Đề 5 thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 môn thi: Toán

Trần Sĩ Tùng 
Trường THPT MINH KHAI 
HÀ TĨNH 
Đề số 5 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x mx m x3 22 ( 3) 4= + + + + (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 
 2) Cho điểm I(1; 3). Tìm m để đường thẳng d: y x 4= + cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho DIBC 
có diện tích bằng 8 2 . 
Câu II (2 điểm): 
 1) Giải hệ phương trình: x y xy
x y
2 0
1 4 1 2
ì - - =ï
í
- + - =ïî
. 
 2) Giải phương trình: 
x x
x x x
1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1
-
=
+ -
Câu III (1 điểm): Tính giới hạn: A = 
x
x x x
x x20
cos sin tanlim
sin®
-
Câu IV (1 điểm): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và C¢D¢. 
Tính thể tích khối chóp B¢.A¢MCN và cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (A¢MCN) và (ABCD). 
Câu V (1 điểm): Cho x, y, z là những số dương thoả mãn: x y z xyz2 2 2+ + = . Chứng minh bất đẳng thức: 
x y z
x yz y xz z xy2 2 2
1
2
+ + £
+ + +
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x y2 2 13+ = và (C2): x y2 2( 6) 25- + = . Gọi A 
là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây 
cung có độ dài bằng nhau. 
 2) Giải phương trình: ( ) ( )x x x
3
25 1 5 1 2 0
+
- + + - = 
Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh rằng với "n Î N*, ta có: n nn n n
n
C C nC2 4 22 2 22 4 ... 2 42
+ + + = . 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I
9 3;
2 2
æ ö
ç ÷
è ø
 và trung điểm 
M của cạnh AD là giao điểm của đường thẳng d: x y 3 0- - = với trục Ox. Xác định toạ độ của các điểm A, B, C, 
D biết yA > 0. 
 2) Giải bất phương trình: x x x x23 1 1
3 3
log 5 6 log 2 log 3- + + - > + 
Câu VII.b (1 điểm): Tìm a để đồ thị hàm số 
x x a
y
x a
2- + +
=
+
 (C) có tiệm cận xiên tiếp xúc với đồ thị của hàm số (C¢): 
y x x x3 26 8 3= - + - . 
============================ 
Trần Sĩ Tùng 
Hướng dẫn: 
I. PHẦN CHUNG 
Câu I: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: x mx m x x3 22 ( 3) 4 4+ + + + = + (1) 
 Û x x mx m2( 2 2) 0+ + + = Û x y
x mx m2
0 ( 4)
2 2 0 (2)
é = =
ê + + + =ë
 (1) có 3 nghiệm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác 0 Û m m
m
2 2 0
2 0
Dì ¢ = - - >í
+ ¹î
 Û 
m
m
m
1
2
2
ìé íë
ï ¹ -î
 (*) 
 Khi đó xB, xC là các nghiệm của (2) Þ B C B Cx x m x x m2 , . 2+ = - = + 
 IBCS 8 2D = Û d I d BC
1 ( , ). 8 2
2
= Û B Cx x
2( ) 8 2- = Û B C B Cx x x x
2( ) 4 128 0+ - - = 
 Û m m2 34 0- - = Û 
m
m
1 137
2
1 137
2
é -
=ê
ê
+ê =êë
 (thoả (*)) 
Câu II: 1) Hệ PT Û ( ) ( )x y x y
x y
2 0
1 4 1 2
ì + - =ï
í
- + - =ïî
 Û x y
x y
2 0
1 4 1 2
ì - =ï
í
- + - =ïî
 Û 
x y
y
4
4 1 1
ì =
í - =î
 Û 
x
y
2
1
2
ì =ï
í =ïî
 2) Điều kiện: 
x
x
x
sin 0
cos 0
cot 1
ì ¹ï
¹í
ï ¹î
. PT Û x
2cos
2
= Û x k2
4
p
p= - + . 
Câu III: A = 
x
x x x
x x20
cos sin tanlim
sin®
-
 = 
x
x x
x x x
2
20
(cos 1)sinlim
sin .cos®
-
 = 
x
x
x x
2
20
sinlim 1
cos®
-
= - 
Câu IV: A¢MCN là hình thoi Þ MN ^ A¢C, DB¢MN cân tại B¢ Þ MN ^ B¢O Þ MN ^ (A¢B¢C). 
 · MA B C A B C
a a
V MO S a a
31 1 2 1. . . . 2
3 3 2 2 6D¢ ¢ ¢ ¢
= = = Þ B A MCN MA B C
a
V V
3
. 2 3¢ ¢ ¢ ¢
= = 
 · Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng (A¢MCN) và (ABCD), P là trung điểm của CD Þ NP ^ (ABCD). 
 MCN
a
S
2 6
4D
= , MCP
a
S
2
4D
= Þ MCP
MCN
S
S
6cos
6
D
D
j = = . 
Câu V: · Từ giả thiết Þ 
x y z
yz xz xy
1+ + = và xyz x y z xy yz zx2 2 2= + + ³ + + Þ 
x y z
1 1 1 1+ + £ . 
 · Chú ý: Với a, b > 0, ta có: 
a b a b
4 1 1
£ +
+
 Þ 
x x
yz x yzx yz x
x
2
1 1 1
4
æ ö
= £ +ç ÷
+ è ø+
 (1). Tương tự: 
y y
y xzy xz2
1 1
4
æ ö
£ +ç ÷
+ è ø
 (2), 
z z
z xyz xy2
1 1
4
æ ö
£ +ç ÷
+ è ø
 (3) 
 Từ (1), (2), (3) Þ 
x y z x y z
x y z yz xz xyx yz y xz z xy2 2 2
1 1 1 1
4
æ ö
+ + £ + + + + +ç ÷
+ + + è ø
 £ 
1 1(1 1)
4 2
+ = . 
 Dấu "=" xảy ra Û 
x y z xyz
x y z
x yz y xz z xy
2 2 2
2 2 2; ;
ì + + =ï
= =í
ï = = =î
 Û x y z 3= = = . 
II. PHẦN TỰ CHỌN 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 1) (C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 = 13 . (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = 5. Giao điểm A(2; 3). 
 Giả sử d: a x b y a b2 2( 2) ( 3) 0 ( 0)- + - = + ¹ . Gọi d d O d d d I d1 2 2( , ), ( , )= = . 
Trần Sĩ Tùng 
 Từ giả thiết, ta suy ra được: R d R d2 2 2 21 1 2 2- = - Û d d
2 2
2 1 12- = Û 
a a b a b
a b a b
2 2
2 2 2 2
(6 2 3 ) ( 2 3 ) 12- - - -- =
+ +
 Û b ab2 3 0+ = Û b
b a
0
3
é =
ê = -ë
. 
 · Với b = 0: Chọn a = 1 Þ Phương trình d: x 2 0- = . 
 · Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Þ Phương trình d: x y3 7 0- + = . 
 2) PT Û 
x x
5 1 5 1 2 2
2 2
æ ö æ ö- +
+ =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 Û 
( )
( )
x
x
5 1
5 1
log 2 1
log 2 1
-
-
é = -
ê
ê = +ë
. 
Câu VII.a: Xét n n nn n n n n nx C C x C x C x C x C x
2 0 1 2 2 3 3 4 4 2 2
2 2 2 2 2 2(1 ) ...+ = + + + + + + (1) 
 n n nn n n n n nx C C x C x C x C x C x
2 0 1 2 2 3 3 4 4 2 2
2 2 2 2 2 2(1 ) ...- = - + - + - + (2) 
 Từ (1) và (2) Þ 
n n
n n
n n n n
x x
C C x C x C x
2 2
0 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2
(1 ) (1 )...
2
+ + -
+ + + + = 
 Lấy đạo hàm 2 vế ta được: n n n nn n nC x C x nC x n x x
2 4 3 2 2 1 2 1 2 1
2 2 22 4 ... 2 (1 ) (1 )
- - -é ù+ + + = + - -ë û 
 Với x = 1, ta được: n n nn n n
n
C C nC n2 4 2 2 12 2 22 4 ... 2 2 42
-+ + + = = . 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 1) Tìm được M(3; 0) Þ MI = 
3 2
2
 Þ AB = 3 2 Þ AD = 2 2 . Phương trình AD: x y 3 0+ - = . 
 Giả sử A(a; 3 – a) (với a < 3). Ta có AM = 2 Û a 2= Þ A(2; 1). Từ đó suy ra: D(4; –1), B(5; 4), C(7; 2). 
 2) Điều kiện: x > 3. BPT Û x x x x23 3 3log 5 6 log 3 log 2- + + + > - Û x
2 9 1- > Û x 10> . 
Câu VII.b: Điều kiện: a ¹ 0. Tiệm cận xiên d: y x a 1= - + + . d tiếp xúc với (C¢) Û Hệ phương trình sau có nghiệm: 
 x x x x a
x x
3 2
2
6 8 3 1
3 12 8 1
ìï - + - = - + +
í
- + = -ïî
 Û x
a
3
4
ì =
í = -î
. Kết luận: a = –4. 
=====================