Đề 4 thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 môn thi: Toán

Trần Sĩ Tùng 
Trung tâm BDVH & LTĐH 
THÀNH ĐẠT 
Đề số 4 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Câu I (2 điểm): Cho hàm số 
x
y
x
2 1
1
-
=
+
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm I có hoành độ dương sao cho tiếp 
tuyến tại I với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn: MA MB2 2 40+ = . 
Câu II (2 điểm): 
 1) Giải bất phương trình: x x x3 12 2 1- £ + - + 
 2) Giải phương trình: 
x x
x
x x
2sin 3tan 2 cos 2
tan sin
+
- =
-
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = 
x dx
x x
2 2
2
1 7 12- +
ò 
Câu IV (1 điểm): Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng chứa 
(C) lấy điểm S sao cho SA = h. Gọi M là điểm chính giữa cung AB. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SB, 
cắt SB, SM lần lượt tại H và K.. Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo R và h. 
Câu V (1 điểm): Cho a, b, c là những số dương thoả mãn: a b c2 2 2 3+ + = . Chứng minh bất đẳng thức: 
a b b c c a a b c2 2 2
1 1 1 4 4 4
7 7 7
+ + ³ + +
+ + + + + +
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A
4 7;
5 5
æ ö
ç ÷
è ø
 và phương trình hai đường phân giác 
trong BB¢: x y2 1 0- - = và CC¢: x y3 1 0+ - = . Chứng minh tam giác ABC vuông. 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
x y z
d1
8 6 10( ) :
2 1 1
+ - -
= =
-
 và 
x t
d y t
z t
2( ) : 2
4 2
ì =ï
= -í
ï = - +î
. 
Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1) tại A, cắt (d2) tại B. Tính AB. 
Câu VII.a (1 điểm): Tìm phần thực và phần ảo của số phức z i i i i 3(2 2 )(3 2 )(5 4 ) (2 3 )= - + - - + . 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên 
các đường thẳng d: x y 5 0+ - = , d1: x 1 0+ = , d2: y 2 0+ = . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, biết BC = 5 2 . 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng D: 
x y z1 1
2 1 1
- +
= =
-
. Lập phương 
trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc với D. 
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: x y
x y x y
2 2
5 3
9 4 5
log (3 2 ) log (3 2 ) 1
ì - =
í + - - =î
. 
============================ 
Trần Sĩ Tùng 
Hướng dẫn: 
I. PHẦN CHUNG 
Câu I: 2) TCĐ: x 1= - ; TCX: y 2= Þ M(–1; 2). Giả sử 
x
I x
x
0
0
0
2 1
;
1
æ ö-
ç ÷
+è ø
 Î (C), (x0 > 0). 
 · PTTT với (C) tại I: 
x
y x x
xx
0
02
00
2 13 ( )
1( 1)
-
= - +
++
 Þ 
x
A
x
0
0
2 4
1;
1
æ ö-
-ç ÷
+è ø
, ( )B x0(2 1;2+ . 
 · MA MB2 2 40+ = Û 
x
x
x
2
02
0
0
36 4( 1) 40
( 1)
0
ì
+ + =ï
+í
ï >î
 Û x0 2= (y0 = 1) Þ I(2; 1). 
Câu II: 1) BPT Û x3 4£ £ . 
 2) Điều kiện: x
x
cos 0
sin 0
ì ¹
í ¹î
. PT Û x
1cos
2
= - Û x k
2 2
3
p
p= ± + . 
Câu III: I = dx
x x
2
1
16 91
4 3
æ ö
+ -ç ÷- -è øò = 
( )x x x
2
116 ln 4 9 ln 3+ - - - = 1 25ln 2 16 ln3+ - . 
Câu IV: S AHK
R hV
R h R h
2 5
. 2 2 2 23(4 )(2 )
=
+ +
. 
Câu V: Áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 ( 0, 0)+ ³ > >
+
x y
x y x y
 Ta có: 1 1 4 1 1 4 1 1 4; ;
2 2 2
+ ³ + ³ + ³
+ + + + + + + + + +a b b c a b c b c c a a b c c a a b a+b+c
 Mặt khác: 2 2 22 2 2 2
1 2 2 2 4 4 2 2 0
2 2 4 7
³ = Û + + + - - - ³
+ + + + + +
a b c a b c
a b c a b c a
 2 2 22( 1) ( 1) ( 1) 0Û - + - + - ³a b c 
 Tương tự: 2 2
1 2 1 2;
2 7 2 7
³ ³
+ + + + + +b c a b c a b c
 Từ đó suy ra: 2 2 2
1 1 1 4 4 4
7 7 7
+ + ³ + +
+ + + + + +a b b c c a a b c
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. 
II. PHẦN TỰ CHỌN 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 1) Gọi A1, A2 lần lượt là điểm đối xứng của A qua BB¢, CC¢ Þ A1, A2 Î BC. 
 Tìm được: A1(0; –1), A2(2; –1) Þ Pương trình BC: y 1= - Þ B(–1; –1), C(4; –1) Þ AB AC^
uuur uuur
 Þ µA vuông. 
 2) Giả sử: A t t t1 1 1( 8 2 ;6 ;10 )- + + - Î d1, B t t t2 2 2( ;2 ; 4 2 )- - + Î d2. 
 Þ AB t t t t t t2 1 2 1 2 1( 2 8; 4);2 14)= - + - - - + -
uuur
. 
 AB i, (1;0;0)=
uuur r
 cùng phương Û 
t t
t t
2 1
2 1
4 0
2 14 0
ì- - - =
í + - =î
 Û 
t
t
1
2
22
18
ì = -
í =î
 Þ A B( 52; 16;32), (18; 16;32)- - - . 
 Þ Phương trình đường thẳng d: 
x t
y
z
52
16
32
ì = - +ï
= -í
ï =î
. 
Câu VII.a: Phần thực a = 88, phần ảo b = –59. 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 1) Chú ý: d1 ^ d2 và DABC vuông cân tại A nên A cách đều d1, d2 Þ A là giao điểm của d và đường phân giác 
của góc tạo bởi d1, d2 Þ A(3; 2). 
 Giả sử B(–1; b) Î d1, C(c; –2) Î d2. AB b AC c( 4; 2), ( 3; 4)= - - = - -
uuur uuur
. 
 Ta có: AB AC
BC2
. 0
50
ìï =
í
=ïî
uuur uuur
 Û b c
b c
5, 0
1, 6
é = =
ê = - =ë
 Þ A B C
A B C
(3;2), ( 1;5), (0; 2)
(3;2), ( 1; 1), (6; 2)
é - -
ê - - -ë
. 
Trần Sĩ Tùng 
 2) u (2;1; 1)D = -
r . Gọi H = d Ç D. Giả sử H t t t(1 2 ; 1 ; )+ - + - Þ MH t t t(2 1; 2; )= - - -
uuuur
. 
 MH uD^
uuuur r
 Û t t t2(2 1) ( 2) ( ) 0- + - - - = Û t 2
3
= Þ du MH3 (1; 4; 2)= = - -
uuuurr
 Þ d: 
x t
y t
z t
2
1 4
2
ì = +ï
= -í
ï =î
. 
Câu VII.b: Hệ PT Û 
x y x y
x y x y
5 5
5 3 5
log (3 2 ) log (3 2 ) 1
log (3 2 ) log 5.log (3 2 ) 1
ì + + - =
í + - - =î
Û 
x y
x y
5
5
log (3 2 ) 1
log (3 2 ) 0
ì + =
í - =î
 Û x y
x y
3 2 5
3 2 1
ì + =
í - =î
 Û x
y
1
1
ì =
í =î
=====================