I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = 2x - 1 /x -1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với
đường thẳng MI.
Trần Sĩ Tùng Trung tâm BDVH & LTĐH QUANG MINH Đề số 8 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số x y x 2 1 1 - = - . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI. Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: x x x x 3cos cos cos sin 2 0 2 6 3 2 2 6 p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö - + - + - + - =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø 2) Giải phương trình: x x x x4 2 21 1 2- - + + + = Câu III (1 điểm): Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): x y 2( 1) 1= - + , (d): y x 4= - + . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do hình (H) quay quanh trục Oy. Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a, ·ABC 060= , chiều cao SO của hình chóp bằng a 3 2 , trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của AD, mặt phẳng (P) chứa BM và song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp K.BCDM. Câu V (1 điểm): Cho các số dương x, y, z thoả mãn: x y z2 2 2 1+ + = . Chứng minh: x y z y z z x x y2 2 2 2 2 2 3 3 2 + + ³ + + + II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có diện tích lớn nhất. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 3 0+ + + = và điểm A(0; 1; 2). Tìm toạ độ điểm A¢ đối xứng với A qua mặt phẳng (P). Câu VII.a (1 điểm): Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau. 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương trình đường phân giác trong (AD): x y2 5 0+ - = , đường trung tuyến (AM): x y4 13 10 0+ - = . Tìm toạ độ đỉnh B. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1): x t y t z t 23 8 10 4 ì = - +ï = - +í ï =î và (d2): x y z3 2 2 2 1 - + = = - . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng (d1), (d2). Câu VII.b (1 điểm): Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm: x x a x x 2 4 2 2 3 4 5 1 log ( ) log ( 1) ì ï - ³í ï + - ³ +î ============================ Trần Sĩ Tùng Hướng dẫn: I. PHẦN CHUNG Câu I: 2) Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2). Gọi M(a; b) Î (C) Þ a b a 2 1 1 - = - (a ¹ 1) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: ay x a aa 2 1 2 1( ) 1( 1) - = - - + -- Phương trình đwòng thẳng MI: y x a 2 1 ( 1) 2 ( 1) = - + - Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có: a a2 2 1 1. 1 ( 1) ( 1) - = - - - Û a b a b 0 ( 1) 2 ( 3) é = = ê = =ë Vậy có 2 điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3) Câu II: 1) PT Û x x x xcos cos2 cos3 cos 4 0 2 6 2 6 2 6 2 6 p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö - + - + - + - =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø Đặt x t 2 6 p = - , PT trở thành: t t t tcos cos2 cos3 cos 4 0+ + + = Û t t t 54 cos .cos .cos 0 2 2 = Û t t t cos 0 2 cos 0 5cos 0 2 é =ê ê =ê ê =êë Û t m t l k t (2 1) 2 2 5 5 p p p p p é = + ê = +ê ê ê = +êë · Với t m x m(2 1) (4 2) 3 p p p= + Þ = + + · Với t l x l 4 2 2 3 p p p p= + Þ = + · Với k k t x 2 11 4 5 5 15 5 p p p p = + Þ = + 2) Điều kiện: x x x 2 2 1 0 1 ì - ³ï í ³ -ïî Û x ³ 1. Khi đó: x x x x x x42 2 21 1 1+ + > + - ³ + - (do x ³ 1) Þ VT > ( )( )Coâ Six x x x x x x x4 4 82 2 2 21 1 2 1 1-- - + + - ³ - - + - = 2 Þ PT vô nghiệm. Câu III: Phương trình tung độ giao điểm của (C) và (d): y y2( 1) 1 4- + = - Û y y 2 1 é = ê = -ë V = y y y dy 2 2 2 2 1 ( 2 2) (4 )p - - + - -ò = 117 5 p Câu IV: Gọi N = BM Ç AC Þ N là trọng tâm của DABD. Kẻ NK // SA (K Î SC). Kẻ KI // SO (I Î AC) Þ KI ^ (ABCD). Vậy K BCDM BCDMV KI S. 1 . 3 = Ta có: DSOC ~ DKIC Þ KI CK SO CS = (1), DKNC ~ DSAC Þ CK CN CS CA = (2) Từ (1) và (2) Þ CO COKI CN CO ON SO CA CO CO 1 23 2 2 3 ++ = = = = Þ a KI SO 2 3 3 3 = = Ta có: DADC đều Þ CM ^ AD và CM = a 3 2 Þ SBCDM = DM BC CM a2 1 3 3( ). 2 8 + = Trần Sĩ Tùng Þ VK.BCDM = BCDM a KI S 31 . 3 8 = Câu V: Ta có x x y z x2 2 21 = + - . Ta cần chứng minh: x x x 2 2 3 3 21 ³ - . Thật vậy, áp dụng BĐT Cô–si ta có: ( ) x x xx x x x x 22 2 222 2 2 2 2 2 1 1 82 1 2 (1 )(1 ) 3 27 æ ö+ - + - - = - - £ =ç ÷ è ø Þ x x2 2(1 ) 3 3 - £ Þ x x x 2 2 3 3 21 ³ - Þ x x y z 2 2 2 3 3 2 ³ + (1) Tương tự: y y x z 2 2 2 3 3 2 ³ + (2), z z x y 2 2 2 3 3 2 ³ + (3) Do đó: ( )x y z x y z y z x z x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 + + ³ + + = + + + Dấu "=" xảy ra Û x y z 3 3 = = = . II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) Tam giác OAB có diện tích lớn nhất Û DOAB vuông cân tại O. Khi đó d O d 5 2( , ) 2 = . Giả sử phương trình đường thẳng d: A x B y A B2 2( 2) ( 6) 0 ( 0)- + - = + ¹ Ta có: d O d 5 2( , ) 2 = Û A B A B2 2 2 6 5 2 2 - - = + Û B AB A2 247 48 17 0+ - = Û B A B A 24 5 55 47 24 5 55 47 é - - =ê ê - +ê =êë · Với B A 24 5 55 47 - - = : chọn A = 47 Þ B = 24 5 55- - Þ d: ( )x y47( 2) 24 5 55 ( 6) 0- - + - = · Với B A 24 5 55 47 - + = : chọn A = 47 Þ B = 24 5 55- + Þ d: ( )x y47( 2) 24 5 55 ( 6) 0- + - + - = 2) (P) có VTPT n (1;1;1)=r . Giả sử A¢(x; y; z). Gọi I là trung điểm của AA¢ Þ x y zI 1 2; ; 2 2 2 æ ö+ + ç ÷ è ø . Ta có: A¢ đối xứng với A qua (P) Û AA n cuøng phöông I (P) ,ìï ¢í Îïî uuur r Û x y z x y z 1 2 1 1 1 1 2 3 0 2 2 2 ì - - = =ï í + +ï + + + = î Û x y z 4 3 2 ì = -ï = -í ï = -î Vậy: A¢(–4; –3; –2). Câu VII.a: Số các số gồm 6 chữ số khác nhau lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là: 6! (số) Số các số gồm 6 chữ số khác nhau mà có 2 số 1 và 6 đứng cạnh nhau là: 2.5! (số) Þ Số các số thoả yêu cầu bài toán là: 6! – 2.5! = 480 (số) 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) Ta có A = AD Ç AM Þ A(9; –2). Gọi C¢ là điểm đối xứng của C qua AD Þ C¢ Î AB. Ta tìm được: C¢(2; –1). Suy ra phương trình (AB): x y9 2 2 9 1 2 - + = - - + Û x y7 5 0+ + = . Viết phương trình đường thẳng Cx // AB Þ (Cx): x y7 25 0+ - = Gọi A¢ = Cx Ç AM Þ A¢(–17; 6). M là trung điểm của AA¢ Þ M(–4; 2) M cũng là trung điểm của BC Þ B(–12; 1). 2) Giả sử A t t t1 1 1( 23 8 ; 10 4 ; )- + - + Î d1, B t t t2 2 2(3 2 ; 2 2 ; )+ - - Î d2. Trần Sĩ Tùng Þ AB t t t t t t2 1 2 1 2 1(2 8 26; 2 4 8; )= - + - - + - uuur AB // Oz Û AB k cuøng phöông, uuur r Û t t t t 2 1 2 1 2 8 26 0 2 4 8 0 ì - + = í- - + =î Û t t 1 2 17 6 5 3 ì =ï í ï = - î Þ A 1 4 17; ; 3 3 6 æ ö -ç ÷ è ø Þ Phương trình đường thẳng AB: x y z t 1 3 4 3 17 6 ì = -ï ïï =í ï ï = +ïî Câu VII.b: x x a x x 2 4 2 2 3 4 5 (1) 1 log ( ) log ( 1) (2) ì ï - ³í ï + - ³ +î · (1) Û x x 23 5 4 0- - ³ . Đặt f(x) = x x 23 5 4- - . Ta có: f¢(x) = x x x R2ln 5ln3.3 .5 0, 2 - > " Î Þ f(x) đồng biến. Mặt khác f(2) = 0, nên nghiệm của (1) là: S1 = [2; +¥) · (2) Û [ ]a x x42 2log 2( ) log ( 1)- ³ + Û a x x42( ) 1- ³ + Û x a x 4 1 2 2 ³ + + (*) · Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm thuộc [2; +¥) Đặt g(x) = x x 4 1 2 2 + + . Ta có: g¢(x) = x32 1+ > 0, "x ³ 2 Þ g(x) đồng biến trên [2; +¥) và g(2) = 21 2 . Do đó (*) có nghiệm thuộc [2; +¥) Û a 21 2 ³ . Vậy để hệ có nghiệm thì a 21 2 ³ . =====================
Tài liệu đính kèm: