Đề 44 thi học sinh giỏi lớp 12 môn: Toán học

 Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn: Toán Thời gian: 180 phút
Giáo viên thực hiện: Lê Văn Minh
 Lê Văn Khởi
Câu 1: (4 điểm) 
Cho hàm số: (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
 (1)
Câu 2: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: với 
b) Tìm m để pt sau có nghiệm: 
Câu 3: (5 điểm)
a) Tính: 
b) Tìm thoả mãn 
c) Cho các số dương a, b, c, d thoả mãn:
 Chứng minh rằng: 
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho elíp: (E) và Hypebol: (H) (với a, b, m, n > 0) có cùng chung tiêu điểm F1 và F2: Chứng minh rằng tiếp tuyến của (E) và (H) tại giao điểm của chúng vuông góc với nhau.
Câu 5: (4,5 điểm)
 Cho tứ diện đều ABCD, gọi (C) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Điểm 
M ẻ (C), gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là hình chiếu của M trên các mặt phẳng (BCD); (ACD); (ABD); (ABC).
a) Tìm vị trí điểm M ẻ (C) sao cho tổng:
S = MA1 + MB1 + MC1 + MD1 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
b) Chứng minh rằng tồn tại điểm M ẻ (C) để 4 điểm A1, B1, C1, D1 không đồng phẳng: