Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 12 năm học 2009 – 2010 môn : Toán

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn : Toán
Thời gian: 150 phút
Bài 1. (3,5 điểm) Cho y = (m + 1) x3 + 3( m + 1) x2 - 4 mx - m .
a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến .
b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng .
Bài 2. (1,5 điểm) Tìm các giá trị của tham số a để bất phương trình : nghiệm đúng với mọi x .
Bài 3.	(1,5 điểm) Giải phương trình:
Bài 4. (1,5 điểm) Giải phương trình: .
Bài 5. (2 điểm) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang có cạnh AD =2BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA , SB. Mặt phẳng (DMN ) cắt SC tại P. Tính tỉ số điểm P chia đoạn thẳng CS . 
--------------Hết--------------
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM 
MÔN TOÁN HỌC THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Bài 1:
(1.5 điểm )
D = R 
Cần điều kiện : y’ = 3 (m + 1) x2 + 6 ( m + 1 ) x - 4 m 0
Thoã mãn với x	(0.25 điểm)
+ m + 1 = 0 => m = - 1 có y’ = 4 > 0 Thoã mãn với x
vậy m = -1 là giá trị cần tìm .	(0.25 điểm)
+ m + 1 0 = > m = - 1 . Để y’ 0 Thoã mãn với x cần điều kiện 
 hoặc m 	(0.50 điểm)
Kết luận: m 	(0.25 điểm)
b) Gọi (x0 ;y0) là điểm cố định mà đồ thị đi qua với m
=> m ((*)
Để phương trình (*) không phụ thuộc m cần 
Xét phương trình 
Gọi f(x) = là hàm số liên tục trên R 
+ Có f(0) .f(-1) phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (-1; 0) 
(1.0 điểm)
+ Có f(1) .f(2) phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (1; 2) 
+ Có f(-1) > 0 ; khi x thì f(x) <0.
Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (-
Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có 3 nghiệm .
Các nghiệm ấy thõa mãn :
Trừ hai phương trình cho nhau được : y - 4x - 1 = 0 hay các điểm cố định thuộc đường thẳng y = 4x - 1 .
Bài 2	(3 điểm )
Trước hết cần ax2 - 4x + a - 3 0 với mọi x 
	Û a 4	(0,5 điểm)
+ Nếu a < -1 thì ax2 - 4x + a - 3 < 0 với .
Bất phương trình đã cho thỏa mãn với .
 x + 1 > ax2 - 4x + a - 3 thỏa mãn với .
 ax2 - 5x + a - 4 < 0 thỏa mãn với .
 = 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (vì a < -1) 	(1,0 điểm)
 = 4a2 - 16a - 25 > 0 	(do a < - 1) 	
+ Nếu a > 4 thì ax2 - 4x + a - 3 > 0 với .
Bất phương trình đã cho thỏa mãn với .
 x + 1 < ax2 - 4x + a - 3 thỏa mãn với .
 ax2 - 5x + a - 4 > 0 thỏa mãn với 	(1,0 điểm)
 = 25 - 4a (a - 4 ) 0) 	
 4a2 - 16a - 25 > 0 	(do a > 4) 	
Kết luận: 	(0.5 điểm) 
Bài 3: 	( 3 điểm )
Tập xác định D = R	(0,25 điểm)
Do x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho nên phương trình đã cho 
	(0,25 điểm)
	(0,5 điểm)
	(0,5 điểm)
Đặt Điều kiện 
 (vì )	(0,25 điểm)
Ta được phương trình mới 
2t2 - 5t + 2 = 0 	(0,25 điểm)
	(0,25 điểm)
Với t = 2 
	(0,5 điểm)
Kết luận: Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 	(0,25 điểm)
Bài 5 ( 2 điểm)
Biến đổi tương đương phương trình đã cho
Giải (1) ta được x=kvới k
Giải (2): Ta có (2) 
 (3)
Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số: 
ta được 
do đó <
suy ra (3) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm.
Kết luận: Phương trình có nghiệm x=kvới k
Bài5 :
a) Đặt DA = a ; DC = b ; DS = c;
Từ giả thiết ta được CB = vì P trên CS 
nên đặt: CP = x.CS M, N, P, D ở 
trên cùng mặt phẳng nên DM, DN,	
DP đồng phẳng ta có:
	DN	= aDM +bDP	(1)
Vì M là trung điểm của SA nên: DM = = 	 (2)
Vì N là trung điểm của SB nên: DN = = = + + (3)
Ta có: DP = DC + CP = b + xCS = b + x(c - b)
	DP = (1-x)b + xc	(4) (0,5đ)
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có: 
 + + = c + a + +
+ + = a + b (1-x) b + ( + bx) c
Vậy P trên SC sao cho CP = CS hay P chia đoạn thẳng CS theo tỉ số k=-