Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 20: Biến đổi biểu thức Logarit (Có đáp án)

N
hó
m
:
P
H
Á
T
T
R
IỂ
N
Đ
Ề
M
IN
H
H
Ọ
A
20. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1
DẠNG 20. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa 1. Cho hai số dương a, b với a 6= 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là
lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b. Ta viết: α = loga b⇔ aα = b.
Tính chất 1. Cho a, b > 0, a 6= 1, Ta có:
loga a = 1; loga 1 = 0; a
loga b = b; loga(a
α) = α.
Các quy tắc
Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a 6= 1, Ta có:
loga(b1 · b2) = loga b1 + loga b2.
Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a 6= 1, Ta có:
loga
b1
b2
= loga b1 − loga b2.
Đặc biệt: với a, b > 0, a 6= 1 thì loga
1
b
= − loga b.
Lôgarit của lũy thừa: Cho a, b > 0, a 6= 1, với mọi α, Ta có:
loga b
α = α loga b.
Đặc biệt: loga
n
√
b =
1
n
loga b.
Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương a, b, c với a 6= 1, c 6= 1, Ta có:
loga b =
logc b
logc a
.
Đặc biệt: loga c =
1
logc a
và logaα b =
1
α
loga b với α 6= 0.
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn
log2 a = log8(ab). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A a = b2. B a3 = b. C a = b. D a2 = b.
Lời giải.
h Geogebra Pro Trang 215
50
D
Ạ
N
G
T
O
Á
N
P
H
Á
T
T
R
IỂ
N
Đ
Ề
M
IN
H
H
Ọ
A
L
Ầ
N
1
20. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1
Phân tích hướng dẫn giải
a) DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán biến đổi đẳng thức lôgarit.
b) HƯỚNG GIẢI:
Bước 1: Biến đổi đưa về cùng cơ số 2.
Bước 2: Cho 2 biểu thức trong lôgarit bằng nhau.
Bước 3: Dựa vào các đáp án, kết luận mệnh đề đúng.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có:
log2 a = log8(ab)⇔ log2 a = log23(ab)
⇔ log2 a =
1
3
log2(ab)
⇔ log2 a = log2(ab)
1
3
⇔ a = (ab)13 ⇔ a3 = ab⇔ a2 = b.
Chọn phương án D
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log2
(
x2 + y2
)
= 1 + log2 xy. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A x = y. B x > y. C x < y. D x = y2.
Lời giải.
Với x, y > 0 Ta có:
log2
(
x2 + y2
)
= 1 + log2 xy
⇔ log2
(
x2 + y2
)
= log2 2xy
⇔ x2 + y2 = 2xy
⇔ x = y.
.
Chọn phương án A
Câu 2. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ln
a
c
+ ln
b
c
= 0. Khẳng định nào sau đây đúng?
A abc = 1. B ab = c. C a+ b = c. D ab = c2.
Lời giải.
Ta có:
h Geogebra Pro Trang 216
N
hó
m
:
P
H
Á
T
T
R
IỂ
N
Đ
Ề
M
IN
H
H
Ọ
A
20. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1
ln
a
c
+ ln
b
c
= 0
⇔ ln a+ ln b− 2 ln c = 0
⇔ ln a+ ln b = 2 ln c
⇔ ln ab = ln c2
⇔ ab = c2.
Chọn phương án D
Câu 3. Cho M = log12 x = log3 y. Khi đó M bằng biểu thức nào sau đây?
A log4
x
y
. B log36
x
y
. C log9(x− y). D log15(x+ y).
Lời giải.
Do M = log12 x = log3 y nên
®
x = 12M > 0
y = 3M > 0.
Suy ra
x
y
=
12M
3M
= 4M hay M = log4
x
y
.
Chọn phương án A
Câu 4. Cho a = log9 8 và b = log2 3. Tính ab.
A
1
3
. B
3
2
. C
2
9
. D
2
3
.
Lời giải.
Ta có:
ab = log9 8 · log2 3 = log32 23 · log2 3 =
3
2
log3 2 · log2 3 =
3
2
log3 3 =
3
2
.
Chọn phương án B
Câu 5. Cho log2m = a và A = logm(8m) với m > 0,m 6= 1. Tìm mối liên hệ giữa A và a.
A A = (3 + a)a. B A = (3− a)a. C A = 3 + a
a
. D A =
3− a
a
.
Lời giải.
Ta có:
A = logm(8m) = logm 8 + logmm = 3 logm 2 + 1
= 3 · 1
log2m
+ 1 =
3
a
+ 1 =
3 + a
a
.
Chọn phương án C
Câu 6. Với mọi số thực dương a và b thoả mãn a2 + b2 = 8ab, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A log(a+ b) =
1
2
(log a+ log b). B log(a+ b) =
1
2
(1 + log a+ log b).
C log(a+ b) = 1 + log a+ log b. D log(a+ b) =
1
2
+ log a+ log b.
Lời giải.
Ta có:
h Geogebra Pro Trang 217
50
D
Ạ
N
G
T
O
Á
N
P
H
Á
T
T
R
IỂ
N
Đ
Ề
M
IN
H
H
Ọ
A
L
Ầ
N
1
20. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1
a2 + b2 = 8ab
⇔ a2 + 2ab+ b2 = 10ab
⇔ (a+ b)2 = 10ab
⇔ log(a+ b)2 = log(10ab)
⇒ 2 log(a+ b) = 1 + log a+ log b
⇒ log(a+ b) = 1
2
(1 + log a+ log b) .
Chọn phương án B
Câu 7. Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a2 + 4b2 = 5ab. Khẳng định nào sau đây đúng?
A log
a+ 2b
3
=
log a+ log b
2
. B 5 log(a+ 2b) = log a− log b.
C 2 log(a+ 2b) = 5 (log a+ log b). D log(a+ 1) + log b = 1.
Lời giải.
Ta có:
a2 + 4b2 = 5ab
⇔ (a+ 2b)2 = 9ab
⇔ log [(a+ 2b)2] = log(9ab)
⇔ 2 · log(a+ 2b) = 2 · log 3 + log a+ log b
⇔ 2 · log a+ 2b
3
= log a+ log b
⇔ log a+ 2b
3
=
log a+ log b
2
.
Chọn phương án A
Câu 8. Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a2 + 9b2 = 10ab. Khẳng định nào sau đây đúng?
A log(a+ 1) + log b = 1. B log
a+ 3b
4
=
log a+ log b
2
.
C 3 log(a+ 3b) = log a− log b. D 2 log(a+ 3b) = 2 log a+ log b.
Lời giải.
Ta có:
a2 + 9b2 = 10ab
⇔ (a+ 3b)
2
16
= ab
⇔ log (a+ 3b)
2
16
= log ab vì a > 0, b > 0
⇔ 2 log a+ 3b
4
= log a+ log b
⇔ log a+ 3b
4
=
log a+ log b
2
.
Chọn phương án B
Câu 9. Cho các số dương a, b thỏa mãn 4a2 + 9b2 = 13ab. Chọn câu trả lời đúng.
A log
√
2a+ 3b = log
√
a+ 2 log
√
b. B
1
4
log(2a+ 3b) = 3 log a+ 2 log b.
h Geogebra Pro Trang 218
N
hó
m
:
P
H
Á
T
T
R
IỂ
N
Đ
Ề
M
IN
H
H
Ọ
A
20. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1
C log
Å
2a+ 3b
5
ã
=
1
2
(log a+ log b). D log
Å
2a+ 3b
4
ã
=
1
2
(log a+ log b).
Lời giải.
Ta có:
4a2 + 9b2 = 13ab
⇔ 4a2 + 12ab+ 9b2 = 25ab
⇔ (2a+ 3b)2 = 25ab
⇔ 2a+ 3b
5
=
√
ab
⇒ log
Å
2a+ 3b
5
ã
= log
√
ab
⇔ log
Å
2a+ 3b
5
ã
=
1
2
(log a+ log b).
Chọn phương án C
Câu 10. Cho các số thực x, a, b, c, d dương thoả mãn log x = 2 log(2a)− 3 log b− 4 log 4√c. Biểu diễn
x theo a, b, c được kết quả là
A x =
2a2
b3c
. B x =
4a2
b3c
. C x =
2a2c
b3
. D x =
2a2c
b3
.
Lời giải.
log x = 2 log(2a)− 3 log b− 4 log 4√c
⇔ log x = log (4a2)− log(b3)− log c
⇔ log x = log 4a
2
b3c
⇔ x = 4a
2
b3c
.
Chọn phương án B
Câu 11. Cho a, b > 0, nếu log8 a+ log4 b
2 = 5 và log4 a
2 + log8 b = 7 thì giá trị của ab bằng
A 29. B 2. C 8. D 218.
Lời giải.
Ta có:
®
log8 a+ log4 b
2 = 5
log4 a
2 + log8 b = 7
⇔

1
3
log2 a+ log2 b = 5
log2 a+
1
3
log2 b = 7
⇔
®
log2 a = 6
log2 b = 3
⇔
®
a = 26
b = 23.
Suy ra: ab = 26 · 23 = 29.
Chọn phương án A
Câu 12. Xét các số thực dương a, b thỏa mãn log5 a = 5 và log3 b =
2
3
. Tính I = 2 log6[log5(5a)] +
log1
9
b3.
A I = 3. B I = −2. C I = 1. D I = 2 log6 5 + 1.
Lời giải.
h Geogebra Pro Trang 219
50
D
Ạ
N
G
T
O
Á
N
P
H
Á
T
T
R
IỂ
N
Đ
Ề
M
IN
H
H
Ọ
A
L
Ầ
N
1
20. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1
I = 2 log6[log5(5a)] + log1
9
b3
= 2 log6(1 + log5 a)−
3
2
log3 b
= 2 log6 6−
3
2
· 2
3
= 2− 1 = 1.
Chọn phương án C
Câu 13. Gọi n là số nguyên dương sao cho
1
log3 x
+
1
log32 x
+
1
log33 x
+ · · · + 1
log3n x
=
210
log3 x
đúng
với mọi x dương và x 6= 1. Tìm giá trị của biểu thức P = 2n+ 3.
A 32. B 40. C 43. D 23.
Lời giải.
1
log3 x
+
1
log32 x
+
1
log33 x
+ · · ·+ 1
log3n x
=
210
log3 x
⇔ 1
log3 x
+
2
log3 x
+
3
log3 x
+ · · ·+ n
log3 x
=
210
log3 x
⇔ 1
log3 x
(1 + 2 + 3 + · · ·+ n) = 210
log3 x
⇔ n(1 + n)
2
= 210
⇔ n2 + n− 420 = 0
⇔
ñ
n = 20
n = −21.
Do n là số nguyên dương nên n = 20⇒ P = 43.
Chọn phương án C
Câu 14. Xét các số thực thực dương x, y thỏa mãn log9 x = log12 y = log16(x+ y). Giá trị của tỉ số
x
y
là
A
3−√5
2
. B
3 +
√
5
2
. C
−1 +√5
2
. D
−1−√5
2
.
Lời giải.
Đặt log9 x = log12 y = log16(x+ y) = t⇒

x = 9t (1)
y = 12t (2)
x+ y = 16t
(1), (2)⇒ x
y
=
(
3
4
)t
> 0.
x+ y = 16t ⇔ 9t + 12t = 16t ⇔
(
3
4
)2t
+
(
3
4
)t
= 1
⇒
Å
x
y
ã2
+
x
y
− 1 = 0⇒ x
y
=
−1 +√5
2
.
Chọn phương án C
Câu 15. Xét các số thực dương a, b, c, b 6= 1 thỏa mãn logb a = x và logb c = y. Hãy biểu diễn
h Geogebra Pro Trang 220
N
hó
m
:
P
H
Á
T
T
R
IỂ
N
Đ
Ề
M
IN
H
H
Ọ
A
20. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1
loga2
Ä
3
√
b5c4
ä
theo x và y.
A loga2
Ä
3
√
b5c4
ä
=
5 + 4y
6x
. B loga2
Ä
3
√
b5c4
ä
=
20y
3x
.
C loga2
Ä
3
√
b5c4
ä
=
5 + 3y4
3x2
. D loga2
Ä
3
√
b5c4
ä
= 20x+
20y
3
.
Lời giải.
Ta có:
logb a =
ln a
ln b
= x⇒ ln a = x · ln b (a, b > 0).
logb c =
ln c
ln b
= y ⇒ ln c = y · ln b (b, c > 0).
loga2
Ä
3
√
b5c4
ä
=
ln
Ä
3
√
b5c4
ä
ln(a2)
=
ln
(
b
5
3 · c43
)
2 · ln a =
5
3
ln b+
4
3
ln c
2 · ln a =
5
3
ln b+
4
3
y · ln b
2 · x · ln b =
5 + 4y
6x
.
Cách khác:
Ta có logb a = x⇔ a = bx và logb c = y ⇔ c = by.
Do đó loga2
Ä
3
√
b5c4
ä
= logb2x
Ä
3
√
b5b4y
ä
= logb2x
Å
b
5+4y
3
ã
=
5 + 4y
6x
.
Chọn phương án A
Câu 16. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log16 a = log20 b = log25
2a− b
3
, đặt T =
a
b
. Tìm
mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A −2 < T < 0. B 0 < T < 1
2
. C 1 < T < 2. D
1
2
< T <
2
3
.
Lời giải.
Giả sử log16 a = log20 b = log25
2a− b
3
= t⇔

a = 16t (1)
b = 20t (2)
2a− b
3
= 25t. (3)
Thế (1) và (2) vào (3) được phương trình:
2.16t − 20t = 3 · 25t ⇔ 2 ·
(
4
5
)2t
−
(
4
5
)t
− 3 = 0⇔

(
4
5
)t
= −1 (V N)(
4
5
)t
=
3
2
.
Vậy T =
a
b
=
16t
20t
=
(
4
5
)t
=
3
2
.
Chọn phương án C
Câu 17. Cho log2 (log3(log4 x)) = log3 (log4(log2 y)) = log4 (log2(log3 z)) = 0. Hãy tính S = x + y +
z.
A S = 105. B S = 89. C S = 98. D S = 88.
Lời giải.
Ta có: log2 (log3(log4 x)) = log3 (log4(log2 y)) = log4 (log2(log3 z)) = 0
⇔

log3(log4 x) = 1
log4(log2 y) = 1
log2(log3 z) = 1
⇔

log4 x = 3
log2 y = 4
log3 z = 2
⇔

x = 43
y = 24
z = 32.
h Geogebra Pro Trang 221
50
D
Ạ
N
G
T
O
Á
N
P
H
Á
T
T
R
IỂ
N
Đ
Ề
M
IN
H
H
Ọ
A
L
Ầ
N
1
20. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1
Do đó: x+ y + z = 43 + 24 + 32 = 89.
Chọn phương án B
Câu 18. Cho m = loga
(
3
√
ab
)
, với a > 1, b > 1 và P = log2a b+ 16 logb a. Tìm m sao cho P đạt giá trị
nhỏ nhất.
A m = 1. B m =
1
2
. C m = 4. D m = 2.
Lời giải.
Ta có: m = loga
(
3
√
ab
)
=
1
3
+
1
3
loga b⇒ loga b = 3m− 1; logb a =
1
3m− 1 .
Vì a > 1, b > 1 nên loga b > loga 1 = 0. Suy ra 3m− 1 > 0⇔ m >
1
3
.
Do đó P = log2a b+ 16 logb a = (3m− 1)2 +
16
3m− 1 , m >
1
3
.
Xét hàm số y = (3m− 1)2 + 16
3m− 1 , với m >
1
3
⇒ y′ = 6(3m− 1)− 48
(3m− 1)2 =
6(3m− 1)3 − 48
(3m− 1)2 .
y′ = 0⇔ 6(3m− 1)3 − 48 = 0⇔ (3m− 1)3 = 8⇔ 3m− 1 = 2⇔ m = 1.
Bảng biến thiên
x
y′
y
1
3
1 +∞
− 0 +
+∞
12
+∞
Từ bảng biến thiên suy ra minÇ
1
3
;+∞
å y = f(1) = 12.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12 khi m = 1.
Chọn phương án A
Câu 19. Cho a, b là các số dương thỏa mãn b > 1 và
√
a ≤ b < a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = loga
b
a+ 2 log√b
(
a
b
)
.
A 6. B 7. C 5. D 4.
Lời giải.
Ta có: P =
1
1− loga b
+ 4 · (logba− 1) = 1
1− 1
logb a
+ 4 · (logba− 1).
Đặt t = logb a. Vì
√
a ≤ b < a⇒ logb(
√
a) ≤ 1 ≤ logb a⇔
t
2
< 1 < t⇔ 1 < t < 2
⇒ P = 1
1− 1
t
+ 4(t− 1) = t
t− 1 + 4(t− 1) với t ∈ (1; 2).
Xét hàm số f(t) =
t
t− 1 + 4(t− 1) với t ∈ (1; 2).
h Geogebra Pro Trang 222
N
hó
m
:
P
H
Á
T
T
R
IỂ
N
Đ
Ề
M
IN
H
H
Ọ
A
20. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1
f ′(t) =
−1
(t− 1)2 + 4, f(t) = 0⇔ (t− 1)
2 =
1
4
⇔
t = 32(tm)
t =
1
2
(l).
Bảng biến thiên
t
f ′(t)
f(t)
1
3
2
2
− 0 +
+∞
5
6
Từ bảng biến thiên suy ra: min
(1;2)
f(t) = f
(
3
2
)
= 5.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 5.
Chọn phương án C
Câu 20. Cho log8 |x|+log4 y2 = 5 và log8 |y|+log4 x2 = 7. Tìm giá trị của biểu thức P = |x|−|y|.
A P = 56. B P = 16. C P = 8. D P = 64.
Lời giải.
Ta có:
log8 |x|+ log4 y2 = 5⇔
1
3
log2 |x|+
1
2
log2 y
2 = 5
⇔ log2 3
√
|x|+ log2 |y| = 5⇔ 3
√
|x| · |y| = 25 ⇔ |x| · |y|3 = (25)3 = 215. (1)
Tương tự: log8 |y|+ log4 x2 = 7⇔ |y| · |x|3 = 221. (2)
Lấy (1) nhân (2) được x4 · y4 = 236 ⇔ x2 · y2 = 218. (3)
Lấy (1) chia (2) được
y2
x2
=
1
26
⇔ x2 = 26 · y2. (4).
Thay (4) vào (3) được 26 · y4 = 218 ⇔ y4 = 212 = (23)4 ⇔ |y| = 23 = 8.
Thay |y| = 8 vào (4) được x2 = 26 · 64 = (26)2 ⇔ |x| = 26 = 64.
Do đó P = |x| − |y| = 56.
Chọn phương án A
h Geogebra Pro Trang 223
50
D
Ạ
N
G
T
O
Á
N
P
H
Á
T
T
R
IỂ
N
Đ
Ề
M
IN
H
H
Ọ
A
L
Ầ
N
1
20. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1
 BẢNG ĐÁP ÁN 
1. A 2. D 3. A 4. B 5. C 6. B 7. A 8. B 9. C 10. B
11. A 12. C 13. C 14. C 15. A 16. C 17. B 18. A 19. C 20. A
h Geogebra Pro Trang 224