Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chương 2: Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu

CHƯƠNG 2
MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU
BÀI 1
MẶT NÓN
1/ Mặt nón tròn xoay
	Trong mặt phẳng , cho 2 đường thẳng , cắt nhau tại và chúng tạo thành góc với . Khi quay xung quanh trục với góc không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh (hình 1).
	+ Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
	+ Đường thẳng gọi là trục, đường thẳng được gọi là đường sinh và góc gọi là góc ở đỉnh.
	hình 1	 hình 2
2/ Hình nón tròn xoay	
	Cho vuông tạiquay quanh cạnh góc vuông thì đường gấp khúc tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).
	+ Đường thẳnggọi là trục, là đỉnh, gọi là đường cao và gọi là đường sinh của hình nón.
	+ Hình tròn tâm, bán kínhlà đáy của hình nón.
3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón
	Cho hình nón có chiều cao là , bán kính đáyvà đường sinh là thì có: 
	+ Diện tích xung quanh: 	+ Diện tích đáy (hình tròn): 
	+ Diện tích toàn phần hình nón: 
	+ Thể tích khối nón: .
4/ Tính chất: 
	* Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
	+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinhThiết diện là tam giác cân.
	+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
	* Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
	+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nóngiao tuyến là một đường tròn.
	+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nóngiao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
	+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nóngiao tuyến là 1 đường parabol.
Một hình nón tròn xoay có đường cao , bán kính đáy .
	a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho.
	b/ Tính thể tích khối nón tạo nên bởi hình nón đó.
	c/ Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là. Tính diện tích thiết diện đó.
ĐS: a/ .	b/ .	c/ .
Cho hình lập phương có cạnh là . Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâmcủa hình vuông và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông.
ĐS: . .
Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằng .
	a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, giả sử nó có đỉnh là .
	b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
	c/ Cho dây cung của đường tròn đáy hình nón, sao cho tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc . Tính diện tích tam giác .
ĐS: a/ ; 	b/ 	c/ .
Mặt nón tròn xoay có đỉnh là,là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằngvà góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng .
	a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên.
	b/ Gọilà một điểm trên đường cao của hình nón sao cho tỉ số . Tính diện tích của thiết diện qua và vuông góc với trục của hình nón.
ĐS: a/ ; .; .	b/ .
Cho hình nón đỉnhvới đáy là đường tròn tâm, bán kính, chiều cao của hình nón bằng . Gọi là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao cho. Giả sửlà điểm nằm trên đường tròn sao cho .
	a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo thành.
	b/ Gọilà một điểm di động trên cắt mặt nón tại điểm thứ hai là. Chứng minh rằng di động trên một đường thẳng cố định.
	c/ Chứng minh rằng hình chiếu của trên di động trên một đường tròn cố định đi qua trực tâm của .
ĐS: ; .
Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáy và chiều cao . Trong tất cả các mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, hãy xác định mặt phẳng cắt hình nón theo thiết diện có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất đó.
ĐS: Nếu , . Nếu , .
Cho khối nón tròn xoay có đường cao và bán kính đáy là . Một mặt phẳngđi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm của đáy bằng .
	a/ Hãy xác định thiết diện củađối với khối nón. Tính diện tích khối thiết diện đó.
	b/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón.
	c/ Tính thể tích của khối nón tạo nên hình nón đó.
Trong không gian cho vuông tại có và cạnh . Khi quay tam giác quanh cạnh góc vuông thì đường gấp khúc tạo thành một hình nón tròn xoay.
	a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
	b/ Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón trên.
Một hình nón tròn xoay có chiều cao và bán kính đáy bằng .
	a/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng chứa đường cao. Tính diện tích của thiết diện.
	b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được một thiết diện là một tam giác đều. Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện.
Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng.
	a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
	b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
	c/ Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc. Tính diện tích của thiết diện được tạo nên.
Hình nón có bán kính đáy bằng , thiết diện qua trục là một tam giác đều.
	a/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón.
	b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được thiết diện là một tam giác vuông. Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện.
Một hình nón có bán kính đáy bằng , góc ở đỉnh bằng .
	a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
	b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
Một hình nón có đỉnh , bán kính đáy .
	a/ Tính diện tích thiết diện do cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau.
	b/ Gọi là trọng tâm của thiết diện và mặt phẳngqua , đồng thời vuông góc với trục của hình nón. Tính diện tích của thiết diện do mặt phẳngcắt hình nón.
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, thiết diện này có diện tích bằng .
	a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
	b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
	c/ Mặt phẳngđi qua đỉnh của hình nón, cắt mặt phẳng đáy theo một dây cung có độ dài bằng . Tính góc tạo bởi mặt phẳngvà mặt phẳng đáy.
Mặt nón tròn xoay có đỉnh là , là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng .
	a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên.
	b/ Gọilà một điểm trên đường cao của hình nón sao cho tỉ số . Tính diện tích của thiết diện quavà vuông góc với trục của hình nón.
Cho hình chóp tam giác đềucó cạnh bên bằng, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng. Hình nón đỉnhcó đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều (được gọi là hình nón nội tiếp hình chóp).
	a/ Tính thể tích của hình chóp.
	b/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên.
Cho hình chóp đều có chiều cao . Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh làvà có đường tròn đáy ngoại tiếp đáycủa hình chóp.
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng.
	a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên.
	b/ Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng là . Tính diện tích của thiết diện tạo thành đó.
Đường sinh của hình nón bằng, chiều cao là. Một đường thẳngsong song với đáy của hình nón và cắt hình nón. Khoảng cách từ đường thẳngấy đến mặt phẳng đáy và chiều cao hình nón lần lượt là và. Tính độ dài đoạn thẳngnằm trong phần hình nón.
Cho hình nón đỉnh và đáy là hình tròn tâm . Mặt phẳng đi qua đỉnh, cắt đáy theo một dây cung , sao cho vàhợp với mặt phẳng chứa đáy một góc .
	a/ Tính góc .
	b/ Cho diện tích của tam giác bằng . Tính diện tích xung quanh của hình nón.
Cho hình chóp tam giác đều nội tiếp hình nón. Tính thể tích hình nón biết thể tích hình chóp tam giác đều là .
Trên một hình tròn làm đáy chung ta dựng hai hình nón (hình này chứa hình kia). Sao cho hai đỉnh cách nhau một đoạn là . Góc ở đỉnh của thiết diện qua trục của hình nón lớn là và của hình nón nhỏ là .Tính thể tích phần ở ngoài hình nón nhỏ và ở trong hình nón lớn.
Cho hình nón có đường caovà bán kính đáy . Gọilà điểm trên đoạn , đặt .
 a/ Tính diện tích thiết diện vuông góc với trục tại.
 b/ Tính thể tích của khối nón đỉnhvà đáytheo. Xác địnhsao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất.
Cho hình nón tròn xoay đỉnh. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông nội tiếp, cạnh bằng . Biết rằng: . Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón.
BÀI 2
MẶT TRỤ
∆
A
D
B
C
r
r
1/ Mặt trụ tròn xoay
	Trongcho hai đường thẳngvàsong song nhau, 
cách nhau một khoảng. Khi quayquanh trục cố 
địnhthì đường thẳngsinh ra một mặt tròn xoay được 
gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
	+ Đường thẳng được gọi là trục.
	+ Đường thẳngđược gọi là đường sinh.
	+ Khoảng cáchđược gọi là bán kính của mặt trụ.
2/ Hình trụ tròn xoay
	Khi quay hình chữ nhậtxung quanh đường thẳng
chứa một cạnh, chẳng hạn cạnhthì đường gấp khúc
 tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ 
tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
	+ Đường thẳngđược gọi là trục.
	+ Đoạn thẳngđược gọi là đường sinh.
	+ Độ dài đoạn thẳngđược gọi là chiều cao của hình trụ.
	+ Hình tròn tâm, bán kínhvà hình tròn tâm, bán kínhđược gọi là 2 đáy của hình trụ.
	+ Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là và bán kính đáy bằng , khi đó:
+ Diện tích xung quanh của hình trụ: 
+ Diện tích toàn phần của hình trụ: 
+ Thể tích khối trụ: 	 	
4/ Tính chất:
+ Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là) bởi một vuông góc với trục thì ta được đường tròn có tâm trên và có bán kính bằng với cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
+ Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có ba ... g đó.
	 Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
	a/ Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
	b/ Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản
A
C’
I
C’
A
B
D
D’
B’
I
A’
C
a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
+ Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ
nhật (hình lập phương).
Tâm là, là trung điểm của.
+ Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp
chữ nhật (hình lập phương).
O
O’
I
A1
A2
A3
An
A’1
A’2
A’3
A’n
Bán kính: .
b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.
Xét hình lăng trụ đứng, trong đó có 2 đáy
vànội tiếp đường trònvà. Lúc đó, 
mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
+ Tâm: vớilà trung điểm của.
+ Bán kính: .
S
A
I
C
B
S
A
B
C
 D
I
c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.
* Hình chóp có .
Tâm: là trung điểm của.
Bán kính: .
* Hình chóp có .
Tâm: là trung điểm của.
Bán kính: .
d/ Hình chóp đều.
S
A
B
C
D
O
I
∆
M
Cho hình chóp đều
+ Gọi là tâm của đáylà trục của đáy.
+ Trong mặt phẳng xác định bởivà một cạnh bên,
chẳng hạn như , ta vẽ đường trung trực của cạnh
là cắt tại và cắt tại là tâm của mặt cầu.
+ Bán kính: 
Ta có: 
Bán kính là:
e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cho hình chóp có cạnh bênđáyvà đáynội tiếp được trong đường tròn tâm. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópđược xác định như sau: 
+ Từ tâmngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳngvuông góc vớitại.
+ Trong , ta dựng đường trung trực của cạnh, cắttại, cắt tại .
A
S
M
∆
I
O
B
C
d
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
và bán kính
+ Tìm bán kính:
Ta có: là hình chữ nhật.
Xétvuông tạicó: 
.
f/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
∆ vuông: O là trung điểm của cạnh huyền.
O
Hình vuông: O là giao điểm 2 đường chéo.
O
Hình chữ nhật: O là giao điểm của hai đường chéo.
O
O
∆ đều: O là giao điểm của 2 đường trung tuyến (trọng tâm).
∆ thường: O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh ∆.
O
Tóm lại : Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bất kỳ.
+ Dựng trục của đáy.
+ Dựng mặt phẳng trung trựccủa một cạnh bên bất kì.
+ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
+ Bán kính: khoảng cách từđến các đỉnh của hình chóp.
4/ Diện tích và thể tích mặt cầu
+ Diện tích mặt cầu: .	+ Thể tích mặt cầu: .
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên hợp với đáy 1 góc . 
	a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính thể tích khối cầu này.
	b/ Gọi là trọng tâm của . Tính khoảng cách từ đến .
	c/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và .
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , và là tâm của đáy. Mặt bên hợp với mặt đáy 1 góc . 
	a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
	b/ Gọi là trọng tâm của . Tính khoảng cách từ đến .
	c/ Tính thể tích khối chóp .
	d/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và .
Cho hình chópcó đáylà tam giác vuông tại , cho, mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. 
	a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
	b/ Tính khoảng cách từđến . 
	c/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại ,. Cạnh bên . Mặt bên hợp với mặt đáy 1 góc . 
	a/ Tìm diện tích và thể tích khối cầu đi qua các điểm . 
	b/ Trên cạnh lấy điểm sao cho . Tính khoảng cách từ đến .
Cho hình chópcó đáylà hình vuông cạnh . Mặt bên là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
	a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
	b/ Tính thể tích khối chóp. 
	c/ Tính góc giữa 2 đường thẳng và .
	d/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Cho hình chópcó đáylà hình vuông tâm cạnh , các mặtvàcùng vuông góc với mặt đáy, mặt bêntạo với đáy một góc . 
	a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
	b/ Gọi là trọng tâm . Tính khoảng cách của điểm đến 
	c/ Tính khoảng cách 2 đường thẳng và .
Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại có cạnh và biết . 
	a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ .
	b. Tính thể tích khối chóp 
	c. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và 
	d. Gọi là giao điểm của và . Tính khoảng cách từ đến .
Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tứ giác đều cạnh và biết rằng. 
	a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ .
	b. Mặt phẳng chia khối lăng trụ thành 2 phần. Tính thể tích của 2 khối đa diện đó.
Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo . Biết rằng hợp với một góc và hợp với một góc . 
	a/ Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
	b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ .
Cho hình chópcó đáylà hình vuông tâm , cạnh . Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc . 
	a/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
	b/ Tính thể tích khối chóp .
	c/ Tính khoảng cách từ đến .
	d/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và .
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . 
	a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính thể tích khối cầu này.
	b/ Tính khoảng cách từ tâm của đáy đến .
	c/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và .
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng, cạnh bên bằng và là tâm của đáy. 
	a/ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp.
	b/ Gọi là trung điểm . Tính khoảng cách từ đến .
	c/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và .
Cho hình chópcó đáylà tam giác vuông tại . Biết rằng: tạo với một góc .
	a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu này.
	b/ Tính khoảng cách từ đến .
	c/ Trên cạnh lấy điểm sao cho . Tính khoảng cách từ đến .
	d/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và .
Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng . 
	a/ Tính thể tích của khối chóp 
	b/ Tính diện tích và thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp 
	c/ Gọi là trọng tâm của . Tính khoảng cách từ đến .
Cho hình chópcó đáylà hình chữ nhật và . 
	a/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu đó.
	b/ Tính thể tích của khối chóp .
	c/ Gọi là trọng tâm của . Tính khoảng cách từ đến .
	d/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và .
Cho hình chóp có là nửa lục giác đều và .
	a/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
	b/ Gọilà chân đường cao vẽ từcủa các tam giác: . Chứng minh rằng các điểmnằm trên một mặt cầu.
Cho hình chópcó . 
	a/ Tính thể tích của khối chóp 
	b/ Tìm diện tích và thể tích khối cầu đi qua các điểm. 
	c/ Gọi là trọng tâm của . Tính khoảng cách từ đến .
Cho hình chópcóvà . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tìm diện tích và thể tích của nó.
Cho hình chópcólà hình vuông cạnhvà là tam giác đều. Mặt phẳng .
	a/ Tính thể tích của hình chóp.
	b/ Tìm góc giữa hai.
	c/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tìm diện tích và thể tích khối cầu đó.
Cho lăng trụ đứngđáy là tam giác vuông tạivàhợp với mặt phẳngmột góc. 
	a/ Tính thể tích lăng trụ đã cho.
	b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
Cho lăng trụ tam giác đềucó cạnh đáy bằng, bán kính đường tròn ngoại tiếp một mặt bên là .
	a/ Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho.
	b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Tính diện tích và thể tích khối cầu đó.
Ba đoạn thẳng đôi một vuông góc với nhau tạo thành một tứ diện . 
	a/ Tính thể tích khối 
	b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
Cho hình lăng trụ tam giác đều có 9 cạnh đều bằng nhau và bằng . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp đó và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp đó. 
Cho hình chóplà hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằngvà cạnh bên bằng. Một mặt cầu qua đỉnhvà tiếp xúc với hai cạnh tại trung điểm của mỗi cạnh.
	a/ Chứng minh mặt cầu đó đi qua trung điểm của.
	b/ Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳnglà. Tính độ dài đoạn thẳng.
Hình chópcólà chiều cao của hình chóp và đáylà hình thang vuông tạicó . Gọi là trung điểm của. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tìm diện tích và thể tích mặt cầu đó.
Cho tam giác vuông câncó cạnh huyền. Trên đường thẳngđi quavà vuông góc với mặt phẳnglấy một điểmkhácta được tứ diện.
	a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
	b/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệntrong trường hợp tạo vớimột góc .
Cho hình chópcó đều cạnhvà, 
	a/ Tính góc giữa và khoảng cách từđến.
	b/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp đã cho.
	c/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích và thể tích khối cầu này.
Cho hình chópcólà hình chữ nhật, . Hai mặt bên cùng vuông góc với. Gọilà tâm của hình chữ nhật.
	a/ Tính thể tích hình chóp.
	b/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích và thể tích khối cầu đó.
Cho hình chóp có là hình thang vuông, đáy lớn, đường cao ,.
	a/ Tính thể diện tích toàn phần và thể tích hình chóp.
	b/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
	c/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópvớilà trung điểm.