Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chương 2: Cực trị của hàm

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM 
4CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG 1: Tìm cực trị của hàm số.
DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước)
~ Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Quy tắc 1:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính. Tìm các điểm tại đó bằng 0 hoặc không xác định.
- Lập bảng biến thiên
- Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính. Giải phương trình và ký hiệu là các nghiệm của nó.
- Tính và 
- Dựa vào đấu củasuy ra tính chất cực trị của điểm .
LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) 
b) 
e) 
c) 
d) 
f) 
Bài 2: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
 a) 
 c) 
b) 
d) 

 GIẢI
a) TXĐ: D=R
Với : (vì )
Với : , 
Bảng biến thiên: , 
x
 -1 0 

 + 0 - +
y
 1 0

	Kết luận:
Hàm số đạt cực đại tại , 
Hàm số đạt cực tiểu tại , 
b) TXĐ: D=R
, , 
Tính: , 
Kết luận:
HS đạt cực đại tại , 
HS đạt cực tiểu tại , 
c) TXĐ: D = R
	, , 
Tính: là điểm cực tiểu
 là điểm cực đại
Kết luận:
	+ Hàm số đạt cực đại tại , 
	+ Hàm số đạt cực tiểu tại , 
d) TXĐ: D=R
Xét: 
+ 
 HS đat cực tiểu tại các điểm , 
+ 
	 HS đat cực đại tại các điểm 
~ Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
 Lưu ý:
1) Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: ta làm như sau:
	 (*)
	Gọi là nghiệm của pt (là các điểm cực trị)
	Trong đó là phần dư của phép chia 
	Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 
	( Vì toạ độ của điểm cực trị thoả pt , nên từ (*) ta suy ra
	)
2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số:
 , 
 (1)
Gọi là các nghiệm của (1), từ (1) ta suy ra:
Các giá trị cực trị là:
	Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 
Bài 1: Cho hàm số: 
	Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu.
GIẢI
TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Để hàm số không có cực trị thì phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Bài 2: Cho hàm số: 
	Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
GIẢI
TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Hàm số đạt cực tiểu tại 
	Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại 
Bài 3: Cho hàm số 
	a) Tìm cực trị của hàm số.
	b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
GIẢI
a) TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Cho 
	Chia cho , ta được:
	Giá trị cực trị là: 
	Lập bảng biến thiên CĐ, CT.
	b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: 
Bài 4: Cho hàm số 
	Xác định m sao cho:
	a) Hàm số có cực trị.
	b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu.
GIẢI
a) TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Cho (*)
	Để hàm số có 2 cực trị thì: 
	b) Chia cho , ta được:
	 giá trị cực trị là: 
	Gọi , là 2 điểm cực trị
	Hàm số có 2 cực trị cùng dấu 
	 (1)
	Mặt khác: , 
	Do đó (1) 
Kết hợp với điều kiện có cực trị , ta được: 
Bài 5: Cho hàm số: 
	Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả 
GIẢI
 	TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Hàm số có 2 cực trị 
	 (*)
	Gọi , là 2 nghiệm của phương trình thì:
	 Từ (1) và (2) , 
	Thay vào (3) 
	 (Nhận so với điều kiện)
	Vậy: 
Bài 6: Cho hàm số: (ĐH Y - Dược)
	Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m.
GIẢI
 	TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ 
	 có 2 nghiệm , thỏa 
Vậy 
Bài 7: Cho hàm số: (1) 
	Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng 
GIẢI
 	TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Cho 
Hàm số (1) có cực trị 
Lấy (1) chia cho ta được: 
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
 (d)
Để (d) song song với đường thẳng thì:
 Bài 8: Cho hàm số: 
	a) Tìm cực trị của hàm số.
	b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
GIẢI
 	a) TXĐ: 
 	Đạo hàm: , 
	Giá trị cực trị là:
	, 
	Lập bảng biến thiên CĐ, CT.
	b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 
 Bài 9: Cho hàm số: . Tìm m để hàm số:
	a) Có cực đại và cực tiểu.
	b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.
GIẢI
 	a) TXĐ: 
 	Đạo hàm: , (1)
	Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có 2 nghiệm phân biệt
	b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi:
	 có 2 nghiệm phân biệt	
 Đồ thị không cắt trục ox ( Pt vô nghiệm)
Bài 10: Cho hàm số: 
Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số cùng dấu
GIẢI
TXĐ: 
 	Đạo hàm: , 
	Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi và chỉ khi
	 có 2 nghiệm phân biệt	
 có 2 nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt)
 Vậy