Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : y = x3 - 3x2 - 9x +m , m là tham số thực .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 .
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
ŀBộ Giáo Dục và Đào tạo ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN - khối A. Ngày thi : 07.03.2010 (Chủ Nhật ) ĐỀ 02 I. PHẦN BẮT BUỘC ( 7,0 điểm ) Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : 3 23 9y x x x m= − − + , m là tham số thực . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 0m = . 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Câu II: ( 2 điểm ) 1. Giải phương trình ( ) ( ) ( )84 821 1log 3 log 1 3 log 42 4x x x+ + − = . 2. Giải phương trình: 2 21 1cos sin4 3 2 2x x+ = . Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân: 4 26 t ncos 1 cosa xI dxx xππ= +∫ . Câu IV: ( 1 điểm ) Cho tứ diện ABCD có 22 , 0 2AB CD x x = = < < và 1AC BC BD DA= = = = . Tính thể tích tứ diện ABCD theo x .Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Câu V: ( 1 điểm ) Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình 2 3 23 1 2 2 1x x x m− − + + = có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 1 ;12 − . II. PHẦN TỰ CHỌN ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 1. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( 2 điểm ) 1. Tìm tham số thực m sao cho đường thẳng ( ) ( ): 2 1 1d x y z= − = + cắt mặt cầu 2 2 2( ) : 4 6 0S x y z x y m+ + + − + = tại 2 điểm phân biệt ,M N sao cho độ dài dây cung 8MN = . 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng ( )d có phương trình: 2 5 0x y− − = và hai điểm ( )1;2A , ( )4;1B . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ( )d và đi qua hai điểm ,A B . Câu VII.a ( 1 điểm ) Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: ( ) ( )0 1 2 3 1 12. 3. 4. ... . 1 . 2 .2n n nn n n n n nC C C C nC n C n− −+ + + + + + + = + . 2. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( 2 điểm ) 1. Tìm tham số thực m sao cho đường thẳng ( ) ( ): 2 1 1d x y z= − = + tiếp xúc mặt cầu 2 2 2( ) : 4 6 0S x y z x y m+ + + − + = . 2. Tìm trên đường thẳng ( )d : 2 5 0x y− − = những điểmM sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 5 0x y+ + = bằng 5 . Câu VII.b ( 1 điểm ) Với n là số tự nhiên, giải phương trình: ( ) ( )0 1 2 3 12. 3. 4. ... . 1 . 128. 2n nn n n n n nC C C C nC n C n−+ + + + + + + = + . ..........................................................Cán Bộ coi thi không giải thích gì thêm....................................................... I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : 3 23 9y x x x m= − − + , m là tham số thực . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 0m = .Học sinh tự làm . 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng ⇔ Phương trình 3 23 9 0x x x m− − + = có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3 , ,x x x lập thành cấp số cộng ⇔ Phương trình ( )3 23 9 0 *x x x m− − + = có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3, ,x x x thỏa mãn : ( )1 3 22 1x x x+ = mà ( )1 3 2 3 2x x x+ + = . Từ ( )1 , ( )2 suy ra 2 1x = . 2 1x• = là nghiệm phương trình ( )* nên ta có : 3 21 3.1 9.1 0 11m m− − + = ⇔ = 11m• = phương trình ( ) 3 2* 3 9 11 0x x x⇔ − − + = có 3 nghiệm 1 2 3, ,x x x luôn thỏa điều kiện 1 3 22x x x+ = . Vậy 11m = là tham số thực cần tìm . Ngoài cách giải trên hs có thể lựa chọn phương pháp cấp số cộng thuộc chương trình giải tích lớp 11 Chú ý : Do chương trình mới giảm tải bài điểm uốn của chương trình ban cơ bản , sự giảm tải này đã dẫn đến các bài toán về cấp số cộng , cấp số nhân khá hạn chế trong mỗi đề thi . Nếu xuất hiện bài toán về cấp số thì việc lựa chọn phương pháp giải liên quan điểm uốn đều không chấp nhận. Do đó học sinh cần lưu ý điều này. Câu II: ( 2 điểm ) 1. Giải phương trình 8 4 82 1 1 log ( 3) log ( 1) 3 log (4 ) 2 4 x x x+ + − = Điều kiện : 3 1 0 1 0 x x x x > − ≠ ⇔ < ≠ > Phương trình : ( )84 8 2 2 22 1 1 log ( 3) log ( 1) 3 log (4 ) log ( 3) log 1 log (4 ) * 2 4 x x x x x x+ + − = ⇔ + + − = TH1: 0 1x< < Phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )2 2* ... log 3 1 log 4x x x ⇔ ⇔ + − + = . Hs tự giải TH2: 1x > Phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )2 2* ... log 3 1 log 4x x x ⇔ ⇔ + − = ( )2 1 l2 3 0 3. 3 x x x x x = − ⇔ − − = ⇔ ⇔ = = 2. Giải phương trình: 2 2 1 1 cos sin 4 3 2 2 x x + = . 2 2 2 1 cos 1 1 1 1 cos 23cos sin 1 2 2 cos 1 cos 4 3 2 2 4 2 4 3 x x x x x x + − + = ⇔ + = ⇔ + + = − 2 32 2cos2 cos 3 2 2 2cos 1 4 cos 3 cos 3 3 3 3 3 x x x x x ⇔ + = − ⇔ + − = − − 2 3 22 4 cos 2 4 cos 3 cos 0 cos 4 cos 4 cos 3 0 3 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x ⇔ + − + − = ⇔ + − = ( ) cos 0 3 cos 0 3 1 33 3 2cos 2 3 2 6 .2cos cos 3 33 3 3 cos 3 2 x x x kx x k xx x kk x l π ππ π ππ π ππ = = = + = + ⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ = ± + = ± += = − Câu IV: ( 1 điểm ) Cho tứ diện ABCD có 2 2 , 0 2 AB CD x x = = < < và 1AC BC BD DA= = = = . Tính thể tích tứ diện ABCD theo x .Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Đây là dạng toán trong sách bài tập hình học 12 . Học sinh tự vẽ hình Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của các cạnh ,AB CD Dễ thấy 1 1 , . , . 3 3ABCD AICD BICD AICD ICD BICD ICD V V V V AI dt V BI dt= + = = Hay : ( )1 1, . . 3 2ABCD ICD ICD V dt AI BI dt IJ CD= + = Dễ dàng chứng minh được IJ là đoạn vuông góc chung của ,AB CD Ta có : 2 2 2 21 2 ,IJ CI CJ x AI BI x= − = − = = 2 21 1. . . 1 2 .2 . 1 2 2 2ICD dt IJ CD x x x x⇒ = = − = − (đvdt). ( ) ( ) 2 2 21 1 2. 1 2 . 1 2 3 3 3ABCD ICD x V dt AI BI x x x x x= + = − + = − (đvtt). ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 22 2 2 2 . 1 2 . . 1 2 . 3 3 3 3 9 3 x x xx x x x x + + − − = − ≤ = Đẳng thức xảy ra khi : 2 2 2 3 1 2 3 x x x x= = − ⇔ = Vậy 2 max 9 3 ABCD V = (đvdt) khi 3 3 x = . Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân: 4 2 6 t n cos 1 cos a x I dx x x π π = + ∫ . 4 4 4 2 2 2 2 6 6 62 t n t n t n 1cos 1 cos cos t n 2 cos 1 cos a x a x a x I dx dx dx x x x a x x x π π π π π π = = = + ++ ∫ ∫ ∫ . Đặt 2 1 t n . cos u a x du dx x = ⇒ = . Đổi cận : 1 6 3 1 4 x u x u π π = ⇒ = = ⇒ = Do đó ( ) 1 1 1 2 2 12 1 1 3 3 3 3 7 2 2 32 u I du d u u u − = = + = + = + ∫ ∫ Học sinh yếu hơn có thể đặt 2 2 2 2 u t u dt du u = + ⇒ = + . Câu V: ( 1 điểm ) Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình 2 3 23 1 2 2 1x x x m− − + + = có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 1 ;1 2 − . 2 3 23 1 2 2 1 ,x x x m m R− − + + = ∈ . Xét hàm số : ( ) 2 3 23 1 2 2 1f x x x x= − − + + xác định và liên tục trên đoạn 1 ;1 2 − . Ta có : ( ) 2 2 3 2 2 3 2 3 3 4 3 3 4 ' 1 2 1 1 2 1 x x x x f x x x x x x x x + + = − − = − + − + + − + + . ; ∀ ∈ − 1 1 2 x ta có 2 3 2 4 3 3 4 3 4 0 0 3 1 2 1 x x x x x x + > − ⇒ + > ⇒ + > − + + . Vậy: ( )' 0 0f x x= ⇔ = . Bảng biến thiên: ( ) ( ) 1 0 1 2 ' | 0 || 1 3 3 22 2 4 x f x f x − + − − − Phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc 1 ;1 2 − 3 3 22 4 2 m − ⇔ − ≤ < hoặc 1m = . II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Ban cơ bản và nâng cao có cùng đáp án. Câu VI.a ( 2 điểm ) 1. Tìm tham số thực m sao cho đường thẳng ( ) ( ): 2 1 1d x y z= − = + cắt mặt cầu 2 2 2( ) : 4 6 0S x y z x y m+ + + − + = tại 2 điểm phân biệt ,M N sao cho độ dài dây cung 8MN = . 2 2 2 2 2 2( ) : 4 6 0 ( ) :( 2) ( 3) 13S x y z x y m S x y z m+ + + − + = ⇔ − + − + = − có tâm ( )2;3;0I , bán kính 13 , 13R IN m m= = − < Dựng 4IH MN MH HN⊥ ⇒ = = 2 2 13 16 3, 3IH IN HN m m m⇒ = − = − − = − − < − và ( )( );I dIH d= ( )d luôn đi qua ( )0;1; 1A − và có vectơ chỉ phương 1 11; ; 1 (2; 1; 2) 2 2 u = = ( 2; 2; 1); [ ; ] (3; 6; 6)AI AI u= − = − ( )( ) 2 2 2 ; 2 2 2 [ ; ] 3 6 6 81 3. 92 1 2 I d AI u d u + + ⇒ = = = = + + ( )( ); 3 3 3 9 12I dIH d m m m= ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = − Vậy 12m = − thỏa mãn yêu cầu bài toán . 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng ( )d có phương trình: 2 5 0x y− − = và hai điểm (1;2)A , (4;1)B . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ( )d và đi qua hai điểm ,A B . Phương trình đường trung trực của AB là 3 6 0x y− − = . Tọa độ tâm I của đường tròn là nghiệm của hệ: ( ) 2 5 1 1; 3 5 3 6 3 x y x I R IA x y y − = = ⇔ ⇒ − ⇒ = = − = = − Phương trình đường tròn là ( ) ( )2 21 3 25x y− + + = . Câu VII.a ( 1 điểm ) Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: 0 1 2 3 1 12. 3. 4. ... . ( 1). ( 2).2n n n n n n n n n C C C C nC n C n− −+ + + + + + + = + . Ta có : ( ) 0 1 2 2 3 3 1 11 ... .n n n n nn n n n n nx C C x C x C x C x C x− −+ = + + + + + + Nhân vào hai vế với x ∈ ℝ , ta có: ( ) 0 1 2 2 3 3 4 1 11 ... .n n n n nn n n n n nx x C x C x C x C x C x C x− ++ = + + + + + + Lấy đạo hàm hai vế ta được: ( )0 1 2 2 3 3 1 12 3 4 ... 1n n n nn n n n n nC C x C x C x nC x n C x− −+ + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 .n n nn x x x x nx x− −= + + + = + + + Thay 1x = , ta được kết quả : 0 1 2 3 1 12. 3. 4. ... . ( 1). ( 2).2n n n n n n n n n C C C C nC n C n− −+ + + + + + + = + Một bài toán giải thế này đúng chưa ? Cho nhị thức 952 3 yx y x + , có bao nhiêu số hạng trong dãy mà số mũ của x chia hết số mũ của y . Cho nhị thức 952 3 yx y x + , có bao nhiêu số hạng trong dãy mà số mũ của x chia hết số mũ của y ( ) 952 295 95 953 3 3.95 4. 95 95 95 0 0 . , 0 95 i ii i i i i i y y x y C x y C x y i x x − − + = = + = = ≤ ≤ ∑ ∑ . Số mũ của của x chia hết số mũ của y , khi đó tồn tại số nguyên t sao cho ( ) ( ) ( )4 95 3 *t i t+ = − 4t• = − thì ( )* vô nghiệm . 4t• ≠ − thì ( ) ( )95 3* , 0 95 0,1,2,3 4 t i i t t − ⇒ = ≤ ≤ ⇒ = + . 95.3 0 4 t i+ = ⇒ = loại . 95.2 1 38 5 t i+ = ⇒ = = nhận , số hạng cần tìm là 38 133 13395 .C x y . 95 2 6 t i+ = ⇒ = loại . 3 0t i+ = ⇒ = nhận , số hạng cần tìm là 0 258 9595 .C x y . Vậy có hai số hạng thỏa mãn bài toán : 0 258 9595 .C x y và 38 133 133 95 .C x y .
Tài liệu đính kèm: