Đề cương ôn tập TN THPT môn Toán - THPT Đông Hưng Hà

THPT Đông Hưng Hà 
Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên. Page 1 
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Bài 1: Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau: 
 1. 4 22 3y x x= − + 2. 32 6 2y x x= − + 3. 
3 1
1
x
y
x
+
=
− 
 4. 
2 1
1
x x
y
x
− +
=
− 
 5. 2 1 5y x x= − − − 6. 21 4y x x= + − − 
Bài 2: Chứng minh rằng: 
 1. tan sinx x> với 0;
2
x
π ∈ 
 
. 2. 
2
1
2
x xe x> + + với x > 0 
 3. 
2
1 1 1
2 8 2
x x x
x+ − 0. 4. 
3
sin
3!
x
x x− 0. 
Bài 3: Tìm m để các hàm số sau đây đồng biến trên R. 
 1. ( ) ( )
3
2 6 2 1
3
x
y mx m x m= + + + − + . 2. ( ) ( )3 22 1 2 2y mx m x m x= − − + − − . 
Bài 4: Tìm m để hàm số ( )2 3 25 6 6 6y m m x mx x= − − + + − đơn điệu trên R. Khi đó hàm số 
đồng biến hay nghịch biến? Tại sao? 
Bài 5: Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. 
 1. ( ) 3 21 1 2 1
3
y m x mx mx= + − + + 2. 3 23 3y mx mx x= − + − 
 3. 3 2
1
3
y mx mx x= − + − 4. 
4mx
y
x m
+
=
+
Bài 6: Ứng dụng sự biến thiên hàm số giải các phương trình, hệ phương trình sau: 
 1. 24 1 4 1 1x x− + − = 2. 3 1 3 3 0x x− − + = 
 3. 
( )
( )
2
2 2
2
1
2 1
1 1
2 2
1
2 2
x y
y
x x y y
x y
y x
x
 = +
⇒ + + = + +
 = +

HD: Từ các phương trình ta có x ≥ 1, y ≥ 1. Xét hàm số ( ) 2 12f t t t
t
= + + trên [1; +∞). Ta có: 
( ) 2
1
' 4 1 0, [1; )f t t t
t
= + − > ∀ ∈ +∞ . Do đó hàm số f(t) đồng biến trên [1; +∞). 
f(x) = f(y) ⇔ x = y. 
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: 
 1. ( )23 1y x x= − 2. 3 22 3 36 10y x x x= + − − 3. 4 25 4y x x= − + 
 4. 236y x x= − 5. ( )sin cos , ;y x x x π π= + ∈ − 6. sin 2y x= 
 7. 2siny x= 8. cos siny x x= − 9. 
2 2 3
1
x x
y
x
− +
=
−
Bài 2: Cho hàm số: ( )
2 2
1
1
x x
y
x
+
=
−
 1. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). 
 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó. 
THPT Đông Hưng Hà 
Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên. Page 2 
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi m hàm số 
2 2( 1)x m
y
x m
− −
=
−
 luôn có cực đại và cực tiểu. 
Bài 4: Cho hàm số ( )3 2 21 1 1
3
y x mx m m x= − + − + + . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại 1x = . 
Bài 5: Cho hàm số 4 2
1 3
2 2
y x x= − − + . 
 1. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số. 
 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 4 22 0x x m+ + = . 
Bài 6: Cho hàm số 3 22 3 1y x x= − + 
 1. Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số. 
 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 22 3 0x x m− − = . 
Bài 7: Cho hàm số ( ) ( )3 21 11 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − + . Tìm m để: 
 1. Hàm số có cực trị. 
 2. Hàm số có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn: 1 22 1x x+ = . 
 3. Hàm số đạt cực đại tại x = 0. 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 44 3y x x= − . 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )2 2 0y x x
x
= + > . 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 
1. 2 4y x x= − + − . 2. ( )4y x x= − 
3. 22y x x= + − 4. [ ]1 9 trên 3;6y x x= − + − 
5. 
22cos cos 1
cos 1
x x
y
x
+ +
=
+
 6. 
6 6
4 4
1 sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
+ +
=
+ +
7. [ ]sin( ) trên 0;
2 cos
x
f x
x
π=
+
 8. ( ) sin 2 trên ;
2 2
f x x x
π π = − −  
9. 
cos
( ) trên ;
2 sin 2 2
x
f x
x
π π = − +  
 10. 
2
x
y
x
=
+
 trên [-1; 4] 
Bài 4: Giả sử (x; y) là nghiệm của hệ 
2 2 2
2 1
2 3
x y a
x y a a
+ = −

+ = + −
. Tìm a để xy nhỏ nhất. 
Bài 5: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình 
2 2
2
12
12 6 4 0x mx m
m
− + − + = . Tìm m sao cho 
3 3
1 2x x+ đạt GTLN, GTNN. 
Bài 6: Xác định a để GTNN của hàm số [ ]2 24 4 2 trên 2;0y x ax a a= − + − − bằng 2. 
Bài 7: Cho phương trình ( )2 2 6 13 0 ( 1)x a x a a+ − + − = ≥ . Tìm a để nghiệm lớn của phương 
trình đạt giá trị lớn nhất. 
Bài 8: Cho hàm số ( )22cos 2 2 sin cos 3sin 2y x x x x m= + + − + . Tính theo m giá trị lớn nhất và 
giá trị nhỏ nhất của hàm số. Từ đó tìm m sao cho 2 36y x≤ ∀ . 
Bài 9: Cho x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 
THPT Đông Hưng Hà 
Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên. Page 3 
1 1
x y
P
y x
= +
+ +
HD: 
2 2
2
xy
P
xy
−
=
+
. Đặt xy = t với 
1
0
4
t≤ ≤ . Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
2 2
2
t
P
t
−
=
+
 trên 
đoạn [0; ¼]. 
Bài 10: Cho hàm số 2 2 2y x ax a= − + . Tìm a để GTNN của hàm số trên [-1; 0] bằng 3. 
Bài 11: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 
1. [ ]3 2( ) 3 9 1 trên 4;4f x x x x= + − + − . 2. [ ]3( ) 5 4 trên 3;1f x x x= + − − 
3. [ ]4 2( ) 8 16 trên 1;3f x x x= − + − 4. 2( ) 1f x x x= − 
5. ( )1( ) 2 trên 1;
1
f x x
x
= + + +∞
−
 6. 
24
x
y
x
=
+
7. [ ]2 3 2 trên 10;10y x x= − + − 8. [ ]225 trên 4;4y x= − − 
9. 
1 5
trên ;
sin 3 6
y
x
π π =   
 10. ( )1 trên 0;
sin
y
x
π= 
CÁC BÀI TOÁN VỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
Bài 1: Cho hàm số 3 3y x mx m= − + − có đồ thị (Cm). 
 1. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -1. 
 2. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = - 1. 
 3. Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2
6
x
y = + . 
 4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 3 3x x k+ = . 
Bài 2: Cho hàm số 4 2
1 3
2 2
y x mx= − + . 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. 
 2. Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm k để phương trình 4 26 3 0x x k− + − = có 4 nghiệm phân biệt. 
Bài 3: Cho hàm số 
3 2
1
x
y
x
−
=
−
. 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng 2y mx= + cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm 
phân biệt. 
Bài 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 3 23 4y x x= + − . 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 
 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 
 a. Tại điểm có tung độ triệt tiêu. 
 b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x. 
 c. Biết tiếp tuyến đi qua điểm ( )3; 4A − − 
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số. 
Bài 5: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 
3 21 1
3 2 3
m
y x x= − + . 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2. 
 2. Gọi M là điểm trên (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M vuông 
góc với đường thẳng 5 0x y+ = . 
Bài 6: 
THPT Đông Hưng Hà 
Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên. Page 4 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 22 9 12 4y x x x= − + − . 
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 3 22 9 12x x x m− + = . 
Bài 7: Cho hàm số 
2
1
x
y
x
=
+
. 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại hai 
điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 
1
4
. 
 3. Xác định m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y x m= − tại hai điểm phân biệt thuộc hai 
nhánh của đồ thị. 
Bài 8: Cho hàm số 3 23 4y x x= − + . 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
 2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > -3) đều cắt 
đồ thị hàm số nói trên tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB. 
 3.Trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số nói trên. Hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 
Bài 9: Cho hàm số ( )3 23 2y x x mx m Cm= − − − − + . 
 1. Tìm tọa độ điểm cố định mà đồ thị (Cm) luôn đi qua với mọi m. 
 2. Tìm m để (Cm) có cực đại tại x = -1. 
 3. Với giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có 1 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu và các điểm cực 
trị đó có hoành độ trái dấu? 
Bài 10: Cho hàm số 
2
2
x
y
x
+
=
−
. 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị và trục Ox. 
3. Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục tọa độ. 
4. Tìm trên đồ thị hàm số các điểm có tọa độ nguyên. 
5. Tìm m để đồ thị hàm số và đường thẳng y = -x + m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B 
sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 15/2. Với I là giao điểm của hai đường tiệm cận. 
6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến với đồ thị tại điểm 
có hoành độ bằng 3 và điểm có tung độ bằng 2. 
Bài 11: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + 3. 
Tìm m để phương trình 4 2 24 3 2x x m m− + = − có 4 nghiệm phân biệt. 
Bài 12: Cho hàm số 
2
1
x
y
x
−
=
−
. 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2. Tìm trên đồ thị (C) những điểm cách đều hai điểm A(0 ; 0) và B(2 ; 2). 
Bài 13: Cho hàm số 
1
1
x
y
x
+
=
−
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2. Chứng minh rằng đường thẳng d: 2y x m= + luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A 
và B. Tìm m để AB nhỏ nhất. 
THPT Đông Hưng Hà 
Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên. Page 5 
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: 
 1. 
9
125 7
1 1
log 4 log 8 log 24 281 25 .49P
− 
= + 
 
 2. 3 3
2 2
log 405 log 75
log 14 log 98
Q
−
=
−
 3. 33 9 27 3E = 4. 5 32 2 2C = 
 5. 
1
5 13 7 1 1 2
3 32 4 4 23 .5 : 2 : 16 : 5 .2 .3A
−      
=      
       
 6. ( )
2 2 3 3
1 1 4 5 2
0,25 . 25 : :
4 3 4 3
B
− −
−         = +         
         
 7. Cho ( ) ( )1 12 3 , 2 3a b− −= + = − . Tính ( ) ( )1 11 1A a b− −= + + + 
Bài 2. Chứng minh rằng nếu 
2 2 7
0, 0
a b ab
a b
 + =

> >
 thì ( )7 7 7
1
log log log
3 2
a b
a b
+
= + . 
Bài 3. a. Cho 2 3log 3 ,log 7a b= = . Tính 21log 98 . 
 b. Cho 2 3log 5 , log 16a b= = . Tính 45log 50 . 
c. Cho 3 3log 50 ,log 60a b= = . Tính 25log 80 . 
Bài 4: Chứng minh rằng: 
2 ln ln
x y x y
x y
+ −
>
−
 ∀x > y > 0 
HD: Do x > y > 0, lnx > lny ⇔ lnx − lny > 0, nên biến đổi bất đẳng thức 
⇔ 
1
ln ln 2 ln 2
1
x
x y x y
x y
xx y y
y
−
−
− > ⋅ ⇔ > ⋅
+ +
 ⇔ 
1
ln 2
1
t
t
t
−
> ⋅
+
 với 
x
t
y
= >1. Xét hàm số 
1
( ) ln 2 0
1
t
f t t
t
−
= − ⋅ >
+
 trên [1; +∞). 
Bài 5. Chứng minh rằng: b aa b b ≥ e 
HD: ab < ba ⇔ lnab < lnba ⇔ blna < alnb ⇔ 
ln lna b
a b
< . Xét hàm f(x) = 
ln x
x
 ∀x ≥ e. 
Bài 6. Chứng minh rằng ( ) ( )1 12 2 , 02 2
b a
a b
a b
a b+ ≤ + ∀ ≥ > 
HD: Biến đổi bất đẳng thức ( ) ( )1 1 1 4 1 42 22 2 2 2
b ab a a b
a b
a b a b
   + ++ ≤ + ⇔ ≤   
    
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln 1 4 ln 1 41 4 1 4 ln 1 4 ln 1 4
a bb a b a
a b a b
a b
+ +⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤ . 
Xét hàm số đặc trưng cho hai vế ( )
( )ln 1 4xf x
x
+= với 0x > . 
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT. 
PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ. 
Bài 1: Giải phương trình: 
1. 
2 8 1 32 4x x x− + −= 2. 
2 56
22 16 2
x x− −
= 
3. 1 22 .5 0.2.10x x x− −= 4. 1 2 1 22 2 2 3 3 3x x x x x x− − − −+ + = − + 
5. 1 22 .3 .5 12x x x− − = 6. 
2 7 122009 1x x− + = 
THPT Đông Hưng Hà 
Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên. Page 6 
7. 
5 17
7 332 0,25.128
x x
x x
+ +
− −= 8. 
3
1 1
5 .
5 125
x x
x
−
   =   
   
Bài 2: ...  cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. 
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc 
600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho và thể tích khối cầu tương ứng . 
(Tham khảo bài 2/98/HD_OTTNTHPT ) 
Bài 4. Cho mặt cầu tâm O bán kính R, một hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu nói 
trên. Gọi a là khoảng cách từ O đến đáy của hình trụ. Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình 
trụ nêu trên theo R và a. Tìm a để diện tích xung quanh của hình trụ đạt giá trị lớn nhất. 
BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ THỂ TÍCH 
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi M, N 
lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN biết rằng 
(AMN) và (SBC) vuông góc. 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi H, K là 
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Biết rằng AB = a, 2SA a= tính thể tích khối chóp 
OAHK. 
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, trung tuyến AD = a. Hai mặt 
bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 
600 và hợp với mặt phẳng (SAD) một góc 450. 
 1. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khối chóp S.ABD. 
 2. Tính khoảng cách từ A đến (SBC). 
THPT Đông Hưng Hà 
Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên. Page 15 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Phương trình mặt phẳng: 
Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2;1;-1), B(-1;0;-4), C(0;-2;-1). 
 1. Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C. 
 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC. 
Bài 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;1;-1) và B(-1;3;-5). Viết 
phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. 
Bài 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và 
đi qua điểm P(4;-1;2). 
Bài 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng song song với 
mặt phẳng (P): 3x – 4y + 1 = 0 và đi qua điểm A(3; 2; -1). 
Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 3 4 1 0x y z− + − = . Viết 
phương trình mặt phẳng chứa Oy và vuông góc với mặt phẳng (P). 
Bài 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2 0x y z− + − = và hai điểm 
A(1;2;-3), B(5;-1;0). Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P). 
Bài 7: Xét vị trí tương đối giữa các mặt phẳng sau: 
1. 2 3 5 1 0 3 3 2 0x y z và x y z− + + = − + + = 
2. 2 3 4 1 0 4 6 8 3 0x y z và x y z+ − + = + − + = 
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 2 3 1 0mx y z− + − = và (Q): 
2 4 3 0x ny z+ − + = . Tìm m và n để (P)//(Q). Khi đó tính khoảng cách giữa (P) và (Q). 
Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): 2 2 2 4 2 4 7 0x y z x y z+ + − + + − = 
và mặt phẳng (P): 3 4 5 0x y− + = . Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song với 
(P). 
Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 4 0x y z x y z+ + − − − = . 
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại O(0;0;0). 
Bài 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2 2 5 0x y z− + − = và điểm 
I(2;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng đối xứng với (P) qua I. 
Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(5;0;0) và M(1;1;1). Viết phương trình 
mặt phẳng đi qua M và cắt Ox tại điểm A, cắt Oy tại điểm B, cắt Oz tại điểm C sao cho tam 
giác ABC có diện tích bằng 5 (đvdt). 
Phương trình đường thẳng: 
Bài 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng a: 
 1. Đi qua hai điểm A(1;2;5) và B(2;3;7). 
 2. Đi qua điểm A(-2;1;3) và có vectơ chỉ phương ( )3; 2;4u = −

. 
 3. Đi qua điểm A(-1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3 2 5 3 0x y z− + − = . 
Bài 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: 
 1. 1 2
1 2 2 3 '
: 2 và : 1 2 '
2 2 3 4 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= − = + 
 
= + = − − 
 = − + = + 
 2. 1 2
1 2 1 1 2 3
: và :
2 3 1 2 1 3
x y z x y z
d d
− − + + − −
= = = =
− −
Bài 3: Cho hai mặt phẳng (P): 3 2 1 0x y z− + − = và (Q): 2 3 0x y z+ − − = . Chứng minh rằng 
(P) và (Q) cắt nhau. Viết phương trình đường giao tuyến chung của (P) và (Q). 
Bài 4: Cho điểm M(2;-1;2) và hai mặt phẳng (P): 2 3 1 0x y z− + − = và (Q): 2 2 3 0x y z+ − + = . 
Chứng minh rằng (P) và (Q) chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và song song 
với hai mặt phẳng (P) và (Q). 
THPT Đông Hưng Hà 
Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên. Page 16 
Bài 5: Cho điểm M(2;-1;0) và mặt phẳng (P): 1 0x y z− + + = . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc 
của M trên mặt phẳng (P). 
Bài 6: Cho điểm M(0;-1;0) và đường thẳng (d): 
2 2
3
1
x t
y t
z t
= − −

= − +
 = +
. Tìm hình chiếu của M trên (d). 
Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng (d): 
2 2
3 2
2
x t
y t
z t
= −

= +
 = − +
 và vuông góc với mặt 
phẳng (P): 2 1 0x y z− + + = . 
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng (∆) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d): 
1
1 2
3 4
x t
y t
z t
= − +

= −
 = +
 trên mặt phẳng (P): 2 1 0x y z− + − = . 
Bài 9: Cho hai đường thẳng 1 2
2 1 2
: 1 và : 1
2 3
x t x s
d y t d y s
z t z
= = + 
 
= − = + 
 = − + = 
. 
 1. Chứng minh hai đường thẳng trên chéo nhau. 
 2. Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): 7 4 0x y z+ − = và cắt 
cả hai đường thẳng trên. 
Bài 10: Cho đường thẳng (d): 
2 3 1
2 3 1
x y z− + +
= =
−
 và điểm M(1;0;-1). Viết phương trình mặt 
phẳng (M, d). 
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2;3), cắt và vuông góc với đường thẳng 
1 2
: 1 3
x t
d y t
z t
= +

= −
 =
. 
Bài 12: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;0;1), song song với (P): 3 0x y z− + + = và 
cắt đường thẳng (d): 
1
2
x t
y t
z t
= +

= −
 =
. 
Bài tập tổng hợp: 
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2 0x y z+ − = . 
 1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua O và song song với (P). 
 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆) qua O và vuông góc với (P). 
 3. Tính khoảng cách từ điểm A(1;2;3) đến (P). 
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) và D(5;3;-1). 
 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. 
 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (P). 
 3. Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với (P). 
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;-2;0) và C(0;0;3). 
 1. Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. 
 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. 
THPT Đông Hưng Hà 
Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên. Page 17 
 3. Hãy lấy một điểm M ∈ (P) và khác A, B, C. Viết phương trình đường thẳng qua M và 
vuông góc với (P). 
Bài 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2). 
 1. Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện. 
 2. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm 
của chúng. 
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm I(1;2;3) và mặt phẳng (P): 2 2 4 0x y z− − − = . 
 1. Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với (P). 
 2. Tìm tọa độ tiếp điểm của chúng. 
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;4). 
 1. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O, A, B, C. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của 
mặt cầu ấy. 
 2. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 
 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC). 
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(0;0;1), B(-1;0;2) và C(3;1;0). 
 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với BC. 
 2. Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng (P) với đường thẳng BC. 
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh là A(3;0;0), 
B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) và đỉnh D là đỉnh đối diện của đỉnh O. 
 1. Tìm tọa độ đỉnh D và viết phương trình mặt phẳng (ABD). 
 2. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABD). 
 3. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD). 
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2 3 4 5 0x y z− + − = và mặt cầu (S): 
2 2 2 3 4 5 6 0x y z x y z+ + + + − + = . 
 1. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S). 
 2. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hãy xác 
định tâm và bán kính r của đường tròn ấy. 
Bài 10: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0), B(1;1;1) và 
1 1 1
C ; ;
3 3 3
 
 
 
. 
 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với OC tại C. 
 2. Chứng minh rằng O, B, C thẳng hàng. 
 3. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm B bán kính 2r = . Xét VTTĐ của (S) và (P). 
 4. Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên 
mặt phẳng (P). 
Bài 11: Cho A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng 
1
: 2
2
x t
y t
z t
= −

∆ = − +
 =
. Gọi G là trọng tâm ∆ABO. 
 1. Lập phương trình đường thẳng (d) qua G và vuông góc với mặt phẳng (ABO). 
 2. Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho 2 2MA MB+ nhỏ nhất. 
Bài 12: Cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng 1 2
2 2 1 '
: 2 và : 1 2 '
3 1 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = − 
 
= − − = + 
 = + = − + 
. 
 1. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d1. 
 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2. 
THPT Đông Hưng Hà 
Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên. Page 18 
Bài 13: Cho mặt phẳng (P): 2 2 9 0x y z+ − + = và đường thẳng 
1
: 3 2
3
x t
d y t
z t
= −

= − +
 = +
. 
 1. Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng 2. 
 2. Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P), đi 
qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d. 
Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0) và B’(4;0;4). 
 1. Tìm tọa độ các đỉnh A’ và C’. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt 
phẳng (BCC’B’). 
 2. Gọi M là trung điểm của A’B’. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và 
song song với đường thẳng BC’. 
 3. Gọi N là giao điểm của (P) và đường thẳng A’C’. Tính MN. 
Bài 15: Cho hai đường thẳng d: 
1 2
2
3
x t
y t
z t
= +

= −
 = −
, d’: 
2 '
1 '
3 2 '
x t
y t
z t
= −

= +
 = +
, điểm A(1; 1; 2) và mặt phẳng (P) 
có phương trình: x - 2y + z - 1 = 0. 
 1. Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song 
với hai đường thẳng d và d’. 
 2. Chứng minh A nằm trên (P), tìm tọa độ giao điểm B của đường thẳng d và (P). 
 3. Viết phương trình đường thẳng a cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d và d’. 
 4. Viết phương trình đường thẳng d1 là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên (P). 
 5. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), ∆ song song với d1 và cách d1 một 
khoảng bằng 83 . 
 6. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm D(2; -7; -15), (Q) vuông góc với (P) và 
cách đều hai điểm A, B.