Đề cương ôn tập khối 10 kì 2 môn Toán - Trường THPT Trần Nhân Tông

I.ĐẠI SỐ 
CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình
Khái niệm bất phương trình. 
Nghiệm của bất phương trình. 
Bất phương trình tương đương. 
Phép biến đổi tương đương các bất phương trình. 
2. Dấu của một nhị thức bậc nhất
Dấu của một nhị thức bậc nhất. 
Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
3. Dấu của tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc hai. 
Bất phương trình bậc hai. 
Bài tập.
1. Xét dấu biểu thức 
f(x) = (2x - 1)(5 -x)(x - 7). 
g(x)= 
h(x) = -3x2 + 2x – 7
k(x) = x2 - 8x + 15 
2. Giải bất phương trình 
a) > 0
b) –x2 + 6x - 9 > 0; 
c) -12x2 + 3x + 1 < 0. 
 d)	
 e)
f/
 g) (2x - 8)(x2 - 4x + 3) > 0
	 h) 
	k) 
 l). (1 – x )( x2 + x – 6 ) > 0
 m). 
	3. Giải bất phương trình
 a/ 	
b/ 	
c/ 	
d/ 
e/ 
4) Giải hệ bất phương trình sau
a) . b) .
c) 
d) 
5) Với giá trị nào của m, phương trình sau có nghiệm? 
 a) x2+ (3 - m)x + 3 - 2m = 0. 
 b) 
6) Cho phương trình : 
Với giá nào của m thì :
Phương trình vô nghiệm 
Phương trình có các nghiệm trái dấu 
7) Tìm m để bpt sau có tập nghiệm là R: a)
b) 
	 8) Xác định giá trị tham số m để phương trình sau vô nghiệm:
	x2 – 2 (m – 1 ) x – m2 – 3m + 1 = 0.
 9) Cho 
 f (x ) = ( m + 1 ) x– 2 ( m +1) x – 1
a) Tìm m để phương trình f (x ) = 0 có nghiệm 
b). Tìm m để f (x) 0 , 
CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ
1.Bảng phân bố tần số - tần suất.
2. Biểu đồ
Biểu đồ tần số, tần suất hình cột. 
Đường gấp khúc tần số, tần suất. 
Biểu đồ tần suất hình quạt. 
3. Số trung bình
Số trung bình. 
Số trung vị và mốt. 
4. Phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê
Bài tập.
	1. Cho caùc soá lieäu ghi trong baûng sau
Thôøi gian hoaøn thaønh moät saûn phaåm ôû moät nhoùm coâng nhaân (ñôn vò:phuùt) 
42	42	42	42	44	44	44	44	44	45
45	45	45	45	45	45	45	45	45	45
45	45	45	45	45	45	45	45	45	54
54	54	50	50	50	50	48	48	48	48
48	48	48	48	48	48	50	50	50	50
	a/Haõy laäp baûng phaân boá taàn soá ,baûng phaân boá taàn suaát.
	b/Trong 50 coâng nhaân ñöôïc khaûo saùt ,nhöõng coâng nhaân coù thôøi gian hoaøn thaønh moät saûn phaåm töø 45 phuùt ñeán 50 phuùt chieám bao nhieâu phaàn traêm?
2. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn vị cm): 
145
158
161
152
152
167 
150
160
165
155
155
164 
147
170
173
159
162
156 
148
148
158
155
149
152 
152
150
160
150
163
171 
a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155); [155; 165); [165; 175). 
b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất
c) Phương sai và độ lệch chuẩn
3. Điểm thi học kì II môn Toán của một tổ học sinh lớp 10A (quy ước rằng điểm kiểm tra học kì có thể làm tròn đến 0,5 điểm) được liệt kê như sau: 
2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10. 
a) Tính điểm trung bình của 10 học sinh đó (chỉ lấy đến một chữ số thập phân sau khi đã làm tròn). 
b) Tính số trung vị của dãy số liệu trên. 
	4. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau :
Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ờ trường THPT C. ( đơn vị : giây )
a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp :
 [ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ]
b). Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc về thành tích chạy của học sinh.
c). Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của bảng phân bố.
5 Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống kê như ở bảng sau: 
Tháng
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Số
khách
430
550
430
520
550
515
550
110
520
430
550
880
a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số trung bình
b). Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn.
CHƯƠNG 6. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Góc và cung lượng giác
Độ và rađian. 
Góc và cung lượng giác. 
Số đo của góc và cung lượng giác. 
Đường tròn lượng giác.
2. Giá trị lượng giác của một góc (cung)
Giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang và ý nghĩa hình học. 
Bảng các giá trị lượng giác của các góc thường gặp. 
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác.
3. Công thức lượng giác
Công thức cộng. 
Công thức nhân đôi. 
Công thức biến đổi tích thành tổng. 
Công thức biến đổi tổng thành tích. 
Bài tập
1. Đổi số đo của các góc sau đây sang ra-đian: 
105° ; 108° ; 57°37'. 
2. Một đường tròn có bán kính 10cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn có số đo: 
a) 
b) 45°. 
3. cho sinα = ; và 
a) Cho Tính cosα, tanα, cotα. 
b) Cho tanα = 2 và Tính sinα, cosα. 
4. Chứng minh rằng: 
a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4; 
 b) cos4x - sin4x = 1 - 2sin2x
 5. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: 
a) sin(A + B) = sinC 
b) sin= cos
6. Tính: cos105°; tan15°. 
7. Tính sin2a nếu sinα - cosα = 1/5 
8. Chứng minh rằng: 
cos4x - sin4x = cos2x. 
 HÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn
D¹ng 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
1) 2)
Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh
1) 2)
T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó 
hÖ ph­¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
1) 2) 
T×m m ®Ó hai ®­êng th¼ng sau song song
T×m m ®Ó hai ®­êng th¼ng sau c¾t nhau trªn Oy 
 ##
HÖ gåm mét ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt vµmét ph­¬ng tr×nh bËc hai hai Èn
D¹ng 
PP gi¶i: Rót x hoÆc y ë (1) råi thÕ vµo (2).
1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh
1) 2)
3)
2. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh
1) 2)
 3. T×m m ®Ó ®­êng th¼ng 
c¾t parabol t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. ##
HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I
D¹ng ; víi = .
PP gi¶i: ®Æt 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm
1) 2) 
Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
Gi¶ sö lµ mét nghiÖm cña hÖ. T×m m ®Ó biÓu thøc F= ®¹t max, ®¹t min. ##
HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II
D¹ng 
PP gi¶i: hÖ t­¬ng ®­¬ng 
 hay 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh
1) 2) 
3) 4) 
T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.
1) 2) ##
HÖ ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp (cÊp 2)
D¹ng 
PP gi¶i: ®Æt nÕu 
1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
1) 2) 
3) 4) 
2. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm
1) 2)#
Mét sè HÖ ph­¬ng tr×nh kh¸c
1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
1) 2) 
3) 4)
5) 6) 
2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh
1) 3) 
2) 
3. T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung 
a) vµ 
b) vµ
4. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm
T×m m, n ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nhiÒu
h¬n 5 nghiÖm ph©n biÖt 
 ## 
II.HÌNH HỌC.
CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 
1.Tích vô hướng của hai vectơ. 
Định nghĩa
Tính chất của tích vô hướng. 
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. 
Độ dài của vectơ và khoảng cách giữa hai điểm.
2. Các hệ thức lượng trong tam giác
Định lí côsin, định lí sin. 
Độ dài đường trung tuyến trong một tam giác. 
Diện tích tam giác. 
Giải tam giác.
CHƯƠNG III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1.Phương trình đường thẳng
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng. 
Phương trình tổng quát của đường thẳng. 
Góc giữa hai vectơ. 
Vectơ chỉ phương của đường thẳng. 
Phương trình tham số của đường thẳng. 
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau. 
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 
Góc giữa hai đường thẳng. 
2.Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn với tâm cho trước và bán kính cho trước. 
Nhận dạng phương trình đường tròn. 
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. 
Bài tập
Bài 1. Cho tam giaùc ABC coù , caïnh CA = 8, caïnh AB = 5
Tính caïnh BC
Tính dieän tích tam giaùc ABC
Xeùt xem goùc B tuø hay nhoïn 
Tính ñoä daøi ñöôøng cao AH
Tính baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc
Bài 2. Cho tam giaùc ABC coù a = 13 ; b = 14 ; c = 15 
Tính dieän tích tam giaùc ABC
Goùc B nhoïn hay tuø 
Tính baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp r vaø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R cuûa tam giaùc
Tính ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán ma 
Bài 3 Cho tam giác ABC có a = 3 ; b = 4 và góc C = 600; Tính các góc A, B, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và trung tuyến ma. 
Bài 4 Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: 
a) Đi qua A(1;-2) và song song với đường thẳng 2x - 3y - 3 = 0. 
b) Đi qua hai điểm M(1;-1) và N(3;2). 
c) Đi qua điểm P(2;1) và vuông góc với đường thẳng x - y + 5 = 0. 
Bài 5. Cho tam giác ABC biết A(-4;1), B(2;4), C(2;-2). 
Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB. 
Bài 6. Cho tam giaùc ABC coù: A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Vieát phöông trình toång quaùt cuûa:
a) 3 caïnh AB, AC, BC
Ñöôøng thaúng qua A vaø song song vôùi BC
Trung tuyeán AM vaø ñöôøng cao AH cuûa tam giaùc ABC
Ñöôøng thaúng qua troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC vaø vuoâng goùc vôùi AC
Ñöôøng trung tröïc cuûa caïnh BC
Bài 7. Cho tam giaùc ABC coù: A(1 ; 3), B(5 ; 6), C(7 ; 0).:
a) Vieát phöông trình toång quaùt cuûa 3 caïnh AB, AC, BC
b) Viết phương trình đöôøng trung bình song song cạnh AB
Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt hai trục tọa độ tại M,N sao cho AM = AN
Tìm tọa độ điểm A’ là chân đường cao kẻ từ A trong tam giaùc ABC	
Bài 8. Viết phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và 
a) đi qua điểm A(3;5). 
b) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình x + y = 1. 
Bài 9. Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: 
x2 + y2 - 4x - 6y + 9 = 0.
Bài 10. Cho đường tròn có phương trình: 
x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A(-1;0). 
	Bài 11. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) qua A(5 ; 3) vaø tieáp xuùc vôùi 
(d): x + 3y + 2 = 0 taïi ñieåm B(1 ; –1)
	Bài 12 : Cho đường thẳng d : và điểm A(4;1) 
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của A xuống d
Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d
Bài 13 Cho đường thẳng d : và điểm M(1;4) 
Tìm tọa độ hình chiếu H của M lên d
Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d
Bài 14 Cho đường thẳng d có phương trình tham số :
Tìm điểm M trên d sao cho M cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5
Tìm giao điểm của d và đường thẳng 
Bài 15 Tính bán kính đường tròn tâm I(3;5) biết đường tròn đó tiếp xúc với đường thẳng 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG.
Chuyªn ®Ò 1 : VÐc tơ và tọa độ vÐc tơ.
A. tãm t¾t lÝ thuyÕt.
 I. Hệ Trục toạ độ
 II. Tọa độ vÐc tơ.
 1. Định nghĩa.
 2. C¸c tÝnh chất.
 Trong mặt phẳng cho , ta cã :
 a. 
 b. .
 c. .
 d. 
 e. 
 f cïng phương 
 g. .
 3. VÝ dụ. 
 VÝ dụ 1. T×mm tọa độ cña vÐc tơ sau :
 VÝ dụ 2. Cho c¸c vÐc tơ : .
 a. T×m toạ độ của vÐc tơ 
 b. T×m toạ độ của vÐc tơ sao cho 
 c. T×m c¸c số để .
 VÝ dô. Trong mặt phẳng toạ độ cho c¸c vÐc tơ : .
 a. T×m toạ độ cña vÐc tơ sau 
 ; 
 b. T×m c¸c số sao cho 
 c. TÝnh c¸c tÝch v« hướng 
 VÝ dụ 4. Cho 
 T×m để cïng phương.
 III. Toạ độ của điểm.
Định nghĩa .
 2. Mối liªn hệ giữa toạ độ điểm và toạ độ của vÐc tơ.
 Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm . Khi ®ã:
 a. .
 b. Toạ độ trung điểm của đoạn là : .
 c. Toạ độ trọng t©m của là : .
 d. Ba điểm thẳng hàng cïng phương.
 3. VÝ dụ.
 VÝ dụ 1. Cho ba điểm .
 a. Chứng minh ba điểm kh«ng th¼ng hàng.
 b. TÝnh chu vi .
 c. T×m tọa độ trực t©m .
 VÝ dụ 2. Cho ba điểm .
 a. Chứng minh th¼ng hàng.
 b. T×m toạ độ sao cho là trung điểm của .
 c. T×m toạ độ điÓm trªn sao cho th¼ng hàng.
 VÝ dụ 3. Cho ba điểm .
Chứng minh ba điểm tạo thành tam gi¸c.
T×m toạ độ trọng t©m .
T×m toạ độ điểm sao cho là h×nh b×nh hành.
®­êng th¼ng.
Chuyªn ®Ò 1: ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng.
A. kiÕn thøc c¬ b¶n.
 I. VÐc  ... p 46: LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn cã hai nghiÖm lµ: 
 vµ 
TÝnh : P = 
Bµi tËp 47: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh : cã ®óng hai nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi tËp 48: Cho hai ph­¬ng tr×nh sau : ( x lµ Èn , m lµ tham sè )
T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm chung.
Bµi tËp 49:
 Cho ph­¬ng tr×nh : víi x lµ Èn , m lµ tham sè cho tr­íc
Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®· cho kho m = 0.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
Bµi tËp 50: Cho ph­¬ng tr×nh : 
 ( x lµ Èn ; m lµ tham sè ).
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = - 
CMR ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm víi mäi m.
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia.
 Bµi tËp 52: Cho ph­¬ng tr×nh x2 + x – 1 = 0 . 
 a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu . 
 b) Gäi lµ nghiÖm ©m cña ph­¬ng tr×nh . H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : 
Bµi tËp 53: Cho ph­¬ng tr×nh víi Èn sè thùc x:
 x2 - 2(m – 2 ) x + m - 2 =0. (1)
 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp. TÝnh nghiÖm kÐp ®ã.
Bµi tËp 54: 
Cho ph­¬ng tr×nh : x2 + 2(m-1) x +2m - 5 =0. (1)
CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.
T×m m ®Ó 2 nghiÖm cña (1) tho¶ m·n : .
Bµi tËp 55:
Cho a = . CMR a, ,b lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn.
 Cho . CMR lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn.
Bµi tËp 56: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai :
 (x lµ Èn, m lµ tham sè).
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu ©m.
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tho¶ m·n : .
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó tËp gi¸ trÞ cña hµm sè 
y= chøa ®o¹n .
Bµi tËp 57:Cho ph­¬ng tr×nh : 
 x2 - 2(m-1) x +2m - 3 =0.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm nµy b»ng b×nh ph­¬ng nghiÖm kia.
Bµi tËp 58: Cho ph­¬ng tr×nh : 
Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.
Gi¶ sö lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nµy. H·y t×m gi¸ trÞ cña a sao cho 
Bµi tËp 59: Cho ph­¬ng tr×nh : 
 mx2 -5x – ( m + 5) = 0 (1) trong ®ã m lµ tham sè, x lµ Èn.
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 5.
Chøng tá r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m.
Trong tr­êng hîp ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt , h·y tÝnh theo m gi¸ trÞ cña biÓu thøc B = . T×m m ®Ó B = 0.
Bµi tËp 60:
Cho ph­¬ng tr×nh : ( m lµ tham sè ,x lµ Èn sè). T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
Cho a, b, c, d R . CMR Ýt nhÊt mét trong 4 ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
Bµi tËp 61:
Cho a, b , c, lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n ®¼ng thøc . CMR ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
Cho ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d­¬ng . X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña p khi ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi tËp 62: Cho ph­¬ng tr×nh :
 (m + 1 ) x2 – ( 2m + 3 ) x +2 = 0 , víi m lµ tham sè.
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 1.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt sao cho nghiÖm nµy gÊp 4 lÇn nghiÖm kia.
 Bµi tËp 63: Cho ph­¬ng tr×nh
 : (1)
T×m nghiÖm ( x ; y ) cña ph­¬ng tr×nh ( 1 ) tho¶ m·n 
T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh (1).
Bµi tËp 64: Gi¶ sö hai ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x :
 vµ 
Cã nghiÖm chung. CMR
 : 
Bµi tËp 65: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : 
 a) Chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi 
 b) Gäi lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , chøng minh : 
 Bµi tËp 66: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : 
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm.
Gäi lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : .
Bµi tËp 67: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : 
 víi m 1. (1) 
CMR (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.
Gäi lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) , t×m m ®Ó vµ 
Bµi tËp 68: Cho a , b , c lµ ®ä dµi 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c . CMR ph­¬ng tr×nh 
 v« nghiÖm . 
Bµi tËp 69: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : 
BiÕt r»ng (1) cã c¸c nghiÖm m vµ n, (2) cã c¸c nghiÖm p vµ q. CMR : .
Bµi tËp 70: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : 
 cã c¸c nghiÖm ; ph­¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm . 
 BiÕt . X¸c ®Þnh b, c.
Bµi tËp 71 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau 
3x4 - 5x2 +2 = 0 
x6 -7x2 +6 = 0 
(x2 +x +2)2 -12 (x2 +x +2) +35 = 0 
(x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24
3x2+ 3x = +1
(x + ) - 4 ( +6 =0
Bµi tËp 72. gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau. 
a) x2 -x - 5 =0 b) -.x2- 2 x +1=0 
 c) ( 1 - d)5x4 - 7x2 +2 = 0 e) (x2 +2x +1)2 -12 (x2 +2x +1) +35 = 0 f) (x2 -4x +3)(x2-12x +35)=-16 g) 2x2+ 2x = +1 .
Bµi tËp 73.Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai 4x2-5x+1=0 (*) cã hai nghiÖm lµ x, x.
1/ kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
 ; ; ; 
2/ lËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm b»ng: 
a) u = 2x1- 3, v = 2x2-3
b) u = , v = .
Bµi tËp 74 . Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2- mx +3 = 0 vµ x2- x +m+2= 0 .
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm chung. 
T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng.
Bµi tËp 75. Cho ph­¬ng tr×nh (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 = 0 .
t×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2.
T×m a sao cho +<3 .
T×m mét hÖ thøc ®éc lËp gi÷a x1, x2.
Bµi tËp 76. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai: x2 +(m+2)x +m= 0 .
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m =- .
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 
Bµi tËp 77:
 Cho ph­¬ng tr×nh:
 mx2 – 2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1) 
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm 
T×m m ®Ó PT(1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu . Khi ®ã trong hai nghiÖm nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n ?
X¸c ®Þnh m ®Ó nghiÖm x1 ; x2 cña PT (1) cã hai nghiÖm tho¶ m·n x1 + 4x2 = 3
T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 kh«ng phô thuéc vµo m 
Bµi tËp 78: Cho ph­¬ng tr×nh mx2 – 2( m -2) x + (m – 3) = T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm x1 ;x2 cña PT tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x12 + x22 = 1
Bµi tËp 79: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ m ®Ó PT sau cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i ®Êu 
 (m – 1)x2 – 2x + 3 = 0 
Bµi tËp 80 Cho PT : x2 – 2(m-2) x + ( m2 + m – 3) = 0 
 T×m c¸c GT cña m ®Ó PT cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n :
Bµi tËp 81 .Cho PT : x2 – (m+2) x + ( 2m – 1) = 0 cã c¸c nghiÖm x1; x2 . LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1; x2 ®éc lËp víi m .
Bµi tËp 82Cho PT x2 – 2(a – 1) x + 2a – 5 = 0 (1)
Chøng minh (1) cã nghiÖm víi mäi a 
Víi mäi gi¸ trÞ cña a th× (1) cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n x1 < 1 < x2 
Víi GT nµo cña a th× (1) cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n x12 + x22 = 6.
Bµi tËp 83: Cho PT : x2 – 10x – m2 = 0 (1) 
 mx2 + 10x – 1 = 0 (2) ( m kh¸c kh«ng ) 
Chøng minh r»ng nghiÖm PT (1) lµ nghÞch ®¶o c¸c nghiÖm cña PT hai 
Víi GT nµo cña m th× PT (1) cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 6x1 + x2 = 5 
Bµi tËp 84: Cho Ph­¬ng tr×nh x2 – 2(m+1) x – 3m2 – 2m – 1 = 0 (1) 
C/mr víi mäi m PT lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu 
T×m GT cña m ®Ó PT (1) cã mét nghiÖm x = -1
T×m c¸c GT cña m ®Ó PT (1) cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 2x1 + 3x2 = 5
T×m c¸c GT m ®Ó PT (1) cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n x12 + x22 = m2 – 2m + 3 .
Bµi tËp 85: Cho PT : x2 – (a- 1) x + a = 0 
T×m c¸c GT cña a sao cho tæng lËp ph­¬ng c¸c nghiÖm b»ng 9
Víi GT nµo cña a th× tæng c¸c b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm cã GTNN 
Bµi 14: Cho PT x2 – 5x + 6 = 0 (1) . Kh«ng gi¶i PT lËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm y1 ; y2 
§Òu lµ sè ®èi c¸c nghiÖm cña PT (1) 
§Òu lín h¬n c¸c nghiÖm c¶u PT(1) lµ 2
Bµi tËp 87. Cho Ph­¬ng tr×nh x2 – (m – 1) x – m2 +m – 2 = 0 
Gi¶i PT khi m = 2
C/mr phg­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi GT cña m 
Gäi hai nghiÖm c¶u PT ®· cho lµ x1 ; x2 .T×m m ®Ó hai nghiÖm ®ã tho¶ m·n 
 ®¹t GTLN 
Bµi tËp 88: Cho Ph­¬ng tr×nh : x2 – mx – m – 1 = 0 (*) 
C/mr PT (*) cã nghiÖm x1 ; x2 víi mäi GT cña m ; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã ) cña PT vµ GT m t­¬ng ­íng .
§Æt A = x12 + x22 – 6x1.x2 
Chøng minh A = m2  -8m + 8
T×m m sao cho A= 8
T×m GTNN cña a vµ GT m t­¬ng øng .
Bµi tËp 89: Cho ph­¬ng tr×nh x2 – 2(a- 1) x + 2a – 5 = 0 (1) 
C/mr PT(1) cã nghiÖm víi mäi a
Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× (1) cã nghiÖm x1 ,x2 tho¶ m·n x1 < 1 < x2 
Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n 
 x12 + x22 =6
Bµi tËp 90: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – 2(m+1)x + m – 4 = 0 ( *) 
Chøng minh (*) cã hai nghiÖm víi mäi m 
T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó PT (*) cã hai nghiÖm tr¸i d¸u 
Gi¶ sö x1 ; x2 lµ nghiÖm cña PT (*) 
 Chøn minh r»ng : M = (1 – x1) x2 + (1 – x2)x1 
Bµi tËp 91: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – (1- 2n) x + n – 5 = 0 
Gi¶i PT khi m = 0 
Chøng minh r»ng PT cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña n
Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm c¶u PT ®· cho 
Chøng minh r»ng biÓu thøc : x1(1 + x2) + x2(1 +x1)
Bµi tËp 92: C¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 + ax + b + 1 = 0 (b kh¸c -1) lµ nh÷ng sè nguyªn 
 Chøng minh r»ng a2 + b2 lµ hîp sè 
Bµi tËp 93: Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c .C/m:
 x2 + ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0 
 v« nghiÖm 
Bµi tËp 94: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( a.c 0) vµ cx2 + dx + a = 0 cã c¸c nghiÖm x1; x2 vµ y1 ; y2 t­¬ng ­íng C/m x12 + x22 + y12 + y22 4 
Bµi tËp 95: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh x2+ bx +c =0 (1) vµ x2 +cx +b = 0 (2) 
 Trong ®ã 
Bµi tËp 96: Cho p,q lµ hai sè d­¬ng .Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
 px2 + x +q = 0 vµ x3 ; x4 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh qx2 + x + p = 0 
 C/m : 
Bµi tËp 97: Cho a,b,c lµ ba sè thùc bÊt kú .Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong ba ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm :
Bµi tËp 98: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai :x2 + (m+2) x + 2m = 0 (1)
C/m ph­¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nnghiÖm 
Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . T×m m ®Ó 2(x12 + x22 ) = 5x1x2 
Bµi tËp 99: Cho ph­¬ng tr×nh x2 + a1x + b1 = 0 (1) ; x2 + a2x + b2 = 0 (2) 
 Cã c¸c hÖ sè tho¶ m·n .Cmr Ýt nhÊt mét trong hai ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm 
Bµi tËp 100: Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh : 
V« nghiÖm 
 NÕu a + b > c vµ 
Bµi tËp 101: Cho hai ph­¬ng tr×nh :
 x2 + mx + 1 = 0 (1) x2 + x + m = 0 (2) 
T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung 
T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng ®­¬ng 
Bµi tËp 102: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 – 2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = 0 (1) 
C/mr ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm 
Trong tr­êng hîp ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp x¸c ®Þnh a,b,c .BiÕt a2 + b2 + c2 = 14 
Bµi tËp 103: Chøng minh r»ng nÕu ph­¬ng tr×nh :x2 + ax + b = 0 vµ x2 + cx + d = 0 cã nghiÖm chung th× : (b – d)2 + (a- c)(ad – bc) = 0 
Bµi tËp 104: Cho ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 .C/mr nÕu b > a + c th× ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 
Bµi tËp 105: G/s x1 , x2 lµ hai nghiÖm cña hai ph­¬ng tr×nh x2 + ax + bc = 0 vµ x2 , x3 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 + bx + ac = 0 ( víi bc kh¸c ac ) . Chøng minh x1, x3 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2  + cx + ab = 0 .
Bµi tËp 106: Cho ph­¬ng tr×nh x2 + px + q = 0 (1) .T×m p,q vµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) biÕt r»ng khi thªm 1 vµo c¸c nghiÖm cña nã chóng chë thµnh nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : x2 – p2x + pq = 0 
Bµi tËp 107: Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh : 
 (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0
 Lu«n cã nghiÖm víi mäi a,b,c.
Bµi tËp 108: Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : 2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + 3 = 0 
 T×m GTLN cña biÓu thøc A = 
Bµi tËp 109: Cho a 0 .G/s x1 ; x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
 Chøng minh r»ng : 
Bµi tËp 110 Cho ph­¬ng tr×nh .Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
 T×m GTNN cña E = 
Bµi tËp 111: Cho ph­¬ng tr×nh x2 + 2(a + 3) x + 4( a + 3) = 0 
Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp 
X¸c ®Þnh a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lín h¬n – 1