Đề 44 thi thử đại học lần I năm 2010. Môn Toán

Tr­êng L­¬ng thÕ Vinh –Hµ néi. §Ò thi thö §H lÇn I n¨m 2010. M«n To¸n (180’)
 PhÇn b¾t buéc.
C©u 1.(2 ®iÓm) Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè .
T×m täa ®é ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm tíi tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M lµ lín nhÊt .
C¢U 2. (2 ®iÓm). 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh : .
T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt :
C¢U 3 . (1®iÓm) TÝnh tÝch ph©n: .
C¢U 4. (1 ®iÓm). Cho tø diÖn ABCD cã ba c¹nh AB, BC, CD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau vµ . Gäi C’ vµ D’ lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm B trªn AC vµ AD. TÝnh thÓ tÝch tÝch tø diÖn ABC’D’.
C¢U 5. (1 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC , t×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña biÓu thøc:
 .
 PhÇn tù chän (thÝ sinh chØ lµm mét trong hai phÇn : A hoÆc B )
 PhÇn A
C¢U 6A. (2 ®iÓm). 
Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi , ®Ønh C n»m trªn ®­êng th¼ng , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.
Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho hai ®­êng th¼ng d vµ d’ lÇn l­ît cã ph­¬ng tr×nh : d : vµ d’ : .
Chøng minh r»ng hai ®­êng th¼ng ®ã vu«ng gãc víi nhau. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua d vµ vu«ng gãc víi d’
C¢U7A. (1 ®iÓm) TÝnh tæng : 
 PhÇn B.
C¢U 6B. (2 ®iÓm) 
Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi , träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 .
Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho hai ®­êng th¼ng d vµ d’ lÇn l­ît cã ph­¬ng tr×nh : d : vµ d’ : .
 ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua d vµ t¹o víi d’ mét gãc 
C¢U7B. (1 ®iÓm) TÝnh tæng : 
 §¸p ¸n m«n To¸n.
C©u 1. 1. TËp x¸c ®Þnh : .
 , ,
B¶ng biÕn thiªn:
 TiÖm cËn ®øng : , tiÖm cËn ngang 
2. NÕu th× tiÕp tuyÕn t¹i M cã ph­¬ng tr×nh hay 
 . Kho¶ng c¸ch tõ tíi tiÕp tuyÕn lµ . Theo bÊt ®¼ng thøc C«si , v©y . Kho¶ng c¸ch d lín nhÊt b»ng khi 
.
 VËy cã hai ®iÓm M : hoÆc 
C¢U 2. 
1) .
 . VËy hoÆc .
Víi ta cã hoÆc 
Víi ta cã , suy ra 
 hoÆc 
2) 
XÐt hµm sè ta cã , khi , do ®ã nghÞch biÕn trong kho¶ng ,. VËy hÖ ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt khi 
C¢U 3. §Æt th× , khi th× , khi th× , vËy:
C¢U 4. V× nªn vµ do ®ã 
.V× nªn . 
Suy ra nÕu V lµ thÓ tÝch tø diÖn ABC’D’ th× . 
V× tam gi¸c ABC vu«ng c©n nªn . 
Ta cã nªn . V× BD’ lµ ®­êng cao cña tam gi¸c vu«ng ABD nªn , VËy . Ta cã . VËy 
C¢U 5. =.
 .
V× nªn , dÊu b»ng xÈy ra khi hay . Nh­ng , dÊu b»ng xÈy ra khi hay A = 
Tãm l¹i : S cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt b»ng -1 khi ABC lµ tam gi¸c ®Òu. 
PhÇn A (tù chän)
C¢U 6A.
 1. Ta cã . Khi ®ã täa ®é G lµ . §iÓm G n»m trªn ®­êng th¼ng nªn , vËy , tøc lµ
. Ta cã , vËy , , .
DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ =
2.§­êng th¼ng d ®i qua ®iÓm vµ cã vect¬ chØ ph­¬ng 
 §­êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm vµ cã vect¬ chØ ph­¬ng 
Ta cã , , do ®ã vËy d vµ d’ chÐo nhau.
MÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ nªn cã ph­¬ng tr×nh: hay 
C¢U 7A. Ta cã , suy ra
 .
 LÊy ®¹o hµm c¶ hai vÕ ta cã :
 Thay vµo ®¼ng thøc trªn ta ®­îc S.
PhÇn B (tù chän)
C¢U 6B.
 1. V× G n»m trªn ®­êng th¼ng nªn G cã täa ®é . Khi ®ã , VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ =
 NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng . VËy , suy ra hoÆc . VËy cã hai ®iÓm G : . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn vµ . 
Víi ta cã , víi ta cã 
2.§­êng th¼ng d ®i qua ®iÓm vµ cã vect¬ chØ ph­¬ng 
 §­êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm vµ cã vect¬ chØ ph­¬ng .
Mp ph¶i ®i qua ®iÓm M vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn vu«ng gãc víi vµ . Bëi vËy nÕu ®Æt th× ta ph¶i cã :
Ta cã . VËy hoÆc .
NÕu ,ta cã thÓ chän A=C=1, khi ®ã , tøc lµ vµ cã ph­¬ng tr×nh 
 hay 
NÕu ta cã thÓ chän , khi ®ã , tøc lµ vµ cã ph­¬ng tr×nh hay 
C¢U 7B. Ta cã , suy ra
 .
 LÊy ®¹o hµm c¶ hai vÕ ta cã :
 Thay vµo ®¼ng thøc trªn ta ®­îc S.