Đề cương ôn tập học kì I môn toán lớp 12 năm học 2009 - 2010

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 12
NĂM HỌC 2009 - 2010
A. GIẢI TÍCH:
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ:
	1. Các kiến thức cơ bản cần nhớ:
1.1 Hàm số, tính đơn điệu của hàm số, mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu của đạo hàm cấp một của nó.
1.2 Điểm cực trị của hàm số. Các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số.
1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một tập hợp số.
1.4 Đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị.
1.5 Các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số. Giao điểm của hai đồ thị. 
	2. Các dạng toán cần luyện tập:
2.1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp một. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình hoặc chứng minh bất đẳng thức.
2.2 Tìm điểm cực trị của hàm số, tính giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng. Ứng dụng vào việc giải phương trình, bất phương trình.
2.3 Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2.4 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số :
y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0); y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0); .
2.5 Dùng đồ thị của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình.
2.6 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
	3. Các bài tập tham khảo:
3.1 Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số: 
Ghi nhớ: Xét dấu y’ vận dụng các quy tắc sau:
* Nếu y’ là nhị thức bậc nhất (y’ = ax + b), Quy tắc: Trái trái, Phải cùng dấu với hệ số a
* Nếu y’ là tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) có hai nghiệm phân biệt 
 Quy tắc: Trong trái, Ngoài cùng dấu với hệ số a
* Nếu y’ là tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm 
 Quy tắc: Cùng dấu với hệ số a
Đặc biệt: * Nếu y’ là hàm bậc ba (y’ = ax3 + bx2 + cx + d) có 3 nghiệm phân biệt
 Quy tắc: Đổi dấu khi đi qua các nghiệm của nó.
 Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
 a/ y = x3 – 6x2 + 9x (ĐB:; NB: (1; 3)
b/ y = x4 – 2x2 (ĐB: (-1; 0),; NB:)	; c/ y = (NB:) 
d/ y = (ĐB: )	; f/ y = (ĐB: (0; 1); NB: (1; 2))
3.2 Cực trị của hàm số: Tìm cực trị các hàm số sau: 
a/ y = x3 – 3x2 – 24 + 7 (yCĐ = y(-2) = 35; yCT = y(4) = -73)
b/ y = x4 – 5x2 + 4; (yCĐ = y(0) = 4; yCT = y() =)
c/ y = (yCĐ = y(1) = -1; yCT = y(3) = 3); d/ y = (yCT = y() =)
3.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Ghi nhớ: * GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]
Bước 1: Tính (x). Giải PT (x) = 0 nghiệm xi ; Bước 2: Tính f(a), f(b) 
Bước 3: Tính f(xi) với xi [a; b] ; Bước 4: So sánh f(a), f(b) và f(xi)GTLN – GTNN
 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a/ y = x + (x > 0)(y(2) = 4)	b/ y = ()
c/ y = trên ((y() = 1) 
d/ y = 2x3 – 3x2 – 12x + 10 trên (; y(-3) = -35) 
e/ y = x4 – 3x2 + 2 trên (; y(2) = 6) 
f/ y = trên [-3; -2](; y(-3) =)	
g/ y = trên [-4; 4] (; y() = 3); h/ y = 2sin2x – cosx + 1 
(Biến đổi về dạng: f(t) = -2t2 – t + 3 trên [-1; 1]) (; y(1) = 0)
3.4 Tiệm cận:
 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của các hàm số sau:
a/ y = 	; b/ y = ; c/ y = ; d/ y = 	; e/ y = 
3.5 Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan:
Ghi nhớ: a) PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại điểm M0(x0; y0)
Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y0 = (x0)(x – x0) Bước 2: Tính (x)
Bước 3: Tính (x0) Bước 4: Thay x0, y0 và (x0) vào bước 1
 b) PTTT của (C): y = f(x) biết hệ số góc k cho trước
Bước 1: Tính (x) Bước 2: Giải phương trình (x0) = k nghiệm x0
Bước 3: Tính y0 = f(x0) Bước 4: Thay x0, y0 và k = (x0) vào PT: y – y0 = (x0)(x – x0) 
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = x3 – 3x2	b/ y = - x3 + 3x – 1 	c/ y = 3x – 4x3 	d/ y = x3 – 3x2 + 3x – 2 
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = x4 – 2x2 – 1 	b/ y = 	c/ y = - x4 + 2x2 	d/ y = x4 + x2 – 2 
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = 	b/ y = 	c/ y = 	d/ y = 
Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + 2 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x – 2 + m = 0
ĐS: * m > 4: 1 n0; * m = 4: 2 n0; * 0 < m < 4: 3 n0; * m = 0: 2 n0; * m < 0: 1 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2). ĐS: y = 3x + 2
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
HD: PT đt đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng: . ĐS: y = 2x + 2
Bài 5: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – k = 0
ĐS: * k > 4: 1 n0; * k = 4: 2 n0; * 0 < k < 4: 3 n0; * k = 0: 2 n0; * k < 0: 1 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1
HD: Thế x = -1 vào (C) y = 3: M(-1; 3). ĐS: y = -3x
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
ĐS: y = -2x + 1
Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x4 + 2x2 + 1 – m = 0
ĐS: * m > 2: vô n0; * m = 2: 2 n0; * 1 < m < 2: 4 n0; * m = 1: 3 n0; * m < 1: 2 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2
HD: Thế y = 2 vào (C) x =1: M(-1; 2), N(1; 2). ĐS: y = 2
Bài 7: Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – 3 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24. ĐS: y = 24 – 43 
Bài 8: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 4 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = .
ĐS: y = ; y = 
Bài 9: Cho hàm số (C): y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất
HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x. ĐS: y = -x và y = -x + 8
Bài 10: Cho hàm số (Cm): y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm A(1; 4). ĐS: m = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: y = -1; y = 
Bài 11: Cho hàm số (Cm): y = x4 – (m + 7)x2 + 2m – 1 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1
b) Xác định m để đồ thị (Cm) đi qua điểm A(-1; 10). ĐS: m = 1
c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x4 – 8x2 – k = 0 có 4 nghiệm phân biệt. ĐS: -14 < k < 0
Bài 12: Cho hàm số (Cm): y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C2) 
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó 
HD: Chứng minh tử thức của y’ > 0 suy ra y’ > 0(đpcm)
c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; ). ĐS: m = 2
d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C2) tại điểm (1; ). ĐS: y = 
Bài 13: Cho hàm số (Cm): y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: m = 0
c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C(; -3). ĐS: m = -4
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung
HD: Giao điểm với trục tung x = 0, thay x = 0 vào (C) y = -1: E(0; -1). ĐS: y = -2x – 1 
Bài 14: Cho hàm số (Cm): y = x3 + (m + 3)x2 + 1 – m 
a) Định m để hàm số có điểm cực đại tại x = -1. ĐS: m = 
HD: * Tìm y’, tìm y” và vận dụng công thức sau
 * Để hàm số đạt cực đại (hay tiểu) tại x = 
b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2
HD: (Cm) cắt trục hoành tại x = -2 y = 0, thay vào (Cm). ĐS: m = 
Bài 15: Cho hàm số (Cm): y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định
HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau
 * Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập xác định y’ 0 (hay y’ 0) 
 * m2 – 2m + 1 m = 1 
(vì m2 – 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m = 1
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu 
HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau
 * Để hàm số có cực trị (hay có một cực đại và một cực tiểu) 
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
 * m2 – 2m + 1 > 0 m 1 
(vì m2 – 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0). ĐS: m 1
c) Xác định m để y”(x) > 6x. ĐS: m < 0
Bài 16: Cho hàm số (Cm): y = 
a) Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên từng khoảng xác định của nó 
y’ > 0 (hay y’ 0 (hay tử thức < 0). ĐS: - 3 < m < 1
* Giải bất phương trình bậc hai (có 2 nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu
b) Tìm trên (C-1) những điểm có tọa độ nguyên
HD: * Chia tử cho mẫu ta được 2 phần (phần nguyên + phần phân)
 * Để x, y nguyên phần phân nguyên tử thức mẫu thức 
ĐS: (1; 3); (-1; -5); (2; 1); (-2; -3); (4; 0); (-4; -2)
Bài 17: Xác định m để h/số y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – m đồng biến trên R. ĐS: 
Bài 18: Định m để hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – 6 có cực trị. ĐS: m < 2
Bài 19: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – 2mx + m + 1 đạt cực tiểu tại x = 3. ĐS: m = 
Bài 20: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – (m – 1)x + m – 5 đạt cực trị tại x = 1
HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau
 * Để hàm số đạt cực trị tại x = y’() = 0 (giải Pt suy ra giá trị m). ĐS: m = -4
Bài 21: Định m để hàm số y = x3 + (m – 2)x2 – mx + 3m giảm trên R. ĐS: 
II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT:
	1. Các kiến thức cơ bản cần nhớ:
1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên của số thực; lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa cới số mũ thực của số thực dương.
1.2 Logarit cơ số a của một số dương (a > 0, a ¹ 1). Các tính chất cơ bản của logarit. Logarit thập phân, số e và logarit tự nhiên.
1.3 Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ. Hàm số logarit (Định nghĩa, tính chất, đạo hàm và đồ thị).
1.4 Phương trình, bất phương trình mũ và Logarit.
	2. Các dạng toán cần luyện tập:
2.1 Dùng các tính chất của lũy thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa lũy thừa.
2.2 Dùng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa logarit.
2.3 Áp dụng các tính chất của Logarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa Logarit.
2.4 Áp dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số logarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và logarit.
2.5 Vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit.
2.6 Tính đạo hàm các hàm số y = ex, y = lnx. Tính đạo hàm các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit và hàm số hợp của chúng.
2.7 Giải một số phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng các phương pháp đưa về cùng cơ số, đặt ẩn số phụ, logarit hóa, mũ hóa và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
	3. Các bài tập tham khảo:
2.1 Lũy thừa: 
Bài 1: Tính: a) (24)	 b) (8)	 c) (8) 
 d) (18)	 e) (9) f) (16)
Bài 2: Rút gọn: 
a) (a)	 b) (a) c) ()
d) (a > 0) () e) ()
Bài 3: So sánh các cặp số sau: a) và b) và 
 c) và d) 2300 và 3200
Bài 4: Chứng minh rằng: a) b) 
Bài 5: Hãy viết các số sau theo thứ tự tăng dần:
a) b) 
3.2 Hàm số lũy thừa 
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) b) c) 
d) e) f) 
Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) b) c) 
d) e) f) 
Bài 3: Khảo s ...  * Ta có: mp(SAB) (ABCD)
 * (SAB) (ABCD) = AB; * SH (SAB)
 * SH AB ( là đường cao của SAB đều)
 Suy ra: SH (ABCD) (đpcm)
 b) * Tính: VS.ABCD = Bh = SABCD.SH; * Tính: SABCD = a2 
 * Tính: SH = (vì SAB đều cạnh a) ĐS: VS.ABCD = 
7a
6a
5a
N
M
H
P
C
B
A
60
°
S
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó.
HD: * Hạ SH (ABC) và kẻ HM AB, HNBC, HP AC
 * Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là = = 600 
 * Ta có: Các vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh 
 góc vuông và 1 góc nhọn bằng 600)
 * Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC
 * Tính: VS.ABC = Bh = SABC .SH
 * Tính: SABC = 
 = (công thức Hê-rông)
 * Tính: p = Suy ra: SABC = 
 * Tính SH: Trong SMH tại H, ta có: tan600 = SH = MH. tan600
 * Tính MH: Theo công thức SABC = p.r = p.MH MH = = 
 Suy ra: SH = ; ĐS: VS.ABC = 
Bài 12: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng . 
 Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. ĐS: SA = .
Bài 13: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng và thể tích bằng a3. 
Tính cạnh đáy của hình chóp. ĐS: AB = 
Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a3/8, các mặt bên tạo với đáy (ABC) một góc 600. Tính độ dài cạng đáy AB. ĐS: AB = 
II. MẶT CẦU , MẶT TRỤ, MẶT NÓN:
	1. Các kiến thức cơ bản cần nhớ:
1.1 Mặt tròn xoay. Mặt nón, giao của mặt nón với mặt phẳng. Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón. Mặt trụ, giao của mặt trụ với mặt phẳng. Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.
1.2 Mặt cầu. Giao của mặt cầu và mặt phẳng. Mặt phẳng kính, đường tròn lớn. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu. Công thức tính diện tích của mặt cầu.
	2. Các dạng toán cần luyện tập: 
2.1 Tính diện tích xung quanh của hình nón, diện tích xung quanh của hình trụ. Tính thể tích khối nón. Tính thể tích khối trụ.
2.2 Tính diện tích mặt cầu. Tính thể tích khối cầu.
	3. Các bài tập tham khảo:
3.1 Mặt nón, mặt trụ:
3
4
A
B
O
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Sxq = Rl = .OB.AB = 15 
 Tính: AB = 5 (AOB tại O)
 * Stp = Sxq + Sđáy = 15 + 9 = 24
 b) V = = = = 12
2a
A
B
S
O
Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Sxq = Rl = .OB.SB = 2a2
 * Stp = Sxq + Sđáy = 2a2 + a2 = 23a2
 b) V = = = 
45
S
B
A
O
 Tính: SO = (vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a)
Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên = = 450
 * Sxq = Rl = .OA.SA = a2
Tính: SA = a; OA = a (SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = a2 + a2 = (1 + ) a2 
 b) V = = = 
Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
Tính thể tích của khối nón
l
45
S
B
A
O
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên = = 450
 * Sxq = Rl = .OA.SA = ..l = ; Tính: OA = (SOA tại O)
 * Stp = Sxq + Sđáy = + = 
 b) V = = = 
 Tính: SO = (SOA tại O)
Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200. 
120
a
S
B
A
O
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên = = 300 
hay = = 600; * Sxq = Rl = .OA.SA = ..2a = 
 Tính: OA = ; SA = 2a (SOA tại O)
 * Stp = Sxq + Sđáy = + 3a2 = 
 b) V = = = 
a
l
S
B
A
O
 Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng .
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là = = 
 * Sxq = Rl = .OA.SA = . lcos.l = 
 Tính: OA = lcos (SOA tại O)
 * Stp = Sxq + Sđáy = + l2cos2 = 
2a
S
B
A
O
b) V = = = = 
 Tính: SO = lsin (SOA tại O)
Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xq của mặt nón 
bằng 2a2. Tính thể tích của hình nón
HD: * Sxq = Rl Rl = 2a2 R = 
 * Tính: SO = (SOA tại O)
 * V = = = 
Bài 8: Hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9. Tính thể tích của hình nón
HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều
 * Sđáy = R2 9 = R2 R2 = 9 R = 3
60
S
B
A
O
 * SO = 
 * V = = = 
Bài 9: Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác vuông 
có cạnh góc vuông bằng a.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
Tính thể tích của khối nó
Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên = = 450
C
M
45
a
S
B
A
O
 * Sxq = Rl = .OA.SA = ..a = 
 Tính: OA = (SOA tại O)
 * Stp = Sxq + Sđáy = + = 
 b) V = = = 
 Tính: SO = (SOA tại O)
 c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 600: = 600
 * SSAC = SM.AC = .. = ; * Tính: SM = (SMO tại O). 
l
h
O
I
H
B
A
S
 * AC = 2AM = ; * AM = = * OM = (SMO tại O) 
Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
Tính thể tích của khối nón
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy 
đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó
HD: a) * Sxq = Rl = .OA.SA = .25.SA = 25(cm2)
Tính: SA = (SOA tại O). * Stp = Sxq + Sđáy = 25 + 625 
 b) V = = = (cm3)
 c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH SI OH = 12cm
* SSAB = .AB.SI = .40.25 = 500(cm2); * SI = = = 25(cm) (SOI tại O)
* Tính: = - OI = 15(cm) (SOI tại O)
 * Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm); * Tính: AI = (cm) (AOI tại I)
Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
Tính thể tích của khối nón
Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên = = 450
C
M
a
2
S
B
A
O
 * Sxq = Rl = .OA.SA = ..a = 
 Tính: OA = = ; Tính: SA = a (SOA tại O)
 * Stp = Sxq + Sđáy = + = 
 b) V = = = 
 Tính: SO = (SOA tại O)
 c) * Kẻ OM BC = 600 ; * SSBC = = = 
A
B
O
O'
A'
B'
l
h
* Tính: SM = (SOM tại O) * Tính: BM = (SMB tại M)
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là
 một hình vuông.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
Tính thể tích của khối trụ
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R.2R = 4R2
* OA =R; AA’ = 2R; * Stp = Sxq + 2Sđáy = 4R2 + R2 = 5R2
 b) * V = = = 
h
r
l
B'
A'
O'
I
O
B
A
Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
 Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
Tính thể tích của khối trụ
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách
 trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.5.7 = 70(cm2)
* OA = 5cm; AA’ = 7cm;* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120(cm2)
 b) * V = = = .52.7 = 175(cm3)
 c) * Gọi I là trung điểm của AB OI = 3cm; 
* = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hcn)
 * AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8; * Tính: AI = 4(cm) (OAI tại I)
Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho 
Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
r
3
H
A
B
O
O'
A'
r
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.r. r = 2r2 
 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2r2 + 2r2 = 2 (r2
 b) * V = = = 
 c) * OO’//AA’ = 300
 * Kẻ O’H A’B O’H là khoảng cách giữa đường thẳng AB
 và trục OO’ của hình trụ
 * Tính: O’H = (vì BA’O’ đều cạnh r)
 * C/m: BA’O’ đều cạnh r * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r; * Tính: A’B = r (AA’B tại A’)
 Cách khác: * Tính O’H = = (A’O’H tại H)
R
2
R
A'
O'
O
A
 * Tính: A’H = = * Tính: A’B = r (AA’B tại A’)
Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’,
 bán kính R, chiều cao hình trụ là R.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
Tính thể tích của khối trụ
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R. R = 2R2 
 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2R2 + 2R2 = 2 (R2
 b) * V = = = 
Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho 
Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ
ĐS: a) * Sxq = 2Rl = 5000(cm2) * Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000 + 5000 = 10000(cm2)
 b) * V = = 125000(cm3) ; c) * O’H = 25(cm)
3.2 Mặt cầu:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ABC vuông tại B và 
AB = 3a, BC = 4a. 
a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
O
D
C
B
A
 b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: a) * Gọi O là trung điểm của CD; * Chứng minh: OA = OB = OC = OD; 
* CM: DAC vuông tại A OA=OC=OD= CD; 
*CM: DBC vuông tại B OB = CD
 * OA = OB = OC = OD = CD A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; )
 b) * Bán kính R = = = 
 = 
 * S = ; * V = R3 = 
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: a) Gọi O là tâm hình vuông (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS
 b) R = OA = ; S = 2a2; V = 
Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc với mp(ABCD). 
2a
a
S
O
D
C
B
A
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
 b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: a) * Gọi O là trung điểm SC
* Chứng minh: Các SAC, SCD, SBC lần lượt vuông tại A, D, B
 * OA = OB = OC = OD = OS = S(O; )
 b) * R = = = 
 * S = ; * V = 
c
b
a
I
O
S
C
B
A
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
HD: * Gọi I là trung điểm AB. Kẻ vuông góc với mp(SAB) tại I 
 * Dựng mp trung trực của SC cắt tại O OC = OS (1)
 * I là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB (vì SAB vuông tại S)
 OA = OB = OS (2) 
 * Từ (1) và (2) OA = OB = OC = OS
 Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)
 * R = OA = = 
 * S = 
 * V = 
Chúc các em đạt kết quả tốt trong kì thi này.