Đề cương ôn tập học kỳ 1 môn Toán lớp 12

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 1 MÔN TOÁN LỚP 12
PHẦN ĐẠI SỐ
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
y = –2x3 +9x2 +24x –7
y = x4 –2x2 –1
Bài 2: Tìm giá trị tham số m để:
Hàm số y = –x3+ mx2– 3x+ 1 nghịch biến trên .
Hàm số: y = x3– 3mx2+ (m+2)x– m đồng biến trên .
Hàm số: y = mx3–(2m-1)x2+ (m-2)x– 2 luôn giảm trên miền xác định.
Hàm số nghịch biến trong từng khoảng xác định.
Hàm số luôn đồng biến trong từng khoảng xác định.
Hàm số đồng biến trên khoảng 
Hàm số nghịch biến trên. 
Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số
Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
y= –x4+ 2x2– 3
y= 
y= e–x(x2– 3x +1)
y= x– 2sin2x
y= 2sinx +cos2x trên 
y= 
Bài 2: 
Chứng minh rằng hàm số: y= 2x3+ 3(m–3)x2+ 6(m– 5)x– 1 luôn luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m.
Cho hàm số y= mx3– 2x2+ 3x– 1. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = –1
Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Cho hàm số y= (m+2)x3+ 3x2+ mx– 5. Tìm m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
Cho hàm số y= mx4+(m2–9)x2+ 10. Tìm m để hàm số có ba cực trị.
Cho hàm số y= . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung.
Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương. (CĐ-2009)
Dạng 3: Giá trị lớn nhất- Giá trị nhỏ nhất của hàm số
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
y= 2x3– 3x2– 12x+ 1 trên 
y= x3– 3x+ 3 trên [–2;2]
y= trên [0;3]
 trên [0;1]
 trên đoạn [0; 3] (hk1-08-09)
 (hk1-09-10)
(đhB-2003)
trên đoạn [-1;2](đhD-2003)
trên đoạn (đhB-2004)
y= (x–6) trên [0;3]
trên đoạn [0;4]
Y = trên [-2;0](TN-2009)
y = e-xcosx trên 
y = x2 + trong 
y = lnx– x
y= 2cos2x–3cosx– 4 trên 
(hk1-09-10)
y = trên đoạn [1 ; e2 ]
Dạng 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
y= –x3 +1
y= x4– 2x2– 1
y= 2x3– 9x2+ 12x– 4
y= –x3+ 6x2– 9x+ 9
y= –x3 + 3x2– 5x+ 2
y= 
y= x4+ x2– 2 
y= –2x4 + 4x2+ 2
Dạng 5: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị.
1) Cho hàm số: f(x)= x3– 3x+ m (Cm)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m= 2
Dùng đồ thị đã vẽ ở câu a) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x)= 0
2) Cho hàm số: y= x3– 6x 
Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
 x3– 2(3x+1)+ m= 0
3) Cho hàm số: f(x)= 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m=5
Dùng đồ thị (C), hãy xác định m để phương trình f(x)= 0 có 4 nghiệm phân biệt.
4) Cho hàm số y= –x3 +3x2 –1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 3(x2+ m2)= 3+x3 
5) Cho hàm số y = 2x4- 4x2 (1)
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
 b) Với giá trị nào của m, phương trình có đúng sáu nghiệm thực phân biệt.(đhB2009)
Dạng 6: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
1) Cho hàm số y= x3+ 2mx2–x+1 có đồ thị (Cm) và đường thẳng (d): y= –2x+1
 Định m để đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt.
2) Tìm m để đồ thị hàm số y= x4–2(m+1)x2+2m+1 cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt.
3) Tìm m để đường thẳng (d): y= x–1 cắt đồ thị (C): y= tại hai điểm phân biệt.
4) Tìm m để đồ thị của hàm số y= x3–mx2+4x+4m–16 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.
5) Cho y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1). Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn(đhA-2010)
6) Cho y = x4-(3m+2)x2+3m. Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y= -1 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.(đhD-2009)
Dạng 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
1) Cho hàm số y= x3–3x+ 1 có đồ thị (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2;3)
b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 là nghiệm của phương trình 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= –x+1
d)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đi qua M(;–1)
2) Cho hàm số y= x3–2x2+3x+1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C),biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 3x 
3) Cho hàm số y= x3–2x2+3x có đồ thị (C). Xác định điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc nhỏ nhất. Viết phương trình tiếp tuyến ấy.
4) Cho hàm số y= x4 –2x2 + có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến song song với trục Ox.
5) Cho hàm số y = -x4 – 2x2 + 6.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng (ĐH-D2010)
BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 1: Cho hàm số: y= x(3–x)2 có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x–1)2(x– 4)= m
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x0 là nghiệm của phương trình
Bài 2: Cho hàm số y= 2x3– 3x2 +5 có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng y= x
Xác định m để đường thẳng (d) y= mx+ 5 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 3: Cho hàm số y= x3+ mx2+ 7x+ 3 có đồ thị (Cm)
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu..
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C5)
Xác định m để hàm số tăng trên tập xác định của nó.
Xác định m để hàm số đạt cực đại tại x= 1
Bài 4: Cho hàm số: y= x4–2mx2 + 3 có đồ thị (Cm)
Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m= 1
Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm dương của phương trình x4 – 2x2 +3 = m
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với (d):y= –24x +37
HÀM PHÂN THỨC:
Bài 1: Cho hàm số ( m là tham số )
Xác định m để đồ thị hàm số không cắt đường thẳng x = -1 .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số ứng với m = 1 .Tìm các điểm trên (C) có toạ độ là những số nguyên .
Tìm những điểm trên (C) cách đều hai trục toạ độ .
Chứng minh (C) nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Bài 2 :Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số .
Tìm những điểm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Lập phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2009.
* Từ đồ thị (C) , hãy nêu cách vẽ đồ thị (C’) của hàm số 
Bài 3:Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số .
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với hai trục toạ độ.
Chứng tỏ rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua tâm đối xứng của nó .
Bài 6 :Cho hàm số .
Định a ,b sao cho đồ thị (C ) của hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 có hệ số góc bằng 3.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) ứng với a ,b vừa tìm được.
 Viết phương trình đường thẳng d qua A(-3; 0) có hệ số góc k.Biện luận theo k số giao điểm của của d và (C).từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến phát xuất từ A..
Bài 7: Cho hàm số (1) (ĐH-A2009)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành trục tung tại hai điểm A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Bài 8: Cho hàm số (1) (ĐH-B2010)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
Tìm m để đường thẳng y= - 2x + m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A,B phân biệt sao cho tam giác OAB co diện tích bằng (với O là gốc tọa độ).
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
c) 	
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) e6x - 3e3x +2 = 0 
k) 
l) 2 2x+1 - 2 x+3 - 64 = 0 
m) 
n) 
o) 
p) 
q) 
r)
s) 
t) 
x) 
Bài 2: Giải các phương trình sau ( nâng cao)
a)
b)
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 	
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) (hk1-09-10)
n) (hk1-09-10)
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) 	
b) 
c) 
d)
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 	
j) 
k) 
l) 
Bài 4: Giải các phương trình sau ( nâng cao)
a) 
b) 	
c) 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Bài 1: Giải các bất phương trình sau
a) 	
b) 
c) 
d) < 0
e) 
f) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
·PHẦN HINH HỌC
1) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy là a. Tính thể tích khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết:
a) cạnh bên bằng 2a.
b) cạnh bên hợp với đáy một góc 600.
c) mặt bên hợp với đáy một góc 600.
2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, Tính thể tích của khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết:
a) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600.(hk1-08-09)
b) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. 
c) Cạnh bên có độ dài là: a.
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối cầu và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
4) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, AC = a, mặt bên SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
5) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’= b và đường thẳng AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’ theo a và b.
6) Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
7) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = a =600. Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một góc 300. 
	a) Tính độ dài đoạn AC’.
	b) Tính thể tích của khối lăng trụ.
8) Hình chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ là a, góc của đường cao với mặt bên là 300. 
	a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp cụt.
	b) Tính thể tích của khối chóp cụt.
9) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với đáy, góc của cạnh SC với mặt bên SAB là 300 . Cho SA = a.Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
10) Một khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
	a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
	b) Tính thể tích của khối lăng trụ.
11) Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp trong đường tròn đường kính AD; SD là đoạn thẳng có độ dài a và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
	a) Chứng minh SAC và SAB là những tam giác vuông.
	b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp S.ABDC.
	c) Tìm một điểm cách đều 5 điểm A, B, C, D, S.
12) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
	a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
	b) Tính góc của cạnh bên SC với mặt phẳng đáy. 
13) Trong mp(P) cho tam giác đều ABD nội tiếp đường tròn đường kính AC = 2R. Trên đường vuông góc với mp(P) tại C, lấy điểm M sao cho CM = 2R.
	a) Tính thể tích của khối chóp M.ABCD theo R.
	b) Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh I.ABD là hình chóp tam giác đều.
	c) Tính thể tích khối chóp I.ABD theo R. 
14) Một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân (AB = AC = a). Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ góc 300
a) Tính thể tích khối lăng trụ. 
b) Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ và tính thể tích khối cầu tương ứng.
15) Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
	a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tương ứng.
	b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho.
16) Một hình nón có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân.
	 Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón tương ứng.
17) Cho tứ diện ABCD có 4 đỉnh nằm trên mặt cầu, AB = AC = a, AD = 2a và ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc. Tính thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. (HK1-08-09).
18) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a, SC = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. (HK1-09-10)
19) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB1 = 2a. Đường thẳng AB1 tạo với một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ. (HK1 09-10) 
20) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có các cạnh bằng a nội tiếp một mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu đó. (HK1 09-10)
21) Cho hình chóp tứ giác đều có các cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
(HK1 09-10)
22) Cho hình cầu tâm O đường kính SS’= 2R. Mặt phẳng vuông góc với SS’ cắt mặt cầu theo đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn này. Đặt SH = x (R < x < 2R).
	a) Tính độ dài các cạnh của tứ diện S.ABC theo R và x.(ĐS: )
	b) Tính x để cho S.ABC là một tứ diện đều. Trong trường hợp này, tính thể tích của khối tứ diện S.ABC. (ĐS: )