Đề cương ôn thi tốt nghiệp 12 môn Toán

tæ to¸n _ Tr−êng THPT ®«ng h−ng hµ 
§Ò C−¬ng «n tËp khèi 12 Trang 1
TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ 
Bài 1: Xét sự ñồng biến và nghịch biến của các hàm số sau: 
 1. 4 22 3y x x= − + 2. 32 6 2y x x= − +
 3. 3 1
1
xy
x
+
=
−
 4. 
2 1
1
x xy
x
− +
=
−
 5. 2 1 5y x x= − − − 6. 21 4y x x= + − − 
 7. 21 2 10 8y x x= + − + − 
Bài 2: Chứng minh rằng: 
 1. tan sinx x> với 0;
2
x
pi 
∈ 
 
. 2. 
2
1 1 1
2 8 2
x x x
x+ − 0. 
 3. 
3
sin
3!
x
x x− 0. 
Bài 3: Tìm m ñể các hàm số sau ñây ñồng biến trên R. 
 1. ( ) ( )
3
2 6 2 1
3
xy mx m x m= + + + − + . 2. ( ) ( )3 22 1 2 2y mx m x m x= − − + − − . 
 3. ( )3 21 3 2
3
my x mx m x−= + + − 
Bài 4: Tìm m ñể hàm số ( )2 3 25 6 6 6y m m x mx x= − − + + − ñơn ñiệu trên R. Khi ñó hàm số 
ñồng biến hay nghịch biến? Tại sao? 
Bài 5: Tìm m ñể các hàm số sau nghịch biến trên R. 
 1. ( ) 3 21 1 2 1
3
y m x mx mx= + − + +
 2. 3 21
3
y mx mx x= − + − 
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: 
 1. ( )23 1y x x= − 2. 3 22 3 36 10y x x x= + − −
 3. 4 25 4y x x= − + 
 4. 236y x x= −
 5. ( )sin cos , ;y x x x pi pi= + ∈ − 6. sin 2y x= 
 7. 2siny x= 8. cos siny x x= − 9. 
2 2 3
1
x xy
x
− +
=
−
Bài 2: Cho hàm số: ( )
2 2 1
1
x xy
x
+
=
−
 1. Tính khoảng cách giữa hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1). 
 2. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñó. 
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi m hàm số 
2 2( 1)x my
x m
− −
=
−
 luôn có cực ñại và cực tiểu. 
Bài 4: Cho hàm số ( )3 2 21 1 13y x mx m m x= − + − + + . Tìm m ñể hàm số ñạt cực ñại tại 1x = . 
Bài 5: Cho hàm số 4 21 3
2 2
y x x= − − + . 
 1. Tìm các khoảng ñơn ñiệu và cực trị của hàm số. 
 2. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất: 4 22 0x x m+ + = . 
Bài 6: Cho hàm số 3 22 3 1y x x= − + 
 1. Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số. 
 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 22 3 0x x m− − = . 
tæ to¸n _ Tr−êng THPT ®«ng h−ng hµ 
§Ò C−¬ng «n tËp khèi 12 Trang 2
Bài 7: Cho hàm số ( ) ( )3 21 11 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − + . Tìm m ñể: 
 1. Hàm số có cực trị. 
 2. Hàm số có cực ñại và cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn: 1 22 1x x+ = . 
 3. Hàm số ñạt cực ñại tại x = 0. 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 44 3y x x= − . 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )2 2 0y x x
x
= + > . 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 
1. 2 4y x x= − + − . 2. 1 2y x x= − + − 
3. 22y x x= + − 4. [ ]1 9 trên 3;6y x x= − + − 
 5. 
22cos cos 1
cos 1
x x
y
x
+ +
=
+
 6. 
6 6
4 4
1 sin cos
1 sin cos
x xy
x x
+ +
=
+ +
 7. [ ]sin( ) trên 0;
2 cos
xf x
x
pi=
+
 8. ( ) sin 2 trên ;
2 2
f x x x pi pi = − −  
 9. cos( ) trên ;
2 sin 2 2
xf x
x
pi pi 
= − +  
Bài 4: Giả sử (x; y) là nghiệm của hệ 2 2 2
2 1
2 3
x y a
x y a a
+ = −

+ = + −
. Tìm a ñể xy nhỏ nhất. 
Bài 5: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình 2 2 2
1212 6 4 0x mx m
m
− + − + = . Tìm m sao cho 
3 3
1 2x x+ ñạt GTLN, GTNN. 
Bài 6: Xác ñịnh a ñể GTNN của hàm số [ ]2 24 4 2 trên 2;0y x ax a a= − + − − bằng 2. 
Bài 7: Cho phương trình ( )2 2 6 13 0 ( 1)x a x a a+ − + − = ≥ . Tìm a ñể nghiệm lớn của phương 
trình ñạt giá trị lớn nhất. 
Bài 8: Cho hàm số ( )22cos 2 2 sin cos 3sin 2y x x x x m= + + − + . Tính theo m giá trị lớn nhất và 
giá trị nhỏ nhất của hàm số. Từ ñó tìm m sao cho 2 36y x≤ ∀ . 
Bài 9: Cho x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 
1 1
x yP
y x
= +
+ +
Bài 10: Cho hàm số 2 2 2y x ax a= − + . Tìm a ñể GTNN của hàm số trên [-1; 0] bằng 3. 
Bài 11: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 
1. [ ]3 2( ) 3 9 1 trên 4;4f x x x x= + − + − . 2. [ ]3( ) 5 4 trên 3;1f x x x= + − − 
3. [ ]4 2( ) 8 16 trên 1;3f x x x= − + − 4. 2( ) 1f x x x= − 
5. ( )1( ) 2 trên 1;
1
f x x
x
= + + +∞
−
 6. [ ]( ) trên 2;4
2
xf x
x
= −
+
7. [ ]2 3 2 trên 10;10y x x= − + − 8. [ ]225 trên 4;4y x= − − 
9. 1 5trên ;
sin 3 6
y
x
pi pi 
=   
 10. ( )1 trên 0;
sin
y
x
pi= 
tæ to¸n _ Tr−êng THPT ®«ng h−ng hµ 
§Ò C−¬ng «n tËp khèi 12 Trang 3
11. 1 3trên ;
cos 2 2
y
x
pi pi 
=  
 
 12. 24
xy
x
=
+
 13. 4
1
1
y
x
=
+
Ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ l«garÝt. 
Ph−¬ng tr×nh , bÊt ph−¬ng tr×nh mò. 
Bµi 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 
a.
2x x 8 1 3x2 4− + −= b.
2 5x 6x
22 16 2
− −
= 
c. 1 22 .5 0.2.10x x x− −= d. x x 1 x 2 x x 1 x 22 2 2 3 3 3− − − −+ + = − + 
e. x x 1 x 22 .3 .5 12− − = f. 
2 7 122009 1x x− + = 
g.
22 x 1(x x 1) 1−− + = h. 2 x 2( x x ) 1−− = 
i.
22 4 x(x 2x 2) 1−− + = k. 2
2 23 5 2 4( 3) ( 6 9)x x x xx x x− + + −− = − + 
l.
5 17
7 332 0,25.128
x x
x x
+ +
− −
= m. 
31 15 .
5 125
x x
x
−
   
=   
   
Bµi 2:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 
a. 4x 8 2x 53 4.3 27 0+ +− + = b. 2x 6 x 72 2 17 0+ ++ − = 
 c . x x(2 3) (2 3) 4 0+ + − − = d. x x2.16 15.4 8 0− − = 
e. x x x 3(3 5) 16(3 5) 2 ++ + − = f. x x(7 4 3) 3(2 3) 2 0+ − − + = 
g. x x x3.16 2.8 5.36+ = h.
1 1 1
x x x2.4 6 9+ = 
i.
2 3x 3
x x8 2 12 0
+
− + = j. x x 1 x 2 x x 1 x 25 5 5 3 3 3+ + + ++ + = + + 
k. x 3(x 1) 1−+ = l, ( ) ( ) 10245245 =−++ xx 
m, ( ) ( ) 32531653 +=−++ xxx n, ( ) ( ) 02323347 =+−−+ xx 
t. ( ) ( ) 105 103 3 84x x−+ = u. 2 4 2 23 45.6 9.2 0x x x+ ++ − = 
Bµi 3: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau: 
a. 
6
x x 29 3 +< b. 
1 1
2x 1 3x 12 2− +≥ 
 c.
2x x
1 5 25
−
< < d. 2 x(x x 1) 1− + < 
e . x x3 9.3 10 0−+ − < f. x x x5.4 2.25 7.10 0+ − ≤ 
g.
x 1 x
1 1
3 1 1 3+
≥
− −
 h. 2 x x 1 x5 5 5 5++ < + 
i. x x x25.2 10 5 25− + > k. x x 2 x9 3 3 9+− > − 
ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh L«garÝt. 
Bµi 4: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: 
 a. ( ) ( )5 5 5log x log x 6 log x 2= + − + b. 5 25 0,2log x log x log 3+ = 
 c. ( )2xlog 2x 5x 4 2− + = d. 2 x 3lg(x 2x 3) lg 0x 1++ − + =− 
 e. 22log ( 4 7) 2x x− + = f. 3 1
3
log ( 2) log 2 1 0x x− + − = 
tæ to¸n _ Tr−êng THPT ®«ng h−ng hµ 
§Ò C−¬ng «n tËp khèi 12 Trang 4
 g. ( ) ( )1 log log 2 log 2 1 log 62 x x+ + + = h. 3 33 32log 1 log 17x xxx − −+ = −− 
 i. ( ) ( )2log 12 19 log 3 4 1x x x+ + − + = k. ( )3 3 3log 5 log 2 log 3 20 0x x− − − − = 
 l. 
( ) ( )log 2 19 log 3 20 1
log
x x
x
− − −
= − m. ( ) ( ) ( )23 1 9
3
log 2 54 log 3 2log 4x x x− + + = − 
Bµi 5: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 
 a.
1 2
1
4 lgx 2 lgx
+ =
− +
 b. 2 2log x 10 log x 6 0+ + = 
 c. 0,04 0,2log x 1 log x 3 1+ + + = d. x 16 23log 16 4 log x 2log x− = 
 e. 2 2xxlog 16 log 64 3+ = f.
3lg(lgx) lg(lgx 2) 0+ − = 
 g. 4 log 3 logx x− = h. ( ) ( )
log 6 1
2 3log 6 1
x
x
−
=
− −
 i. 2 2 12
2
log 3log log 2x x x+ + = k. 
2
2 2
2
log log 2 1
log 1
x x
x
− −
=
+
 l. ( ) ( )13 3log 3 1 .log 3 3 6x x+− − = m. ( ) ( )2 2 1log 100 log 10 14 logx x
x
− = + 
 n. 2 41 log 4log 2 4x x+ + − = t. 
2 6 2log log log 3 9x x− = − 
Bµi 6: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 
 a. ( )28log x 4x 3 1− + ≤ b. 3 3log x log x 3 0− − < 
 c. ( )21 4
3
log log x 5 0 − >
 
 d. ( ) ( )21 5
5
log x 6x 8 2 log x 4 0− + + − < 
 e. 1 x
3
5
log x log 3
2
+ ≥ f. ( )xx 9log log 3 9 1 − <  
 h. 1
3
4x 6
log 0
x
+ ≥ i. ( ) ( )2 2log x 3 1 log x 1+ ≥ + − 
j. 8 1
8
2
2log (x 2) log (x 3)
3
− + − > k. 3 1
2
log log x 0
 
≥  
 
l. 5 xlog 3x 4.log 5 1+ > m. 
2
3 2
x 4x 3
log 0
x x 5
− +
≥
+ −
n. 1 3
2
log x log x 1+ > o. ( )22xlog x 5x 6 1− + < 
p. ( )23x xlog 3 x 1− − > r. x 6 2
3
x 1
log log 0
x 2+
− 
> + 
 s. 22 2log x log x 0+ ≤ x, 265 3
1
3
1
2 +
−+
>
x
xx
tÝch ph©n _ øng dông tÝch ph©n 
A. Lý thuyÕt : 
 1. §Þnh nghÜa c¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n. 
tæ to¸n _ Tr−êng THPT ®«ng h−ng hµ 
§Ò C−¬ng «n tËp khèi 12 Trang 5
 2. 4 ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n. 
 3. C¸c c«ng thøc tÝnh S, Vox b»ng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n. 
B. Bµi tËp: 
Bµi 1. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 
1 3 2 2
2 3 2
3
0 0 1
1
2 2 22
3
0 1 0
1
12
2 2
0 0
1, 1 1
1
4, 2 1 2 1
41
17, 1
1
x
x x dx x x dx dx
x
dx x
x xdx dx
x x
xdx x x
x
− +
+
− −
+
+
−
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
 2, 3,
 5, 6, 
 8, 
1
2
0 5 6
dxdx
x x− +
∫ ∫ 9, 
Bµi 2. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 
3
3 82
5 5
2 2
0
4 8
4 2
2 3
2
0 0
1, sin tan
sin .cos
cos 2 sin 24, sin .cos
1 2sin 2 4 cos
dx
xdx xdx
x x
x xdx x xdx
x x
pi pipi
pi pi
pi pi
+ −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
 2, 3,
 5, 6, 
2
0
4 84 2
4 4
0 0
2
cos sin 2 sin 2 cos7,
sin cos sin 2 cos 2 1 cos
dx
x x x xdx dx dx
x x x x x
pi
pipi pi
pi
−
+ + +
∫
∫ ∫ ∫ 8, 9, 
Bµi 3. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 
3 1
cos 2 2
0 0 0
2 2
2
1 1 1
1, ( )sin 2 ln( 1) .
2 ln ln( 1)4, (2 1) ln
x x
e
x e xdx x x dx x e dx
x xdx x xdx
x x
pi
−+ +
+ +
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
 2, 3,
 5, 6, 
2
ln 2 6 2
sin
2
0 0 0
cos7, ( cos )cos
5 6 5sin sin
x
x
dx
dx xdx dx e x xdx
e x x
pi pi
+
+ − +
∫
∫ ∫ ∫ 8, 9, 
Bµi 4. TÝnhdiÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi miÒn h×nh ph¼ng (D) trong 
 c¸c tr−êng hîp sau ®©y: 
3 2
2
22
ln (2 cos )sin ; 0
; 03 1
1, 3
;1 1; 2 2
3 25 44,
3 2
x y x x yy yy x x x
x
x xy x
x x e
y x xx y y x
x y y x
pi pi
 = + = 
= == − + +  
  
= == +  = = 
 = − + + = = −
 
+ = = + 
 2, 3, 
 5, 6, 
2
2 2y x x


= −
Bµi 5. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sing ra do miÒn (D) quay quanh 
 trôc ox, trong c¸c tr−êng hîp sau: 
4 4
2 2
3
4sin 2 sin cos
1,
0; 0; ;54 2
2 24,
2 2 0
y x y x xy
x
y x y x xy x
y x y x y
x y y x
pi pi
pi
 =  = +
=  
  
= = = = =  = − + 
 = =
 
− + = = 
 2, 3, 
 5, 6, 
x
y x
 =

=
tæ to¸n _ Tr−êng THPT ®«ng h−ng hµ 
§Ò C−¬ng «n tËp khèi 12 Trang 6
PhÇn thÓ tÝch vËt thÓ 
Bµi 1.Chøng minh r»ng mét h×nh ®a diÖn cã c¸c mÆt ®Òu lµ tam gi¸c th× sè mÆt cña nã lµ sè 
 ch½n 
Bµi 2. Chøng minh r»ng nÕu mét h×nh ®a diÖn mµ ®Ønh nµo còng lµ ®Ønh chung cña ba c¹nh th× 
 sè ®Ønh lµ sè ch½n 
Bµi 3. Chøng minh r»ng h×nh ®a diÖn cã c¸c mÆt ®Òu lµ tam gi¸c vµ mçi ®Ønh ®Òu lµ ®Ønh chung 
 cña ba c¹nh th× ®a diÖn ®ã lµ tø diÖn 
Bµi 4. TÝnh thÓ tÝch h×nh hép ABCD.A’B’C’D’ biÕt r»ng AA’B’D’ lµ tø diÖn ®Òu c¹nh a 
Bµi 5. C¸c c¹nh cña l¨ng trô xiªn lÇn l−ît b»ng 18; 20; 34 cm c¹nh bªn hîp víi mÆt ®¸y gãc 
 lµ 300 vµ cã ®é dµi b»ng 12 cm. TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô 
Bµi 6. Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = 12 cm; BC = 20 cm; CA = 28 cm; C¸c c¹nh SA;AB;AC 
 ®Òu hîp víi ®¸y gãc 450. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp 
Bµi 7. TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ®Òu c¹nh a 
Bµi 8. Cho h×nh chãp S.ABC cã hai mÆt ABC vµ SBC lµ c¸c tam gi¸c ®Òu c¹nh a vµ n»m trong 
 hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi nhau. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp 
Bµi 9. Cho h×nh chãp S.ABC cã SA ⊥ AB; SA ⊥ BC; BC ⊥ AB; BA = a 3 ; BC = a 3 ; 
 SA = a. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp 
Bµi 10. Cho h×nh chãp S.ABC cã c¹nh bªn hîp víi m¹t ®¸y mét gãc b»ng 600. TÝnh thÓ tÝch 
 h×nh chãp 
Bµi 11. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD c¹nh ®¸y lµ a, c¹nh bªn hîp víi mÆt ®¸y 
 mét gãc b¨ng 600. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp 
Bµi 12. Mét l¨ng trô cã ®¸y lµ ngò gi¸c ®Òu néi tiÕp ®−êng trßn cã b¸n kÝnh r vµ ®é cao l¨ng 
 trô lµ r. TÝnh thÓ tÝch h×nh l¨ng trô 
Bµi 13.NÕu mét l¨ng trô tam gi¸c ®Òu cã ®¸y lµ a vµ cã chiÒu cao lµ 2a th× thÓ tÝch lµ bao 
 nhiªu? 
Bµi 14. Cho S.ABC ®Òu cã AB = a; gãc ASB b»ng 60 0.. 
Bµi 15. Cho l¨ng trô ®øng cã SA ⊥ (ABC); SA = a. Tam gi¸c SBC cã diÖn tÝch lµ S; gãc gi÷a 
 hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABC) b»ng α . TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp 
Bµi 17. Cho S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt. Hai mÆt (SAB) vµ (SAD) cïng vu«ng gãc 
 víi ®¸y (ABCD), biÕt SA = 2a; AB = a; BC = 3a. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp 
Bµi 18. Cho l¨ng trô ®øng ABC.A’B’C’ cã ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A; mÆt bªn BB’C’C lµ 
 h×nh vu«ng cã diÖn tÝch lµ 2a2. TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô 
Bµi 19. Cho tø diÖn ABCD cã AB ⊥ CD; IJ lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña AB vµ CD; biÕt 
 AB = 5; CD = 7; IJ = 12. TÝnh thÓ tÝch tø diÖn 
Bµi 20. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh b»ng a. LÊy E; F lµ trung ®iÓm cña 
 C’D’ vµ C’B’. TÝnh thÓ tÝch h×nh lËp ph−¬ng 
Bµi 21. Cho tø diÖn ABCD cã AB = CD = a; CA = BD = b; AD = BC = c. TÝnh thÓ tÝch tø diÖn 
Bµi 22. Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’. TÝnh tû sè thÓ tÝch cña tø diÖn ACBB’ vµ h×nh hép 
Bµi 23. Cho l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A’B’C’ cã c¸c c¹nh b»ng a. AA’ ⊥ (ABC). TÝnh thÓ tÝch 
 h×nh chãp A’BB’C 
Bµi 24. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a. Gäi M lµ trung ®iÓm cña CD; N lµ trung 
 ®iÓm cña A’D’. TÝnh thÓ tÝch MNB’C 
Bµi 25. Cho tø diÖn ®Òu ABCD. Gäi M;N lµ trung ®iÓm cña CD vµ BD. Gäi 1 2;V V lµ thÓ tÝch 
 cña ADMN vµ ADCMN. TÝnh tû sè 1
2
V
V
Bµi 26. Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A’B’C’; mét mÆt ph¼ng qua A’B’ vµ trung ®iÓm cña AB chia 
 l¨ng trô lµm hai phÇn. T×nh tû sè thÓ tÝch cña hai phÇn ®ã 
Bµi 27. Cho h×nh chãp S.ABC; gäi G lµ träng t©m tam gi¸c SBC, mÆt ph¼ng (P) qua G vµ song 
 song víi (ABC) c¾t SA, SB, SC t¹i A’; B’; C’. T×m 
' ' '
.
.
S A B C
S ABC
V
k
V
= 
tæ to¸n _ Tr−êng THPT ®«ng h−ng hµ 
§Ò C−¬ng «n tËp khèi 12 Trang 7
MÆt trô: 
Bµi 1. Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy là a, chiều cao 2a. Gọi O và 
 O’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A’B’C’. 
a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay tạo thành 
khi quay ñường gấp khúc OAA’O’ quanh OO’. 
b. Tính tỉ số thể tích của lăng trụ và hình trụ nói trên. 
Bµi 2. Cắt một hình trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng qua trục ta ñược thiết diện là một 
 hình vuông cạnh a. 
a. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ ñó. 
b. Một thiết diện song song với trục của hình trụ có diện tích bằng nửa thiết diện 
 ñi qua trục. Tính khoảng cách từ tâm mặt ñáy của hình trụ ñến thiết diện ñó. 
Bµi 3. Cho một hình trụ tròn xoay có hai ñáy là hai hình tròn (O) và (O’) bán kính R. 
 AB và CD lần lượt là hai dây cung song song và bằng nhau của hai ñường tròn 
 (O) và (O’). Mặt phẳng (ABCD) không song song và không chứa OO’. 
a. Chứng minh rằng ABCD là một hình chữ nhật. 
b. Cho AB CD R 2= = và góc giữa mp(ABCD) và ñáy bằng 300. Tính diện tích 
 xung quanh và thể tích của hình trụ nói trên. 
c. Cho ROO'
2
=
 và ABCD là hình vuông. Tính diện tích của hình vuông ABCD. 
Bµi 4. Cho một hình trụ có hai ñáy là hai hình tròn (O) và (O’) bán kính R. ðiểm A nằm 
 trên ñường tròn (O), ñiểm B nằm trên ñường tròn (O’) sao cho OA ⊥ OB, chiều 
 cao của hình trụ là R 2 . Chứng minh rằng tứ diện OABO’ có các mặt là các tam 
 giác vuông. Tính tỉ số thể tích của tứ diện OABO’ và hình trụ ñã cho. 
MÆt nãn: 
Bµi 1. Cho hình chóp ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) 
 và (ABCD) bằng 600. Tính diện tích xung quanh của hình nón ñỉnh S và ñáy là 
 ñường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. 
Bµi 2. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác ñều có cạnh bằng 2a. 
a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón giới hạn bởi hình 
 nón ñó. 
b. Mặt phẳng (P) qua ñỉnh của khối nón và cắt khối nón theo thiết diện là một 
 tam giác, biết khoảng cách từ tâm của ñáy khối nón ñến (P) là a/2. Tính diện tích 
 của thiết diện ñó. 
Bµi 3. Cho tam giác SAB vuông tại A, 
 0SBA 30= , SB = a. Quay tam giác SAB quanh 
 trục SA, ñường gấp khúc SBA tạo thành một hình nón. 
a. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón. 
b. Một mặt phẳng qua S cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có diện tích 
 là 
2a
2
. Tính góc hợp bởi thiết diện và ñáy của hình nón. 
MÆt cÇu: 
Bµi 1. Cho tam giác ñều ABC có cạnh bằng 2a ngoại tiếp ñường tròn (I), M là trung 
 ñiểm của BC. Khi quay tam giác ABC quanh trục là ñường thẳng AM thì ñường 
 gấp khúc ABM tạo thành một hình nón tròn xoay, ñường tròn (I) tạo thành một 
 mặt cầu. 
a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và diện tích mặt cầu nói trên. 
tæ to¸n _ Tr−êng THPT ®«ng h−ng hµ 
§Ò C−¬ng «n tËp khèi 12 Trang 8
b. Tính tỉ số thể tích của khối nón và khối cầu ñược tạo bởi hình nón và mặt cầu 
 nói trên. 
Bµi 2. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA a 3= , tam giác ABC vuông tại B có 
 BC = a và 
 0ACB 60= . Tính thể tích khối chóp và diện tích mặt cầu ngoại tiếp 
 hình chóp S.ABC. 
Bµi 3. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, mặt bên tạo với ñáy một 
 góc 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ñã cho và thể tích khối cầu 
 tương ứng . (Tham khảo bài 2/98/HD_OTTNTHPT ) 
Bµi 4.Cho mặt cầu tâm O bán kính R, một hình trụ có hai ñường tròn ñáy nằm trên mặt 
 cầu nói trên. Gọi a là khoảng cách từ O ñến ñáy của hình trụ. Tính thể tích của 
 khối trụ giới hạn bởi hình trụ nêu trên theo R và a. Tìm a ñể diện tích xung quanh 
 của hình trụ ñạt giá trị lớn nhất.