Đề cương Toán 11

Đề cương toán 11 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com www.mathvn.com 1 
Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
§ 1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
A CÔNG THỨC 
1 Bảng giá trị lượng giác của một số cung (góc) đặt biệt 
α 
0 6
pi
4
pi
3
pi
2
pi
2
3
pi
3
4
pi
5
6
pi
pi 
Tăng và dương Giảm và dương 
sinα 
0 
1
2
2
2
3
2
1 
3
2
2
2
1
2
0 
Giảm và dương Giảm và âm 
cosα 
 1 
3
2
2
2
1
2
0 -
1
2
-
2
2
 -
3
2
-1 
Tăng và dương Tăng và âm 
tanα 
0 
1
3
1 
3 
Không 
có 
nghĩa 
- 3 
-1 -
1
3
0 
Giảm và dương Giảm và âm 
cotα Không 
có 
nghĩa 
3 
1 
1
3
0 -
1
3
-1 
- 3 
Không 
có 
nghĩa 
2 GTLG của các góc có liên quan đặc biệt 
a/ Hai góc đối nhau 
( )sin sinα α− = − 
( )cos cosα α− = 
( )tan tanα α− = − 
( )cot cotα α− = − 
b/ Hai góc bù nhau 
( )sin sinpi α α− = 
( )cos cospi α α− = − 
( )tan tanpi α α− = − 
( )cot cotpi α α− = − 
c/ Hai góc phụ nhau 
 sin cos
2
pi
α α − = 
 
 cos sin
2
pi
α α − = 
 
 tan cot
2
pi
α α
 
− = 
 
cot tan
2
pi
α α − = 
 
d/ Góc hơn 
2
pi
sin cos
2
pi
α α
 
+ = 
 
cos sin
2
pi
α α + = − 
 
tan cot
2
pi
α α + = − 
 
cot tan
2
pi
α α
 
+ = − 
 
e/ Góc hơn pi 
( )sin sinα pi α+ = − 
( )cos cosα pi α+ = − 
( )tan tanα pi α+ = 
( )cot cotα pi α+ = 
f/ Với mọi k ∈ℤ , ta có 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com www.mathvn.com 2 
( )sin 2 sinkα pi α+ = ; ( )cos 2 coskα pi α+ = ; 
 ( )tan tankα pi α+ = ; ( )cot cotkα pi α+ = . 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com www.mathvn.com 3 
3 Các công thức lượng giác 
Công thức lượng giác cơ bản 
2 2sin cos 1α α+ = ; sintan
cos
α
α
α
= ; 
cos
cot
sin
α
α
α
= ; 
tan .cot 1α α = ; 22
1 1 tan
cos
α
α
= + ; 22
1 1 cot
sin
α
α
= + . 
Công thức cộng 
( )sin sin cos cos sinα β α β α β+ = + ; 
( )sin sin cos cos sin α β α β α β− = − ; 
( )cos cos cos sin sinα β α β α β+ = − ; 
( )cos cos cos sin sinα β α β α β− = + ; 
( ) tan tantan
1 tan tan
α β
α β
α β
−
− =
+
 ; 
( ) tan tantan
1 tan tan
α β
α β
α β
+
+ =
−
.
Công thức nhân đôi 
sin 2 2sin cos α α α= ; 
2 2cos 2 cos sinα α α= − ; 
2cos 2 1 2sinα α= − ; 
2cos 2 2cos 1 α α= − ; 
 2
2tan
tan2 = .
1 tan
α
α
α−
Công thức hạ bậc 
2 1 cos 2cos ;
2
α
α
+
= 
2 1 cos 2sin
2
α
α
−
= ; 
2 1 cos 2tan
1 cos 2
α
α
α
−
=
+
.
Công thức nhân ba 
3cos3 4cos 3cosα α α= − ; 
3sin 3 3sin 4sinα α α= − . 
Công thức hạ bậc 
34cos 3cos cos3α α α= + ; 
34sin 3sin sin 3α α α= −
Công thức biến đổi tích thành tổng 
( ) ( )1cos cos cos cos
2
α β α β α β= + + −   ; 
( ) ( )
( ) ( )
1
sin sin cos cos 
2
1
 cos cos ;
2
α β α β α β
α β α β
= − + − −  
= − − +  
( ) ( )1sin cos sin sin
2
α β α β α β= + + −   . 
Công thức biến đổi tổng thành tích 
cos cos 2cos cos
2 2
α β α β
α β + −+ = ; 
cos cos 2sin sin
2 2
α β α β
α β + −− = − ; 
sin sin 2sin cos
2 2
α β α β
α β + −+ = ; 
sin sin 2cos sin
2 2
α β α β
α β + −− =
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com www.mathvn.com 4 
B BÀI TẬP 
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
1. 1 Tính giá trị của các biểu thức sau : 
a/ sin cos
sin cos
A α α
α α
+
=
−
, biết 2tan
5
α = ; b/ 3 tan 2cot
tan cot
B α α
α α
+
=
−
, biết 2sin
3
α = . 
1. 2 Chứng minh các đẳng thức : 
a/ 4 4 2 2sin cos 1 2sin cosα α α α+ = − ; b/ 4 4 2cos sin 2cos 1α α α− = − ;. 
1. 3 Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào α : 
a/ 4 2 4 4sin 4cos cos 4sinα α α α+ + + ; b/ ( ) ( )2 2cot tan cot tanα α α α+ − − . 
CUNG LIÊN KẾT 
1. 4 Tính 
a/ tan1 tan 2 tan 3 tan 89o o o oA =  ; b/ cos10 cos 20 cos30 cos180o o o oB = + + + + . 
CÔNG THỨC CỘNG 
1. 5 Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng : 
a/ tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
+ + = ; 
b/ tan tan tan tan tan tanA B C A B C+ + = . 
1. 6 a/ Biến đổi biểu thức 3 sin cosx x+ về dạng ( )sinA x ϕ+ . 
b/ Biến đổi biểu thức 3 sin cosx x+ về dạng ( )cosA x ϕ+ . 
c/ Biến đổi biểu thức sin 3 cosx x− về dạng ( )sinA x ϕ+ ; 
d/ Biến đổi biểu thức sin cosx x+ về dạng ( )sinA x ϕ+ . 
1. 7 Cho 
3
a b pi− = . Tính giá trị biểu thức ( ) ( )2 2cos cos sin sinA a b a b= + + + 
CÔNG THỨC NHÂN 
1. 8 Tính 
a/ o os in6 s in42 sin 66 sin 78o oA = ; b/ sin10 sin 50 sin 70o o oB = . 
1. 9 Chứng minh rằng 
a/ 2cot tan
sin 2
x x
x
+ = ; b/ cot tan 2cot 2x x x− = ; 
c/ sin 2 tan
1 cos 2
x
x
x
=
+
 ; d/ 21 cos 2 tan
1 cos 2
x
x
x
−
=
+
. 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com www.mathvn.com 5 
e/ sin 3 cos3 4cos 2
sin cos
x x
x
x x
+ = ; f/ 4 2cos 4 8cos 8cos 1x x x= − + . 
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 
1. 10 a/ Tính 5sin sin
24 24
pi pi
. b/ Tính 5 7cos sin
12 12
pi pi
. 
1. 11 Biến đổi tích thành tổng 
a/ 2cos5 cosA x x= ; b/ 4sin sin 2 sin 3B x x x= ; 
c/ ( ) ( )2sin cosC a b a b= + − ; d/ ( ) ( )2cos cosD a b a b= + − ; 
1. 12 Biến đổi tổng thành tích : 
a/ sin sin 3 sin 5 sin 7A x x x x= + + + ; b/ ( )cos 2 cos 2 cos 2 1B a b a b= + + + + 
c/ 1 sinC x= − ; d/ 1 2cosD x= + . 
e/ ( )sin sin sinE a b a b= + + + ; f/ 1 sin cosF a a= + + . 
1. 13 Rút gọn biểu thức 
a/ cos 2 cos 4
sin 4 sin 2
a aA
a a
−
=
+
 ; b/ sin sin 3 sin 5
cos cos3 cos5
B α α α
α α α
+ +
=
+ +
. 
1. 14 Chứng minh rằng 
a/ cos5 cos3 sin 7 sin cos 2 cos 4x x x x x x+ = ; b/ ( )sin 5 2sin cos 2 cos 4 sinx x x x x− + = ; 
c/ 2 2 3sin sin sin sin
3 3 4
x x x x
pi pi   
+ − + − =   
   
 ; d/ 1sin sin sin sin 3
3 3 4
x x x x
pi pi   
− + =   
   
. 
1. 15 Chứng minh rằng 
a/ 4 4 3 cos 4cos sin
4
x
x x
+
+ = ; b/ 4 4cos sin cos 2x x x− = ; 
b/ 6 6 5 3cos 4cos sin
8
x
x x
+
+ = ; c/ 6 6 15cos 2 cos6cos sin
16
x x
x x
+
− = ; 
c/ 8 8 7 cos 2 cos6cos sin
8
x x
x x
+
− = . 
1. 16 Tính 2 3cos cos cos
7 7 7
S pi pi pi= − + . 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com www.mathvn.com 6 
§ 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
A LÝ THUYẾT 
1 Hàm số sin : ( ) sinf x x= 
Tập xác định D = ℝ . 
Tập giá trị [ ]1;1− . 
Nhận xét 
sin 1 2
2
x x kpi pi= ⇔ = + 
sin 1 2
2
x x kpi pi= − ⇔ = − + 
sin 0x x kpi= ⇔ = 
2 Hàm số côsin : ( ) cosf x x= 
Tập xác định D = ℝ . 
Tập giá trị [ ]1;1− . 
Nhận xét 
cos 1 2x x k pi= ⇔ = 
cos 1 2x x kpi pi= − ⇔ = + 
cos 0
2
x x kpi pi= ⇔ = + 
3 Hàm số tang : ( ) tanf x x= 
Điều kiện xác định : cos 0
2
x x kpi pi≠ ⇔ ≠ + . 
Tập xác định : \
2
D kpi pi = + 
 
ℝ . 
Tập giá trị : ℝ 
Nhận xét tan 0 sin 0x x x kpi= ⇔ = ⇔ = 
4 Hàm số côtang : ( ) cotf x x= 
Điều kiện xác định : sin 0x x kpi≠ ⇔ ≠ . 
Tập xác định { }\D kpi= ℝ . 
Tập giá trị ℝ . 
Nhận xét cot 0 cos 0
2
x x x kpi pi= ⇔ = ⇔ = +
B BÀI TẬP 
1. 17 Tìm tập xác định của mội hàm số sau đây : 
a/ ( ) sin 1
sin 1
xf x
x
+
=
−
 ; b/ ( ) 2 tan 2
cos 1
xf x
x
+
=
−
 ; 
c/ ( ) cot
sin 1
xf x
x
=
+
 ; d/ tan
3
y x pi = + 
 
. 
1. 18 Tìm tập xác định của mội hàm số sau đây : 
a/ 1 cosy x= − ; b/ 3 siny x= − ; 
c/ ( )
cos
sin
xy
x pi
=
−
 ; d/ 1 cos
1 sin
xy
x
−
=
+
. 
1. 19 Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
a/ 3cos 2y x= + ; b/ 5sin 3 1y x= − ; 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com www.mathvn.com 7 
c/ 4cos 2 9
5
y x pi = + + 
 
 ; d/ ( ) sin cosf x x x= + ; 
e/ ( ) cos 3 sinf x x x= − ; f/ 5 sin cosy x x= + − ;. 
1. 20 Xét tính chẵn – lẻ của hàm số 
 a/ ( ) sin
cos 2
xf x
x
=
+
 ; b/ ( ) sin cosf x x x= + ; 
 c/ 23cos 5siny x x= − d/ cosy x x= . 
1. 21 Cho hàm số 3cos 2y x= . 
 a/ Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số chẵn. 
 b/ Chứng minh rằng hàm số đã cho có chu kỳ T pi= . 
 c/ vẽ đồ thị hàm số đã cho. 
1. 22 Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 a/ 11 11( ) sin cosf x x x= + ; b/ 4 4( ) sin cosf x x x= + ; 
 c/ 6 6( ) sin cosf x x x= + ; d/ 2 2( ) sin cosn nf x x x= + , với *n ∈ℕ . 
§ 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
A LÝ THUYẾT 
1 Phương trình sinx = m 
Xét phương trình sin x m= 
* Với [ ]1;1m∉ − , phương trình sin x m= vô nghiệm. 
* Với [ ]1;1m∈ − , tồn tại số α sao cho sin bα= . 
2
sin sin sin
2 .
x k
x m x
x k
α π
α
π α π
 = +
= ⇔ = ⇔
 = − +
 ( k ∈ℤ ) 
Chú ý Với mỗi m cho trước mà 1m ≤ , phương trình sinx = m có đúng một nghiệm trong đoạn ;
2 2
pi pi− 
  
. 
Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arcsin m . Khi đó 
arcsin 2
sin
arcsin 2 .
x m k
x m
x m k
pi
pi pi
= +
= ⇔ 
= − +
2 Phương trình cosx = m 
* Với [ ]1;1m∉ − , phương trình cos x m= vô nghiệm. 
* Với [ ]1;1m∈ − , tồn tại số α sao cho cos mα= . 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com www.mathvn.com 8 
2
cos cos cos
2 .
x k
x m x
x k
α π
α
α π
 = +
= ⇔ = ⇔
 =− +
 ( k ∈ℤ ) 
Chú ý Với mỗi m cho trước mà 1m ≤ , phương trình cosx = m có đúng một nghiệm trong đoạn [ ]0;pi . 
Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccos m . Khi đó 
arccos 2
cos
arccos 2 .
x m k
x m
x m k
pi
pi
= +
= ⇔ 
= − +
3 Phương trình tanx = m, cotx = m 
 Các phương trình trên luôn có nghiệm. 
 Với mọi số thực α , ta có 
 tan tanx x kα α π= ⇔ = + . ( k ∈ℤ ) 
 cot cotx x kα α π= ⇔ = + . ( k ∈ℤ ) 
Chú ý 
i) Với mọi số m cho trước, phương trình tan x m= có duy nhất một nghiệm trong khoảng ;
2 2
pi pi 
− 
 
. 
Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arctan m . Khi đó 
tan arctanx m x m kpi= ⇔ = + . 
ii) Với mọi số m cho trước, phương trình cot x m= có duy nhất một nghiệm trong khoảng ( )0;pi . Người 
ta thường kí hiệu nghiệm đó là cotarc m . Khi đó 
cot cotx m x arc m kpi= ⇔ = + . 
Công thức ngiệm của phương trình lượng giác 
2
sin sin
2
u v k
u v
u v k
pi
pi pi
= +
= ⇔ 
= − +
2
cos cos
2
u v k
u v
u v k
pi
pi
= +
= ⇔ 
= − +
tan tanu v u v kpi= ⇔ = + cot cotu v u v kpi= ⇔ = + 
với k ∈ℤ 
(trong điều kiện biểu thức có nghĩa) 
Một số trường hợp đặc biệt 
sin 1 2
2
u u kpi pi= ⇔ = + 
sin 1 2
2
u u kpi pi= − ⇔ = − + 
sin 0u u kpi= ⇔ = 
cos 1 2u u k pi= ⇔ = 
cos 1 2u u kpi pi= − ⇔ = + 
cos 0
2
u u kpi pi= ⇔ = + 
tan 0u u kpi= ⇔ = 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com www.mathvn.com 9 
cot 0
2
u u kpi pi= ⇔ = +
B BÀI TẬP 
1. 23 Giải phương trình : 
a/ sin sin
6
x
pi
= ; b/ 2sin 2 0x + = ; c/ ( ) 2sin 2
3
x − = ; 
 d/ ( )sin 20 sin 60o ox + = ; e/ cos cos 4x
pi
= ; f/ 2cos 2 1 0x + = ; 
g/ ( ) 2cos 2 15 2ox + = − ; h/ 
1
t an3
3
x = − ; i/ ( )tan 4 2 3x + = ; 
j/ ( ) otan 2 10 tan 60ox + = ; k/ cot 4 3x = ; l/ ( )cot 2 1x + = . 
1. 24 Giải phương trình : 
a/ sin 2 sin
5 5
x x
pi pi   
− = +   
   
 ; b/ ( ) ( )cos 2 1 cos 2 1x x+ = − ; 
c/ 2 1 1tan tan 0
6 3
x +
+ = ; d/ sin 3 cos 2x x= . 
1. 25 Giải các phương trình sau : 
a/ 2 1cos 2
4
x = ; b/ 24cos 2 3 0x − = ; 
c/ 2 2cos 2 sin
4
x x
pi 
− = 
 
 ; d/ 2 2cos 3 sin 2 1x x+ = . 
1. 26 Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho : 
a/ 2sin 2 1 0x + = với 0 x pi< < ; b/ ( )cot 5 3x − = với xpi pi− < < . 
1. 27 Giải các phương trình sau : 
a/ sin cos 1x x+ = ; b/ 4 4sin cos 1x x− = ; 
c/ 4 4sin cos 1x x+ = ; d/ 3 3sin cos cos sin 2 /8x x x x− = . 
1. 28 Giải các phương trình sau : 
a/ 2cos ... n hai cạnh AD và CC’ sao cho 
'
AM CN
MD NC
= . 
a/ Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACB’). 
b/ Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng 
(ACB’). 
2. 82 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và 
B’C’. 
a/ Chứng minh rằng AM song song với A’M’. 
b/ Tìm giao điểm của hai mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M. 
c/ Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’). 
d/ Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AMM’). Chứng minh G là trọng tâm của 
tam giác AB’C’. 
www.MATHVN.com 
65 
www.MATHVN.com 
66 
BÀI TẬP LÀM THÊM 
ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
2. 83 Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, CB và K là điểm trên cạnh BD sao cho 
BK = 2DK. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (IJK) & (ACD) ; (IJK) & (ABD). 
2. 84 Cho tứ diện ABCD, I và J lần lượt là trung điểm AC và BC. Lấy K là điểm trên cạnh BD sao cho 
KB = 2KD. Tìm 
a/ (IJK) ∩ (ACD) ; b/ (IJK) ∩ (ABD). 
2. 85 Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm AD và BC. 
a/ Tìm (IBC) ∩ (JAD). 
b/ gọi M là một điểm thuộc AB và N thuộc AC. Tìm (IBC) ∩ (DMN). 
2. 86 Cho hình chóp tam giác SABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC ta lần lượt lấy các điểm A’, B’, 
C’ không trùng với dầu mút các đoạn thẳng đó. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác 
ABC. 
a/ Tìm giao điểm của đường thẳng B’C’ với mặt phẳng (SAM). 
b/ Tìm giao điểm của đường thẳng SM với mặt phẳng (A’B’C’). 
2. 87 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lần lượt lấy các điểm M, N, P trên các 
cạnh SA, SB, SC sao cho không điểm nào trùng với điểm S. Hãy xác định giao điểm của đường 
thẳng SD và mặt phẳng (MNP). 
2. 88 Cho hình chóp tứ giác SABCD. Lần lượt lấy các điểm M và N trên các cạnh SC và AB. Hãy xác 
định giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD). 
2. 89 Cho hình chóp SABCD. Điểm M và N lần lượt thuộc các cạnh BC và SD. 
a/ Tìm I= BN ∩ (SAC). 
b/ Tìm J= MN ∩ (SAC). 
c/ Chứng minh I, J, C thẳng hàng 
d/ Xác định thiết diện của hình chóp với (BCN) 
2. 90 Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần kượt là trung điểm của AD và CD và G trên đoạn AB sao cho 
GA= 2GB. 
a/ Tìm M = GE ∩ mp(BCD), 
b/ Tìm H = BC ∩ (EFG). Suy ra thiết diện của (EFG) với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì ? 
c/ Tìm (DGH) ∩ (ABC). 
2. 91 Cho hình chop SABCD. Gọi O = AC ∩ BD. Một mp(α) cắt SA, SB, SC, SD tại A’, B’, C’, D’. Giả 
sử AB ∩ C’D = E, A’B’ ∩ C’D’ = E’. 
a/ Chứng minh: S, E, E’ thẳng hàng 
www.MATHVN.com 
67 
b/ Chứng minh A’C’, B’D’, SO đông qui 
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 
2. 92 Cho hình bình hành ABCD và điểm S ở ngoài mp(ABCD). 
a/ Tìm (SAD) ∩ (SBC). 
b/ M trên SC. Tìm (MAB) ∩ (SCD). 
c/ (SAC) ∩ (SBD) = ? 
d/ Điểm N thuộc SC sao cho SC = 3SN. Xác định hình tính của thiết diện tạo bởi mp(NAD) với 
hình chóp 
e/ Tìm I = AN ∩ (SBD). Chứng minh I là trung điềm SO. 
2. 93 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I, J là trung điểm của AC, BC. Gọi k là điểm ∈BD sao cho 
KB = 2KD 
a/ Xác định thiết diện của (IJK) với tứ diện ABCD 
b/ C.Minh thiết diện là hình thang cân. 
c/ Tính diện tích thiết diện. 
2. 94 Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng lấy M ∈AC và N ∈BF sao cho 
1
3
AM BN
AC BF
= = . Chứng minh rằng MN//DE. 
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG 
2. 95 Cho tứ diện ABCD, gọi M và N là trung điểm của BC và BD. 
a/ (AMD) ∩ (ACD) 
b/ Một mặt phẳng ( )α qua CD cắt AM và AN tại F và E. Tứ giác CDEF là hình gì? 
c/ CF ∩ DE = k. Chứng minh A, B, k thẳng hàng. 
d/ Chứng minh giao điểm của CE và DF luôn ở trên 1 đường thẳng cố định khi ( )α thay đổi. 
2. 96 Cho hình chop SA BCD có đáy ABCD là hình bình hành. 
a/ Tìm (SAC) ∩ (SBD); (SA B) ∩ (SCD), (S BC) ∩ (SAD). 
b/ Một mp ( )α qua CD, cắt SA và SB tại E và F. Tứ giác CDEF là hình gì? Chứng tỏ giao điểm 
của DE và CF luôn luôn ở trên 1 đường thẳng cố đinh. 
c/ Gọi M, N là trung điểm SD và BC. K là điểm trên đoạn SA sao cho KS = 2KA. Hãy tìm thiết 
diện của hình chop SABCD về mp (MNK) 
2. 97 Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng. 
a/ Gọi O và O’ là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’//(ADF) và (BCE) 
b/ Gọi M, N là trọng tâm của ∆ ABD và ∆ ABE. Chứng minh MN // (CEF)\ 
www.MATHVN.com 
68 
2. 98 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. 
a/ Chứng minh rằng MN // (ABD) 
b/ . Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm ∆ ABC và ∆ ACD . Chứng minh rằng GG’ // (BCD) 
2. 99 Cho hình chóm sABCD, đáy là hình thang ABCD với AB // CD,và AB = 2CD 
a/ Tìm (SAD) ∩ (SCD). 
b M là trung điểm SA, tìm (MBC) ∩ (SAD) và (SCD) 
c/ Một mặt phẳng ( )α di động qua AB, cắt SC và SD tại H và K. Tứ giác A BHK là hình gì? 
d/ Chứng minh giao điểm của BK và AH luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định. 
2. 100 Cho hình chop SABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SD, BD 
a/ Chứng minh AD //(MNP) 
b/ NP // (SBC) 
c. Tìm thiết diện của (MNP) với hình chóp. Thiết diện là hình gì? 
2. 101 Cho hình chop SA BCD đáy ABCD là hình bình hành. M là điểm di động trên SC. MP ( )α chứ 
AM v à song song với BD. 
a/ Tìm giao điểm E & F của mp ( )α với SB và SD, 
b. Gọi I = ME ∩ CB, J = MF ∩ CD. Chứng minh rằng A, I,J thẳng hàng. 
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 
2. 102 Cho hình chop SABCD, H, I, K là trung điểm SA, SB, SC. 
a/ Chứng minh (HIK) // (ABCD). 
b/ Gọi J = OD ∩ (HIK). Chứng minh JK // CD và JH // AD. 
2. 103 Cho hình chop SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt trung điểm của 
SA, SD. 
a/ Chứng minh (OMN) // (SBC). 
b/ Gọi P và Q trung điểm của AB và ON . Chứng minh PQ //(SBC). 
2. 104 Cho 2 hình vuông ABCD và ABEF không đồng phẳng. Trên AC và BF lấy các điểm M, N sao 
cho AM = BN. Một mp ( )α qua M, N và song song với AB cắt AD, AF tại M’, N’. 
a/ Chứng minh : (CBE) // (ADF). b/ (DEF) // ( )α . 
2. 105 Cho hình bình hành ABCD. Dựng các nửa đường thẳng song somg và nằm cùng phía của hình 
bình hành lần lượt đi qua các điểm A, B, C,D. Một mp ( )α cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại 
A’, B’, C’ , D’ 
a/ Chứng minh (AA’, B B’) // (CC’, DD’) 
www.MATHVN.com 
69 
b/ Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành. 
c/ Chứng minh AA’+ CC’= BB’ + DD’. 
www.MATHVN.com 
70 
Sở Giáo Dục và Đào Tạo 
Trường THPT NGUYỄN KHUYẾN 
Tổ TOÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 – MÔN TOÁN LỚP 11 
 CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO 
 Thời gian làm bài : 90 phút 
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 15 phút – 2 điểm ) 
Câu 1. Chia 5 món quà khác nhau cho 5 người, số cách chia quà là : 
A. 120 B. 25 C. 32 D. 20 
Câu 2. Cho tập hợp E gồm 10 phần tử. Số tập hợp con chứa 2 phần tử của E là : 
A. 5 B. 20 C. 90 D. 45 
Câu 3. Cho 10 điểm phân biệt. Số vectơ có gốc và ngọn trùng với 2 trong số 10 điểm này là : 
A. 20 B. 45 C. 90 D. 100 
Câu 4. Số các số tự nhiên chẳn có 4 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số của { }1, 2,3, 4,5,6,7E = là : 
A. 840 B. 630 C. 360 D. Một kết quả khác 
Câu 5. Trong mp(Oxy), phép tịnh tiến biến điểm A(-3,4) thành điểm B(1,-2) là phép tịnh tiến theo : 
A. (4,6)v =

 B. (4, 6)v = −

 C. ( 4, 6)v = − −

 D. (2, 5)v = −

Câu 6. Trong mp(Oxy), cho I(1, 2) và M(3, -1). Anh của M trong phép đối xứng tâm I có tọa độ là : 
A. (5, 4)− B. (2,1) C. ( 1,3)− D. ( 1,5)− 
Câu 7. Trong mp(Oxy), ảnh của điểm M(2,-1) qua phép vị tự tâm I(1, 2), tỉ số k = -3 là : 
A. ( 2,11)− B. ( 2,0)− C. (1,11) D. (3,11) 
Câu 8. Trong mp(Oxy), ảnh của đường tròn tâm I(3, 1), bán kính bằng 2, trong phép đối xứng qua 
trục Ox có phương trình là : 
A. 2 2 6 2 6 0x y x y+ − − + = B. 2 2 6 2 6 0x y x y+ − + + = 
C. 2 2 6 2 8 0x y x y+ − − + = C. 2 2 6 2 6 0x y x y+ + + + = 
B. PHẦN TỰ LUẬN. ( 75 phút – 8 điểm ) 
Bài 1. ( 2 điểm ) Giải phương trình 
a/ cos 2 cos sinx x x= − ; b/ 2 22sin 3 sin .cos cos 2x x x x+ + = 
Bài 2. ( 2 điểm). 
a/ Một hộp đựng 5 quả cầu trắng, 4 quả cầu xanh và 3 quả cầu vàng. Người ta chọn ngẫu nhiên 
 3 quả cầu trong hộp. Tính xác suất để có đúng 2 quả cầu cùng màu trong 3 quả cầu được chọn. 
b/ Có bao nhiêu cách chọn 7 người từ một nhóm người gồm 8 nam và 8 nữ, biết rằng 7 người được 
www.MATHVN.com 
71 
 chọn phải có cả nam lẫn nữ. 
Bài 3. ( 1 điểm ) Tính hệ số của 5x trong biểu thức thu gọn của đa thức 12 15( ) (1 2 ) (2 3)P x x x= + + − 
Bài 4. ( 3 điểm ) 
 Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là những điểm trên hai đoạn thẳng BC và BD ; M là điểm 
trên đoạn AC. Giả sử không tồn tại các đường thẳng song song trong hình vẽ của bài toán. 
 a/ Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (MPQ). Suy ra giao điểm N của đường thẳng 
 AD và mặt phẳng (MPQ). 
 b/ PQ cắt CD tại I. Tìm giao tuyến của mp(MPQ) với mp(ACD). Nhận xét gì về vị trí của M, N, I ? 
 c/ DP và CQ cắt nhau tại E; MQ và NP cắt nhau tại F. Chúng tỏ A, E, F thẳng hàng. 
ĐỀ 1 (NK, HKI 2008 – 2009) 
Câu 1 Giải phương trình 
a/ 2 2sin 3 sin 2 3cos 1x x x+ + = ; b/ 2cos 2 3cos 5 4sin
2
x
x x+ + = ; 
c/ 3cos 2 3 sin 3 sin
4
x x x
pi 
+ − = 
 
 ; d/ 3 3 3sin cos3 cos sin 3 sin 4x x x x x+ = . 
Câu 2 a/ Từ các chữ số 1 và 2 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số ? 
b/ Trong các số tự nhiên ở câu a/, có bao nhiêu số có đúng hai chữ số 1 ? 
c/ Tính xác xuất để một gia đình năm con có đúng hai con trai. 
Câu 3 Từ một nhóm người gồm 5 nam và 6 nữ, người ta chọn ngẫu nhiên 4 người. 
a/ Tính xác suất để 4 người được chọn gồm 2 nam và 2 nữ. 
b/ Tính xác suất để có ít nhất một nam trong 4 người được chọn . 
Câu 4 Trong khai triển của ( )3 nx − (với *n ∈ℕ ), hệ số của 2nx − bằng 405. Tính n. 
Câu 5 Cho hình bình hành ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa ABCD. 
a/ Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau : (SAC) và (SBD) ; (SAB) và (SCD). 
b/ Một mặt phẳng ( )α qua BC, cắt SA tại N và cắt SD tại M. Chứng minh MN // BC. 
c/ Chứng tỏ giao điểm của BN và CM luôn luôn ở trên một đường thẳng cố định khi M di động 
trên SA. 
d/ Gọi G là trọng tâm tam giác SAB ; K là điểm trên cạnh AC sao cho 1
3
AK
AC
= . Chứng minh GK 
// (SCD). 
www.MATHVN.com 
72 
ĐỀ 2 (NK, HKI 2009 – 2010) 
Câu 1 Giải các phương trình lượng giác sau : 
a/ sin 2 cos 3 0
3
x x
pi 
+ − = 
 
 ; b/ cos 2 2 3 cosx x= + ; 
c/ 2 2sin 3 3 sin cos 4cos 1x x x x− + = ; d/ 3 18cos 2
sin cos
x
x x
= + . 
Câu 2 Trong khai triển của ( )2 nx+ (với 2n ≥ , n∈ℕ ), hệ số của 2nx − là 264. Tính n. 
Câu 3 a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và khác 0 ? 
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và khác 0, trong đó phải có chữ số 1 ? 
Câu 4 Từ một hộp đựng 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, người ta lấy ra ngẫu nhiên 4 bi. Tính xác suất để 
được 
a/ 4 bi được lấy ra đều cùng màu ; 
b/ 4 bi được lấy ra gồm dủ cả ba màu. 
Câu 5 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. 
a/ Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD) ; (SAD) và (SBC). 
b/ Một mặt phẳng (P) di động chứa CD cắt SA và SB lần lượt tại E và F. Tứ giác CDEF là hình 
gì? Chứng tỏ giao điểm I của CE và DF luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi (P) di động. 
c/ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC. Tìm giao điểm H của MN và mp(SBD). 
Chứng tỏ H là trung điểm của MN.