Đề 3 thi thử đại học lần 1 môn Toán

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 
 (Thời gian làm bài :180 phút) 
 LAISAC biên soạn 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH. 
Câu I. (2 điểm) 
 Cho đường cong có hàm số y = x3- 2x2 - (m - 1)x + m. (1) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m = 1 . 
2. Trong trường hợp hàm số (1) đồng biến trong tập số thực R, tính m để diện tích hình phẳng giới hạn bỡi 
đồ thị (1) và hai trục Ox,Oy có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. 
Câu II.( 2 điểm) 
 Giải các phương trình nghiệm thực sau đây : 
 1. .3cos2tan.tan1 xxx =- 
 2. .28)12)(4().3( xxxx -=+-+ 
Câu III .( 2 điểm) 
 1 .Trong mặt phẳng Oxy cho elíp (E) :x2 + 4y2 = 4 .Qua điểm M(1 ;2) kẽ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc 
với (E) tại A và B.Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B. 
 2. Tam giác ABC là tam giác gì nếu ba góc A,B,C của tam giác thỏa :
2
sin2coscos 222 CBA =+ . 
Câu IV . ( 2 điểm) 
 1 . Cho hai số thực x ,y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: 24.)1.( xyyx -=- . 
Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của tỉ số 
y
x . 
 2.Tính tích phân : I = ò ++++
1
0
12 2)12( dxexx xx . 
PHẦN TỰ CHỌN:Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b. 
Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban . ( 2 điểm) 
 1. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d1) : 
î
í
ì
=-
=-+
03
042
z
yx
 ; (d2): 
î
í
ì
=-
=+
01
0
x
zy
 Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên. 
 2. Tìm tất cả các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số, sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số 
đứng liền trước nó. 
Câu 5.b . Theo chương trình THPT phân ban thí điểm . ( 2 điểm) 
 1.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD .Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ,SA vuông góc với mặt 
phẳng(ABCD) và SA = a. Tính diện tích của thiết diện tạo bỡi hình chóp với mặt phẳng qua A vuông góc với 
cạnh SC. 
 2. Giải bất phương trình : ( ) 2log3log 12 xx £- ( )RxÎ . 
Hết
. 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Câu I.1.Bạn đọc tự giải . 
2. Ta có y’ = 3x2 – 4x – m + 1. 
Để hàm số đồng biến trong tập số thực R khi và chỉ khi 
3
10' -£ÛÎ"³ mRxy (2) 
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) với trục Ox: 
x3 -2x2 –(m – 1)x + m =0 Û (x – 1)(x2 –x – m ) = 0.Điều này chứng tỏ đồ thị (1) luôn cắt trục hoành tại điểm 
cố định (1 ; 0 ). Mặt khác vì hàm số là hàm bậc ba có hệ số cao nhất a = 1 > 0 lại đồng biến trong R nên đồ thị 
luôn cắt trục tung có tung độ âm. 
Hay khi 
3
1
-£m Þ y = x3 -2x2 –(m – 1)x + m [ ]1;00 Î"£ x 
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đồ thị (1) và hai trục tọa độ là 
( )
212
1)1(2
1
0
23 mdxmxmxxS --=+----= ò , mà S = 1 6
13
-=Û m (thỏa điều kiện (2)). 
Câu II. 1.Điều kiện : 
ïî
ï
í
ì
¹
¹
Û
î
í
ì
¹
¹
2
1cos
0cos
02cos
0cos
2 x
x
x
x
Phương trình tương đương :cos3x = cos3x.cosx.cos2x. 
Hoặc :
ê
ê
ë
é
=
=
Û=-Û=
4
3cos
)(0cos
0cos3cos403cos 2
3
x
loaïx
xxx pp kx +±=Û
6
. 
Hoặc:cosx.cos2x=1 01coscos2 3 =--Û xx 0)1cos2cos2)(1(cos 2 =++-Û xxx 
Û
ê
ê
ë
é
=++
=-
Û
0)1cos2cos2(
0)1(cos
2 xx
x
p
p
mx
vnxx
mx
2
).(01cos2cos2
.2
2 =Ûê
ê
ë
é
=++
=
Vậy phương trình có nghiệm là : pp kx +±=
6
 ; pmx 2= . ),( Zmk Î 
2 .Điều kiện : 412 ££- x . 
Phương trình tương đương : 32)4(64)4()4(64).4( 22 =+--+++-+ xxxx (3). 
Đặt t = 2)4(64)4( +--+ xx suy ra (3) viết lại: .2;00232
2
64 22 ==Û=-Û=+- tttttt 
Khi 424;4244)4(640 2 --=-=Þ+=+-Þ= xxxxt ( loại). 
Khi 331;3312)4(642)4(64)4(2 22 --=-=Þ+=+-Þ=+--+Þ= xxxxxxt (loại). 
Thử lại, phương trình có hai nghiệm: 424 -=x ; 331 -=x . 
Câu III .1 . Giả sử (x1 ; y1) ; (x2 ; y2) lần lượt là tọa độ hai tiếp điểm A và B . 
Do đó,phương trình hai tiếp tuyến MA và MB là :x.x1 +4y.y1 = 4 ; x.x2 +4y.y2 = 4 . 
Mà hai tiếp tuyến đều đi qua điểm M( 1 ; 2) nên : x1 + 8y1 = 4 (4) ; : x2 + 8y2 = 4 (5). 
Từ (4) và (5) chứng tỏ tọa độ hai điểm A và B thỏa mãn phương trinh x + 8y = 4. 
Hay phương trình đường thẳng qua hai điểm A và B là x + 8y – 4 = 0. 
2. Ta có: 0cos22cos2coscos1
2
2cos1
2
2cos1
2
sin2coscos 222 =++Û-=+++Û=+ CBACBACBA 
( ) 0)cos(0cos01)cos(.cos20cos2)cos()cos(2 =-Ú=Û=+--Û=+-+Û BACBACCBABA 
Suy ra tam giác vuông hoặc cân tại C. 
Câu IV: 1. Điều kiện 22 ££- x .Để tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
y
x thì 0;0 ¹¹ yx 
Biến đổi ( )22 44.)1.( xx
y
xxyyx -+=Û-=- 
 Đặt h
y
x
= . )0( ¹h .Biểu thức viết lại : 24 xxh -+= là một hàm số liên tục trong đoạn [ ]2;2- 
 ta có 
24
1'
x
xh
-
-= , khi h’ = 0 2=Û x . Ta tính 22)2(,2)2(,2)2( ==-=- hhh . 
Suy ra Max(h) = 22 khi x = 2 ; 
2
1
=y ; Min(h) = -2 khi x = - 2 ;y = 1 . 
Vậy giá trị lớn nhất (GTLN) ,giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 
y
x : 2)(,22)( -==
y
xGTNN
y
xGTLN 
2.Ta có ...)2(.)12(
1
0
1
1
0
12
1
0
12 222 òòò ++++++ ++=++ dxedxexxdxexx xxxxxx 
 Dùng phương pháp từng phần ta tính tích phân ò ++
1
0
12 dxe xx . Đặt 
ïî
ï
í
ì
=
+=Þ
ïî
ï
í
ì
=
= ++++
xv
dxexdu
dxdv
eu xxxx 11
22
).12( Suy 
ra dxexxxedxe xxxxxx 1
1
0
2
1
0
1
1
0
1 222 )2()( ++++++ òò +-= 
Do đó : 3
1
0
1
1
0
12 )()12(
22
exedxexx xxxx ==++ ++++ò . 
Câu Va 1. Ta xét vị trí tương đói của hai đường thẳng Þ hai đường thẳng chéo nhau ( tự chứng minh). 
 Theo yêu cầu đề toán tâm I mặt cầu chính là trung điểm của đường vuông góc chung MN của hai đường thẳng 
(d1) và (d2) và bán kính 
2
MNR = . ( ))();( 21 dNdM ÎÎ 
Đường thẳng (d1) viết lại )0;1;2(
3
24
-=Þ
ï
î
ï
í
ì
=
=
-=
aVTCP
z
ty
tx
 . và M(4-2t ;t ;3) )( 1dÎ 
 Đường thẳng (d2) viết lại )1;1;0(
'
'
1
-=Þ
ï
î
ï
í
ì
-=
=
=
bVTCP
tz
ty
x
 ,và N(1 ;t’ ;-t’) )( 2dÎ . 
Suy ra )'3;';23( ttttMN +--= . 
Để MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng (d1) và (d2) ,ta có 
î
í
ì
-=
=
Û
î
í
ì
=--
=--
Û
î
í
ì
=---+
=++--
Û
ïî
ï
í
ì
^
^
1'
1
03'2
06'5
0'3'0
00'46
t
t
tt
tt
ttt
ttt
bMN
aMN
Từ đó suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là : 
4
9)2()
2
3( 222 =-++- zyx . 
2. Giả sử số đó là 4321 aaaax = .Theo yêu cầu bài toán các chữ số a1, a2, a3, a4 khác nhau từng đôi một và khác 
không , và x là số chẵn nên ta có các trường hợp sau : 
TH1: a4 = 4 ,từ yêu cầu đề toán Þ số đó là x = 1234.Do đó có một cách chọn . 
TH2: a4 = 6 ,từ yêu cầu đề toán ba số hạng a1, , a2 , a3 chỉ được lấy trong tập { }5,4,3,2,1 và các chũ số tăng dần 
nên có 1035 =C số cho trường hợp này . 
TH3 : a4= 8 ,tương tự ba số hạng a1, , a2 , a3 còn lại chỉ được lấy trong tập { }7,6,5,4,3,2,1 nên có 3537 =C số 
cho trường hợp này. 
Vậy có 1+10 + 35 = 46 số được chọn theo yêu cầu đề toán . 
Câu Vb.1.Bằng phương pháp tọa độ ,chọn A(0,0,0) ,B(a ;0 ;0) ; D(0 ;a ;0) ; C(a;a ;0) ; S(0 ;0 ;a). 
Giả sử mặt phẳng (P) đã cho cắt SB,SC ;SD lần lượt tại E, G , F. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc SC 
nên nhận vectơ );;( aaaSC -= làm VTPT Þ phương trình (P) là :x + y – z = 0 .(6) 
Ta lập phương trình đường thẳng SD 
ï
î
ï
í
ì
-=
=
=
taz
ty
x 0
(7) . F là giao điểm của SD và (P) nên nó là nghiệm hệ phương 
trình ( 6) và (7) )
2
;
2
;0( aaFÞ . Tương tự G là giao điểm của (P) và SC )
3
2;
3
;
3
( aaaGÞ . 
Do đó diện tích thiết diện AEGF : [ ] .
32
;)(2
2aAFAGAGFdtS === 
2. Điều kiện : x>1 , 2¹x . 
Ta có ( ) 2log3log 12 xx £- Û xx 223 log
1
)1(log
1
£
-
. 
Khi 21 << x ta có vế trái 0
)1(log
1
2
3
<
-x
 và vế phải 0
log
1
2
>
x
 .Bất phương trình luôn đúng. 
Nên bất phương trình có nghiệm 21 << x . 
Khi 2>x hai vế bất phương trình đều dương ,nên bất phương trình tương đương )1(loglog 232 -£ xx 
Đặt xt 2log= . Khi 2>x 2
1
>Þ t và tx 2= .Bất phương trình viết lại 1
4
1
4
3143 £÷
ø
ö
ç
è
æ+÷
ø
ö
ç
è
æÛ-£
tt
tt (8) 
Đặt 
tt
tf ÷
ø
ö
ç
è
æ+÷
ø
ö
ç
è
æ=
4
1
4
3)( là hàm số liên tục trong );
2
1( +¥ 
Ta có Þ<÷
ø
ö
ç
è
æ+÷
ø
ö
ç
è
æ= 0
4
1ln
4
1
4
3ln
4
3)('
tt
tf f(t) là hàm số giảm trong );
2
1( +¥ 
Mặt khác ta có 1)1( =f . Do đó bất phương trình (8) viết lại 21log1)1()( 2 ³Û³Û³Û£ xxtftf 
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là 21 << x hoặc 2³x 
“CHIỆN NGỘN NGU” VUI ( Ngẫm nghĩ thật thật lâu!). 
Bò con đi thi về khoe với mẹ :”Mẹ ơi!đề thi hôm nay có tất cả 5 câu ,trong đó có một câu khó nhất ,các bạn 
con không ai giải được,chỉ duy nhất mỗi một mình con giải ra thôi !”.Bò mẹ nghi ngờ hỏi: “Khó như thế nào hả 
con?”Bò con mặt độn ra ,no nê mãn nguyện “Khó đến nỗi trong suốt thời gian làm bài con chỉ làm mỗi câu đó 
thôi mẹ ạ !” 
Bò mẹ rống lên:”Ôi! Con tôi lây bệnh Thành tích rồi !”Xỉu .