Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - GTLN, GTNN của modun số phức

https://toanmath.com/ 
GTLN - GTNN CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC
A. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC
I. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM
MỘT BIẾN
1. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện T. Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ 
nhất, lớn nhất 
Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được hàm một biến. 
Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được. 
II. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT
BIỂU THỨC HAI BIẾN MÀ CÁC BIẾN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Để giải được lớp bài toán này, chúng tôi cung cấp cho học sinh các bất đẳng thức cơ bản như: Bất đẳng
thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình
học và một số bài toán công cụ sau:
UBÀI TOÁN CÔNG CỤ 1:U 
Cho đường tròn ( )T cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường 
tròn ( )T . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất. 
UGiải: 
TH1: A thuộc đường tròn (T) 
Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A 
 AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I 
TH2: A không thuộc đường tròn (T) 
Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T); 
Giả sử AB < AC. 
+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: 
AM AI IM AI IB AB≥ − = − = . 
 Đẳng thức xảy ra khi M B≡ 
AM AI IM AI IC AC≤ + = + = . 
Đẳng thức xảy ra khi M C≡
+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), 
ta có: 
AM IM IA IB IA AB≥ − = − = . 
Đẳng thức xảy ra khi M B≡ 
AM AI IM AI IC AC≤ + = + = . 
Đẳng thức xảy ra khi M C≡ 
Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị nhỏ nhất. 
Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất. 
UBÀI TOÁN CÔNG CỤ 2:U 
Cho hai đường tròn 1( )T có tâm I, bán kính RR1R; đường tròn 2( )T có tâm J, bán kính RR2R. Tìm vị trí 
của điểm M trên 1( )T , điểm N trên 2( )T sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 
https://toanmath.com/ 
UGiải: 
Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; 
d cắt đường tròn 1( )T tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt 2( )T tại hai điểm phân biệt C, D 
( giả sử ID > IC). 
Với điểm M bất khì trên 1( )T và điểm N bất kì trên 2( )T . 
 Ta có: 1 2MN IM IN IM IJ JN R R IJ AD≤ + ≤ + + = + + = . 
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D
1 2MN IM IN IJ IM JN IJ R R BC≥ − ≥ − − = − + = . 
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C. 
Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt 
giá trị lớn nhất. 
 khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. 
UBÀI TOÁN CÔNG CỤ 3:U 
Cho hai đường tròn ( )T có tâm I, bán kính R; đường thẳng ∆ không có điểm chung với ( )T . Tìm vị 
trí của điểm M trên ( )T , điểm N trên ∆ sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất. 
UGiải: 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d 
Đoạn IH cắt đường tròn ( )T tại J 
Với M thuộc đường thẳng ∆ , N thuộc đường tròn ( )T , ta có: 
MN IN IM IH IJ JH const≥ − ≥ − = = . 
Đẳng thức xảy ra khi ;M H N I≡ ≡ 
Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. 
B – BÀI TẬP 
Câu 1. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện 3 2 .z i z i+ = + − Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? 
 A. 1 2
5 5
z i= − + . B. 1 2
5 5
z i= − . C. 1 2z i= − + . D. 1 2z i= − . 
Câu 2. Trong các số phức z thỏa mãn 2 4 2z i z i− − = − . Số phức z có môđun nhỏ nhất là 
 A. 3 2z i= + B. 1z i= − + C. 2 2z i= − + D. 2 2z i= + 
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn 1− = −z z i . Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức w 2 2= + −z i . 
 A. 3 2
2
. B. 3
2
. C. 3 2 . D. 3
2 2
. 
Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn 3 4 1z i− − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . 
 A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . 
https://toanmath.com/ 
Câu 5. Cho hai số phức 1z , 2z thỏa mãn 1 3 5 2z i− + = và 2 1 2 4iz i− + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
thức 1 22 3T iz z= + . 
 A. 313 16+ . B. 313 . C. 313 8+ . D. 313 2 5+ . 
Câu 6. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 1 2z i z i+ − = + − , hãy tìm phần ảo của số phức có 
môđun nhỏ nhất? 
 A. 10
13
. B. 2
5
. C. 2− . D. 2
13
− . 
Câu 7. Xét các số phức 1 3 4z i= − và 2 2z mi= + , ( )m∈ . Giá trị nhỏ nhất của môđun số phức 2
1
z
z
 bằng? 
 A. 2
5
. B. 2 . C. 3 . D. 1
5
. 
Câu 8. Số phức z nào sau đây có môđun nhỏ nhất thỏa | | | 3 4 |z z i= − + : 
 A. 3 2
2
z i= − − . B. 73
8
z i= − .
 C. 
3 2
2
z i= +
.
 D. 3 – 4z i= − . 
Câu 9. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn ( )1 8z m i− − + = và 
1 2 3z i z i− + = − + . 
 A. 66 . B. 130 . C. 131. D. 63. 
Câu 10. Cho các số phức z thoả mãn 2=z . Đặt ( )1 2 1 2= + − +w i z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w . 
 A. 2 . B. 3 5 . C. 2 5 . D. 5 . 
Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn 1 1z i− − = , số phức w thỏa mãn 2 3 2w i− − = . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của z w− . 
 A. 17 3+ B. 13 3+ C. 13 3− D. 17 3− 
Câu 12. Cho số phức 
( )
,
1 2
m iz m
m m i
− +
= ∈
− −
 . Tìm môđun lớn nhất của .z 
 A. 2. B. 1. C. 0. D. 1
2
. 
Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn 1 3z i z i+ − = − . Tính môđun nhỏ nhất của z i− . 
 A. 3 5
10
. B. 4 5
5
. C. 3 5
5
. D. 7 5
10
. 
Câu 14. Cho số phức z thoả mãn 3 4 5z i− − = . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 2 22P z z i= + − − . Tính môđun của số phức .w M mi= + 
 A. 2 309w = . B. 2315w = . C. 1258w = . D. 3 137w = . 
Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn 1 2 3z i− + = . Tìm môđun lớn nhất của số phức 2 .z i− 
 A. +26 8 17 . B. −26 4 17 . C. +26 6 17 . D. −26 6 17 . 
Câu 16. Giả sử 1z , 2z là hai trong số các số phức z thỏa mãn 2 1iz i+ − = và 1 2 2z z− = . Giá trị lớn 
nhất của 1 2z z+ bằng 
https://toanmath.com/ 
 A. 3 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 4 . 
Câu 17. Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn 2z i− ≥ và 1 4z + ≤ . Gọi 1 2,z z T∈ lần lượt 
là các số phức có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất trong T . Khi đó 1 2z z− bằng: 
 A. 4 i− . B. 5 i− . C. 5 i− + . D. 5− . 
Câu 18. Trong tập hợp các số phức, gọi 1z , 2z là nghiệm của phương trình 
2 2017 0
4
z z− + = , với 2z có 
thành phần ảo dương. Cho số phức z thoả mãn 1 1z z− = . Giá trị nhỏ nhất của 2P z z= − là 
 A. 2016 1
2
− . B. 2017 1− . C. 2016 1− . D. 2017 1
2
− . 
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn . 1z z = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3P z z z z z= + + − + . 
 A. 15
4
. B. 3 . C. 13
4
. D. 3
4
. 
Câu 20.Cho các số phức z , w thỏa mãn 5z = , ( )4 3 1 2w i z i= − + − . Giá trị nhỏ nhất của w là : 
 A. 6 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 5 5 
Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn 1 4z
z
+ = . Tính giá trị lớn nhất của z . 
 A. 4 3+ . B. 2 5+ . C. 2 3+ . D. 4 5+ . 
Câu 22. Biết số phức ( ), ,z a bi a b= + ∈ thỏa mãn điều kiện 2 4 2z i z i− − = − có mô đun nhỏ nhất. 
Tính 2 2M a b= + . 
 A. 26M = . B. 10M = . C. 8M = . D. 16M = . 
Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn 1.z = Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 21 1 .P z z z= + + − + Tính giá trị của .M m . 
 A. 13 3
4
. B. 39
4
. C. 3 3 . D. 13
4
. 
Câu 24. Cho số phức 0z ≠ thỏa mãn 2z ≥ . Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
z iP
z
+
= . 
 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1. 
Câu 25. Nếu z là số phức thỏa 2z z i= + thì giá trị nhỏ nhất của 4z i z− + − là 
 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 2 . 
Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn 2 3 1− − =z i . Giá trị lớn nhất của 1+ +z i là 
 A. 13 2+ . B. 4 . C. 6 . D. 13 1+ . 
Câu 27. Cho hai số phức u , v thỏa mãn 3 6 3 1 3 5 10u i u i− + − − = , 1 2v i v i− + = + . Giá trị nhỏ nhất 
của u v− là: 
https://toanmath.com/ 
 A. 5 10
3
 B. 10
3
 C. 2 10
3
 D. 10 
Câu 28. Gọi 1z , 2z là các nghiệm phức của phương trình 2 4 13 0z z− + = , với 1z có phần ảo dương. Biết 
số phức z thỏa mãn 1 22 z z z z− ≤ − , phần thực nhỏ nhất của z là 
 A. 2 B. 1 C. 9 D. 6 
Câu 29. Cho số phức z thỏa mãn ( ) ( )2 1 2 1 10z i z i+ + + − − = . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và 
giá trị nhỏ nhất của z . Tính tổng S M m= + . 
 A. 8S = . B. 2 21S = . C. 2 21 1S = − . D. 9S = . 
Câu 30. Cho 2018 phức z thoả mãn 3 4 5z i− − = . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 2 22P z z i= + − − . Tính môđun của 2018 phức w M mi= + . 
 A. 2 314w = . B. 2 309w = . C. 1258w = . D. 1258w = . 
Câu 31. Cho hai số phức ,z z′ thỏa mãn 5 5z + = và 1 3 3 6z i z i′ ′+ − = − − . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
z z′− . 
 A. 10 . B. 3 10 . C. 5
2
. D. 5
4
. 
Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn 2z ≤ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 2 1 4P z z z z i= + + − + − − 
bằng: 
 A. 72
15
+ . B. 2 3+ . C. 144
15
+ . D. 4 2 3+ . 
Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn 1z = . Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1P z z= + + − bằng 
 A. 6 5 . B. 2 5 . C. 4 5 . D. 5 . 
Câu 34. Cho các số phức 1 3z i= , 2 1 3z i= − − , 3 2z m i= − . Tập giá trị tham số m để số phức 3z có môđun 
nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là. 
 A. { }5; 5− . B. ( )5; 5− . 
 C. ( ) ( ); 5 5;−∞ − ∪ +∞ . D. 5; 5 −  . 
Câu 35. Cho số phức z thỏa mãn 3 2z z− = và max 1 2 2z i a b− + = + . Tính a b+ . 
 A. 3 . B. 4
3
. C. 4 . D. 4 2 . 
Câu 36. Cho số phức z thỏa mãn: 2 2 1z i− − = . Số phức z i− có môđun nhỏ nhất là: 
 A. 5 2+ . B. 5 1+ . C. 5 2− . D. 5 1− . 
Câu 37. Cho số phức z thỏa 2z ≥ . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức z iP
z
+
= . 
 A. 2
3
. B. 3 .
4
 C. 1. D. 2 . 
Câu 38. Tìm số phức z sao cho ( )3 4 5z i− + = và biểu thức 2 22P z z i= + − − đạt giá trị lớn nhất. 
 A. 5 5z i= + . B. 2z i= + . C. 2 2z i= + . D. 4 3z i= + . 
https://toanmath.com/ 
Câu 39. Cho số phức thỏa điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của bằng ? 
 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 
Câu 40. Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức 
 A. B. C. D. 
Câu 41. Cho số phức với thỏa mãn và . Gọi lần lượt 
là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức . Tính tỉ số . 
 A. . B. . C. . D. . 
Câu 42. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của ? 
 A. B. C. D. 
Câu 43. Cho số phức thỏa mãn điều kiện: và có môđun lớn nhất. Số phức 
 có môđun bằng: 
 A. . B. . C. . D. . 
Câu 44. Cho là các số phức thỏa mãn và Khẳng định nào dưới 
đây là sai ? 
 A. . B. . 
 C. . D. . 
Câu 45. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của môđun số phức là 
 A. . B. . C. . D. . 
Câu 46. Cho số phức thỏa mãn không phải số thực và là số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức là? 
 A. . B. . C. . D. . 
Câu 47. Biết số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện và biểu thức 
đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức 
 A. B. C. D. 
Câu 48. Cho số phức và thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
. 
 A. . B. . C. . D. 
. 
Câu 49. Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của lần lượt là. 
 A. . B. . C. . D. . 
z ( )2 4 2z z z i+ = + z i+
z 1 2 3z i− + = 1 .z i− +
2. 4. 2 2. 2.
z x yi= + ,x y∈ 1 1z i− − ≥ 3 3 5z i− − ≤ ,m M
2P x y= + M
m
7
2
5
4
14
5
9
4
z 5 1 3 3 1z i z i z i− = + − + − + M 2 3z i− +
4 5M = 9M = 10
3
M = 1 13M = +
z 1 2 5z i− + = 1w z i= + +
z
5 2 2 5 6 3 2
1 2 3, , z z z 1 2 3 0z z z+ + = 1 2 3 1.z z z= = =
3 3 3 3 3 ... Cho số phức thỏa mãn . 
Tính , với . 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C 
Ta có 
. 
Trường hợp : . 
Trường hợp 2: 
Gọi (với ) khi đó ta được 
. 
Suy ra . 
Từ , suy ra . 
Câu 115. Cho số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức . Môđun của số phức là 
 A. B. C. D. 
Hướng dẫn giải 
Chọn A 
- Đặt , với . 
K IA 1
4
IK IA= 5 ;3
2
K  ⇒ =  
 
1
2
IM IK
IA IM
= = MIK IKM IMA⇒∆ ∆ ( ). .c g c
1
2
MK IK
MA IM
⇒ = = 2.MA MK⇒ =
7 9 2 8T z i z i= − − + − 2.MA MB= + ( )2 MK MB= + 2. 5 5BK≥ =
min 5 5T⇒ = ( )M BK C⇔ = ∩ M B K
50
2M
x⇒ < <
BK
M
( ) ( )2 2
2 8 0
1 1 25
x y
x y
+ − =

− + − =
1
6
5
2
x
y
x
y
 =
 =⇔  = = −
( )1;6M⇒ =
1 6z i= +
z ( )( )2 2 5 1 2 3 1z z z i z i− + = − + + −
min | |w 2 2w z i= − +
3min | |
2
w = min | | 2w = min | | 1w = 1min | |
2
w =
( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 5 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 1z z z i z i z i z i z i z i− + = − + + − ⇔ − + − − = − + + −
( ) ( )
1 2 0
1 2 3 1
z i
z i z i
− + =
⇔ 
− − = + −
1 1 2 0z i− + = 1 1w w⇒ = − ⇒ = ( )1
1 2 3 1z i z i− − = + −
z a bi= + ,a b∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 11 2 1 3 2 3
2
a b i a b i b b b− + − = − + + ⇔ − = + ⇔ = −
( )23 9 32 2 2 2
2 4 2
w z i a i w a= − + = − + ⇒ = − + ≥ ( )2
( )1 ( )2 min | | 1w =
z 3 4 5z i− − = M m
2 22P z z i= + − − w M mi= +
1258w = 2 309w = 2 314w = 3 137w =
z x yi= + ,x y∈
https://toanmath.com/ 
Ta có: , hay tập hợp các 
điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm , bán kính . 
- Khi đó : 
, kí hiệu là đường thẳng . 
- Số phức tồn tại khi và chỉ khi đường thẳng cắt đường tròn 
Suy ra và . 
Vậy . 
Câu 116. Cho số phức thoả mãn và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. 
Môđun của số phức bằng 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Đặt với và gọi là điểm biểu diễn của trên , ta có 
Và . 
Như vậy 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . 
Vậy đạt giá trị lớn nhất khi . 
Câu 117. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của , với là số phức khác 
và thỏa mãn . Tính tỷ số . 
 A. B. C. D. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
3 4 5z i− − = ( ) ( )3 4 5x y i⇔ − + − = ( ) ( )2 23 4 5x y⇔ − + − =
z ( )C ( )3;4I 5r =
2 22P z z i= + − − ( ) ( )2 22 22 1x y x y= + + − − − 4 2 3x y= + +
4 2 3 0x y P⇒ + + − = ∆
z ∆ ( )C
( );d I r⇔ ∆ ≤
23
5
2 5
P−
⇔ ≤ 23 10P⇔ − ≤ 13 33P⇔ ≤ ≤
33M = 13m = 33 13w i⇒ = +
1258w =
z 3 4i 5z − − = 2 22 iP z z= + − −
z
5 2 13 10 10
iz x y= + ,x y∈ ( );M x y z Oxy
3 4 5z i− − = ( ) ( )2 23 4 5x y⇔ − + − =
2 22P z z i= + − − ( ) ( )2 22 22 1x y x y= + + − − − 4 2 3x y= + +
4 2 3P x y= + + ( ) ( )4 3 2 4 23x y= − + − +   ( ) ( )
2 22 24 2 . 3 4 23x y≤ + − + − + 33=
( ) ( )
3 4
4 2
4 3 2 4 10
x y t
x y
− − = =

 − + − =
5
5
0,5
x
y
t
=
⇔ =
 =
P 5 5z i= + 5 2z⇒ =
M m z iP
z
+
= z 0
2z ≥ M
m
5M
m
= 3M
m
=
3
4
M
m
=
1
3
M
m
=
https://toanmath.com/ 
Gọi . 
Nếu Không có số phức nào thoả mãn yêu cầu bài toán. 
Nếu . 
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là hình tròn tâm có bán kính . 
. 
Câu 118. Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
. 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
Ta có . 
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ là điểm 
và đường trung trực của đoạn thẳng với , . 
Ta có , là trung điểm nên phương trình đường trung trực của là 
. 
Đặt , , . 
Khi đó , với là điểm biểu diễn cho . 
Suy ra . 
( )1z iT T z i
z
+
= ⇒ − =
1T = ⇒
11 2 1
1 1 2
i iT z z T
T T
≠ ⇒ = ⇔ = ≥ ⇒ − ≤
− −
T ( )1;0I 1
2
R =
3
2
1
2
M OB OI R
m OA OI R
 = = + =⇒ 
 = = − =

3M
m
⇒ =
z ( )( )2 4 2 1 2+ = − − +z z i z i
3 2= + −P z i
min
7
2
=P min 3=P min 4=P min 2=P
( )( )2 4 2 1 2+ = − − +z z i z i ( )2 2 1 2 0⇔ − + − − + =z i z i z i
2 0
2 1 2
 − =
⇔ 
+ = − +
z i
z i z i
N z Oxy ( )0;2A
BC ( )0; 2−B ( )1; 2−C
( )1;0=

BC 1 ;0
2
 
 
 
M BC BC
: 2 1 0∆ − =x
( )3;2−D 3=DA ( ) 7,
2
∆ =d D
3 2= + − =P z i DN N z
( ){ }min min , , 3= ∆ =P DA d D
https://toanmath.com/ 
Câu 119. Gọi là số phức thỏa mãn hai điều kiện và 
 đạt giá trị lớn nhất. Tính tích 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Đặt Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được 
Đặt Thay vào điều kiện thứ hai, ta có 
Dấu bằng xảy ra khi 
Câu 120. Xét các số phức ( ) thỏa mãn . Tính khi 
 đạt giá trị nhỏ nhất. 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
Cách 1: 
Đặt với . Theo bài ra ta có . 
Ta có 
. 
. 
Vậy GTNN của là bằng đạt được khi . 
( ) ,z x yi x y= + ∈ 2 22 2 26z z− + + =
3 3
2 2
z i− − .xy
=
9
2
xy = 13
2
xy = 16
9
xy = 9
4
xy
( ) , .z x iy x y= + ∈ 2 2 36.x y+ =
3cos , 3sin .x t y t= =
3 3 18 18sin 6.
42 2
P z i t π = − − = − + ≤ 
 
3 3 2 3 2sin 1 .
4 4 2 2
t t z iπ π + = − ⇒ = − ⇒ = − − 
 
z a bi= + ,a b∈ 3 2 2z i− − = a b+
1 2 2 2 5z i z i+ − + − −
3 4 3+ 4 3− 2 3+
3 2z i w− − = w x yi= + ( ),x y∈ 2 22 4w x y= ⇔ + =
( ) ( ) ( )2 2 221 2 2 2 5 4 2 1 3 4 2 1 3P z i z i w w i x y x y= + − + − − = + + + − = + + + + + −
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 220 8 2 1 3 2 5 2 2 1 3x x y x x y= + + + + − = + + + + −
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 22 2 22 2 1 1 3 2 1 1 3x y x x y x y x y= + + + + + + − = + + + + + −
( )2 3 2 3 6y y y y≥ + − ≥ + − =
( )
2 2
1
1
6 3 0
3
4
x
x
P y y
y
x y
 = −
= − = ⇔ − ≥ ⇔ 
= + =
P 6 ( )2 2 3z i= + +
https://toanmath.com/ 
Cách 2: 
 với . 
 với , . 
Ta có ; . Chọn thì . Do đó ta có 
 và đồng dạng với nhau . 
Từ đó . 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , , thẳng hàng và thuộc đoạn thẳng . 
Từ đó tìm được . 
Cách 3: 
Gọi là điểm biểu diễn số phức Đặt , và . 
Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn có tâm , bán kính sao cho biểu 
thức đạt giá trị nhỏ nhất. 
Trước tiên, ta tìm điểm sao cho . 
Ta có 
. 
 luôn đúng . 
 . 
Thử trực tiếp ta thấy thỏa mãn . 
Vì nên nằm ngoài . 
Vì nên nằm trong . 
Ta có . 
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi thuộc đoạn thẳng . 
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của và đoạn thẳng 
Phương trình đường thẳng . 
3 2 2z i− − = 2MI⇒ = ( );2M I⇒ ∈ ( )3;2I =
1 2 2 2 5 2P z i z i MA MB= + − + − − = + ( )1;2A = ( )2;5B =
2IM = 4IA = ( )2;2K 1IK = 2.IA IK IM= IA IM
IM IK
⇒ =
IAM⇒∆ IMK∆ 2AM IM
MK IK
⇒ = = 2AM MK⇒ =
2P MA MB= + ( )2 MK MB= + 2BK≥
M K B M BK
( )2;2 3M = +
( );M a b .z a bi= + ( )3;2I = ( )1;2A − ( )2;5B
( )C I 2R =
2P MA MB= +
( );K x y 2MA MK= ( )M C∀ ∈
( ) ( )2 22 22 4 4MA MK MA MK MI IA MI IK= ⇔ = ⇔ + = +
   
( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 . 4 2 . 2 4 3 4MI IA MI IA MI IK MI IK MI IA IK R IK IA⇔ + + = + + ⇔ − = + −
      
( )*
( )* ( )
2 2 2
4 0
3 4 0
IA IK
M C
R IK IA
 − =∀ ∈ ⇔ 
+ − =
  
( )
( )
4 3 4 2
4 0
24 2 0
x x
IA IK
yy
− = − =− = ⇔ ⇔  =− = 
  
( )2;2K 2 2 23 4 0R IK IA+ − =
2 2 2 21 3 10 4BI R= + = > = B ( )C
2 21 4KI R= < = K ( )C
( )2 2 2 2 2MA MB MK MB MK MB KB+ = + = + ≥
M BK
2MA MB+ ( )C .BK
: 2BK x =
https://toanmath.com/ 
Phương trình đường tròn . 
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ hoặc . 
Thử lại thấy thuộc đoạn . 
Vậy , . 
Câu 121.Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 
. 
Vậy . 
Câu 122. Cho các số phức , thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của biểu 
thức bằng 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C 
Gọi , với . Khi đó là điểm biểu diễn cho số phức . 
Theo giả thiết, 
. Suy ra thuộc đường tròn . 
Ta có , với và . 
Gọi là trung điểm của , ta có và khi đó: 
 hay . 
Mặt khác, với mọi nên 
. 
( ) ( ) ( )2 2: 3 2 4C x y− + − =
M
( ) ( )2 2
2 2
3 2 4 2 3
x x
x y y
= = ⇔ 
− + − = = + 
2
2 3
x
y
=

= −
( )2;2 3M + BK
2a = 2 3b = + 4 3a b⇒ + = +
z 1z = 1 3 1P z z= + + −
3 15P = 2 5P = 2 10P = 6 5P =
1 3 1P z z= + + − ( )( )2 22 21 3 1 1z z≤ + + + − ( )210 1 z= + ( )10 1 1= + 2 5=
max 2 5P =
w z 3 5w i
5
+ = ( )( )5w 2 i 4z= + −
1 2i 5 2iP z z= − − + − −
6 7 4 2 13+ 2 53 4 13
iz x y= + ,x y∈ ( );M x y z
( )( )5w 2 i 4z= + − ( ) ( )( )5 w i 2 i 4 5iz⇔ + = + − + ( )( )2 i w i 3 2iz⇔ − + = − +
3 2i 3z⇔ − + = ( );M x y ( ) ( ) ( )2 2: 3 2 9C x y− + + =
1 2i 5 2iP z z= − − + − − MA MB= + ( )1;2A ( )5;2B
H AB ( )3;2H
P MA MB= + ( )2 22 MA MB≤ + 2 24P MH AB≤ +
MH KH≤ ( )M C∈
2 24P KH AB≤ + ( )2 24 IH R AB= + + 2 53=
https://toanmath.com/ 
Vậy khi hay và . 
Câu 123. Biết rằng . Tìm giá trị lớn nhất của module số phức ? 
 A. B. C. D. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
Quỹ tích là đường tròn tâm bán kính . Còn với . 
Khi đó . 
Câu 124. Trong các số phức thỏa mãn , số phức có môđun nhỏ nhất là. 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Đặt . 
Khi đó: . 
. 
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng . 
. 
Suy ra: bé nhất bằng khi . 
Câu 125. Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của . 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Gọi , 
Ta có: 
Mà 
Hay 
Lúc đó 
max 2 53P =
M K
MA MB
≡
 =
3 5iz = − 3 11w i
5 5
= −
1 2z − = 2w z i= +
2 5+ 2 5+ 5 2− 5 2−
( )M z ( )1,0I 2R = 2w z i MA= + = ( )0,2A
max 2 5w IA R= + = +
z 2 4z z i= − +
3z i= + 5z = 5
2
z i= 1 2z i= +
( ), ,z x yi x y R z x yi= + ∈ ⇒ = −
2 4 2 4z z i x yi x yi i= − + ⇔ + = − − +
( ) ( )2 22 2 2 4 2 5 0x y x y x y⇔ + = − + − ⇔ + − =
( );M x y z 2 5 0x y+ − =
( ) ( ) ( )2 22 2 2 25 2 5 4 4 5 5 2 5 5x yi x y y y y y y+ = + = − + = − + + = − + ≥
x yi+ 5 2 1y x= ⇒ =
z 3− = +z z i =P z
min
2 10
5
=P min
3 10
5
=P min
10
5
=P min 3=P
= +z a bi ( ), ∈a b
2 2= = +P z a b
3− = +z z i
3+ − = + +a ib a ib i
( ) ( )3 1⇔ − + = + +a ib a b i
( ) ( )2 22 23 1⇔ − + = + +a b a b
4 3⇔ = −b a
( )22 2 2 24 3 10 24 16= = + = + − = − +P z a b a a a a
2 24 144 8 2 1010
10 100 5 5
 = − + + ≥ 
 
x x
https://toanmath.com/ 
Câu 126. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Ta có: Khi 
Câu 127. Xét số phức thỏa mãn Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Cách 1. Chọn . 
Cách 2. 
 . 
Dấu xảy ra khi hay . 
Câu 128. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Cách 1. . 
Cách 2. Đặt . 
Gọi là điểm biểu diễn của trong hệ trục tọa độ . 
 với nằm trên đường tròn tâm 
, bán kính . 
Ta có . Vậy . 
 Lưu ý: Nếu đề bài hỏi “Giá trị nhỏ nhất của ” thì . 
z 1z = = + 51 iA
z
6 8 5 4
5 5 51 1 1 6.i iA
z z z
= + ≤ + = + = 6.z i A= ⇒ =
z 2 1 3 2 2.z z i− + − ≤
1 3
2 2
z< < 3 2
2
z 1
2
z <
z i=
( )2 2 2 1 3 2 1z z i z z i z i≥ − + − = − + − + −
( )2 1z z i z i≥ − − − + − 2 1 2 2 2 2i z i z i= − + − = + − ≥
" "= 0z i− = z i= 1.z i⇒ = =
z 3 3 2z i− + = z i−
8 9 6 7
2 3 3z i= − + ( ) ( )3 4z i i= − − − 3 4z i i≥ − − − 2 3 4z i i⇒ − ≤ + − 7z i⇒ − ≤
w z i= −
M w Oxy
3 3 2z i− + = 3 4 2w i⇒ − + = 2MI⇒ = ( )3; 4I − ⇒ M ( )C
( )3; 4I − 2R =
z i− w= OM= max OM OI R= + 5 2= + 7=
z i− min OM ON OI R= = −