH1: 3 bơng hồng nhung, 2 bơng hồng trắng cĩ:
 cách
TH2: 4 bơng hồng nhung, 1 bơng hồng trắng cĩ:
 cách
TH3: 5 bơng hồng nhung cĩ:
 cách
cĩ 1575 + 350 + 21 = 1946 cách. 
Số cách lấy 5 bơng hồng thường 
0.25
0.25
0.25
0.25
3) Bỉ ®Ị : a, b > 0 ta cã: dÊu “ = ” khi a = b
¸p dơng ta cã: ( Do gt)
T­¬ng tù: vµ 
Céng vÕ theo vÕ ta cã 
§¼ng thøc x¶y ra: 
Tam gi¸c ABC ®Ịu => ®iỊu ph¶i chøng minh.
0.25
0.25
0.25
0.25
C©u 
III
3 ®iĨm
a) Khoảng cách giữa BC và SD. 1.25 ( ® )
Ta có SO là trục hình vuông ABCD và 0
SA = SB = SC = SD = CB = a
Và BC// (SAD) nên d(BC, SD) = d(I,(SAD))
Với I là trung điểm CB. Gọi H là trung điểm AD, ta có:.
Vẽ ta có 
 d(BC, SD) = IJ
Tam giác SIH có 
 Vậy d(BC, SD) =.
b) Cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang BCFE. Do hình chóp đều nên BCFE là hình thang cân:
	 ( H×nh vÏ : 0.5 ® )
Ta có: Do EF//AD nên: .
Vậy ( §vdt ) ( H×nh vÏ ch­a thËt chuÈn)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
C©u 
IV
1 ®iĨm
Gäi H lµ h×nh chiÕu cđa O xuèng mp(ABC). DƠ chøng minh H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC.
XÐt tam gi¸c vu«ng OBC ta cã 
Suy ra : . XÐt tam gi¸c vu«ng OAM cã 
VËy diƯn tÝch tam gi¸c ABC : S = 
Tam gi¸c vu«ng OAM ta cã (1)
MỈt kh¸c (2)
 Tõ (1) vµ (2) => 
L¹i cã 
Tõ ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cđa Q = 1. Khi vµ chØ khi a = b = c.
( Kh«ng tÝnh ®iĨm vÏ h×nh )
0.25
0.25
0.25
0.25
Chĩ ý: NÕu thÝ sinh lµm theo c¸ch kh¸c ®ĩng, vÉn cho ®iĨm tèi ®a!